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(難)2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)期末壓軸課

全等三角形(解析版)

學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.(2021?全國(guó)八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,AABC中,ZBAC=60。,NB4c的平分線(xiàn)4。與

邊8C的垂直平分線(xiàn)例。相交于O,DEL回交A8的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,。尸,AC于尸,現(xiàn)有

下列結(jié)論:①DE=DF;@DE+DF=AD;?DMZEDF;@AB+AC=2AE,其

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】

①由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知①正確;②由題意可知NE4O=NE4D=30。,故此可知

ED=\AD,DF:AD,從而可證明②正確;③若O0平分/成加,則N£OM=60。,

22

從而得到NABC為等邊三角形,條件不足,不能確定,故③錯(cuò)誤;④連接BD、DC,

然后證明AEBOwADFC,從而得到BE=FC,從而可證明④.

【詳解】

①?.?4)平分NBAC,DELAB,DFVAC,

;.ED=DF.

,①正確.

(2)-.-ZE4C=60°,AO平分NBAC,

:.ZEAD=ZFAD=30P.

■.DEA.AB,

:.ZAED=90°.

???ZAED=90°,ZEAD=30°,

:.ED=-AD.

2

同理:DF=-AD.

2

:.DE+DF=AD.

.??②正確.

③由題意可知:NED4=/ADF=60。.

假設(shè)MD平分N£Z/,則/EDW=60。,

又???ZE=NRWD=90。,

/.Z£BM=120°.

/.ZABC=60°.

???ZABC是否等于60。不知道,

不能判定MD平分NEDF,

故③錯(cuò)誤.

④???ZW是8c的垂直平分線(xiàn),

DB=DC.

在RtABED和RIACFD中

[DE=DF

\BD=DC'

..RtABED=RtACFD.

:.BE=FC.

.\AB+AC=AE-BE-^-AF+FC

又?.?AE=AF,BE=FC,

:.AB+AC=2AE.

故④正確.

故選:c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),

掌握本題的輔助線(xiàn)的作法是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?東北育才雙語(yǔ)學(xué)校)如圖,正方形A8C。中,點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn),

EFLDE交邊AB于F,連接〃尸交線(xiàn)段AC于點(diǎn)H,延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)。,連接

QF.下列結(jié)論:①DE=EF;②若AB=6,CQ=3,貝!|A尸=2;?ZAFD=ZDFQ;

④若AH=2,CE=4,貝ljA8=3近+加;其中正確的有()個(gè).

AFB

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】

連接8E,由“SAr可證△OCE絲△BCE,可得DE=BE,NCDE=NCBE,由補(bǔ)角的性

質(zhì)可得可證EF=BE,故判斷①,延長(zhǎng)8C到G,使CG=A尸,連接

DG,由“SAS'可證△AOF絲△CQG,可得NAFC=NG,ZADF^ZCDG,DF=DG,

由“S4歹可證△尸絲△QOG,可得/Q=QG,NG=/DFQ,可判斷③,由勾股定理

可求AF=2,可判斷②,將^CDE繞點(diǎn)\順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADM,連接MH,由“SAS'

可證且△£>£〃,可得EH=MH,由勾股定理可求的長(zhǎng),即可求A8的長(zhǎng),

即可求解.

【詳解】

B

???四邊形A8CO為正方形,

:?CB=CD,NBCE=/DCE=45。,

在△BEC和△OEC中,

DC=BC

<ZDCE=ZBCE,

CE=CE

:?△DCEq/XBCE(SAS),

;.DE=BE,NCDE=/CBE,

:./ADE=/ABE,

VZ£>AB=90°,Z£)EF=90°,

???ZADE+NAFE=180°,

ZAFE+NEFB=180°,

???ZADE=ZEFB,

:.NABE=/EFB,

:.EF=BE,

:.DE=EF,故①正確;

VZD£F=90°,DE=EF,

:.ZEDF=ZDFE=45°f

如圖:延長(zhǎng)8c到G,使CG=AE連接OG,

在尸和△CDG中,

AD=CD

<NDAF=NDCG,

AF=CG

:./\ADF^/\CDG(SAS),

AZAFD=ZG1NADF=NCDG,DF=DG,

ZADF+NCOQ=90。-NEDQ=45。,

???ZCDG+/。。。=45。=ZGDQ,

:?/GDQ=NFDQ,

又?:DG=DF,DQ=DQ,

???△QO金△QOG(SAS),

:?FQ=QG,NG=/DFQ,

:.ZDFA=ZDFQ,故③正確;

VAB=6,CQ=3,

:.BQ=3,FB=6-AF,FQ=QG=3+AF,

':FQ2=FB2+BQ2,

:.(3+AF)2=9+(6-AF)2,

:.AF=2,故②正確;

如圖:將4CDE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADM,連接MH,

:.XCDEqXADM,

,AM=CE=4,NOCE=ND4M=45。,/ADM=NCDE,DM=DE,

:.ZMAH=90°,ZADM+NADH=ZCDE+^ADH=45°=ZMDH,

又,:DH=DH,

:./\DMH烏/XDEH(SAS),

:.EH=MH,

:MH=yjAM2+AH2=716+4=275,

:.EH=MH=2不,

:.AC=AH+EH+EC=6+2有

;.AB=AC+母=3五+回,故④正確;

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題,考查正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,等腰

直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法,

添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考選擇題中的壓軸題.

3.(2021?全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試)如圖,在菱形ABCD中,ZBAD=60°,AC與80交

于點(diǎn)O,E為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn),且CD=DE,連接BE分別交AC.AD于點(diǎn)/、G,

連接OG,則下列結(jié)論中一定成立的是()

@OG=yAB;②與AOEG全等的三角形共有5個(gè);③四邊形OZJEG與四邊形OR4G

面積相等;④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形.

A.

B.①?

c.(D@③

D.(2X§)@

【答案】A

【分析】

由A4s證明MBGwAEDG,得出4G=OG,證出OG是A4CD的中位線(xiàn),得出

OG=^-CD=^AB,①正確;先證明四邊形A8OE是平行四邊形,證出A489、ABCD

是等邊三角形,得出/1B=B£>=A£),因此OD=AG,得出四邊形ABDE是菱形,④正

確;由菱形的性質(zhì)得出AABGMADBGMAEDG,山SAS證明AABGfADCO,得出

A4BO=ACBO=AaX)=A4DO=ABAG=MDG=A£DG,得出②不正確;由中線(xiàn)的性質(zhì)和菱

形的性質(zhì)可得5moe=%歡;,SMBC=S&DCE,可得四邊形OOEG與四邊形。SAG面積相等,

得出③正確;即可得出結(jié)果.

【詳解】

解:???四邊形A8C3是菱形,

:.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD,

.-.ZBAG=ZEDG,MBO=\CBO=\CDO=AADO,

?:CD=DE,

AB=DE,

在A43G和ADEG中,

"BAG=NEDG

<ZAGB=NDGE,

AB二DE

:.MBG=/^EDG(AAS),

AG=DG,

.?.OG是A4CD的中位線(xiàn),

:.OG=^CD=^AB,①正確;

ABIICE,AB=DE,

四邊形是平行四邊形,

?.?ZBCD=Zfi4£>=60°,

.-.MBD,ABC。是等邊三角形,

:.AB=BD=AD,ZODC=60°,

:.OD=AG,四邊形A3DE是菱形,④正確;

:.ADLBE,

由菱形的性質(zhì)得:AABGsADBGsA£Z)G,

在AABG和ADCO中,

0D=AG

-ZODC=NBAG=60°,

AB=DC

:.MBG三MXXXSAS),

△ABONXCBOWACDOWMDOW&BAGNXBDGW&EDG,②不正確;

?:OB=OD,

一S&BOGS&00c,

??,四邊形AB0E是菱形,

S&ABG—S40c£,

四邊形O£>EG與四邊形O8AG面積相等,故③正確;

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

三角形中位線(xiàn)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),難度較大.

4.(2021?宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考)如圖,在“ABC中,A。是BC邊上的高,

ZBAF=ZCAG=90°,AB=AF,AC^AG.連接FG,交D4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接

BG,CF.則下列結(jié)論:①BG=CF;②BGLCF;?BC=2AEi④EF=EG,其中

正確的有()

A.dXD?B.C.?(§)@D.(D?@@

【答案】D

【分析】

iWACAF^^GAB(SAS'),從而推得①正確;利用△及三角形內(nèi)角和與

對(duì)頂角,可判斷②正確;證明△AFM絲△BAO(A4S),得出FM=AD,ZFAM^ZABD,

同理AANG絲Z\CD4,得出NG=AO,則FM=NG,證明△FME絲Z\GNE(AAS).可得

出結(jié)論④,③正確.

【詳解】

解:?.?/B4F=/C4G=90°,

,ZBAF+ZBAC-ZCAG+ZBAC,即NC4F=NGA8,

y.,:AB=AF,AC=AG,

.'./^CAF^^GAB(SAS),

:.BG=CF,故①正確;

?.,△MC絲△BAG,

:.ZFCA=ZBGA,

又「BG與AC所交的對(duì)頂角相等,

:.BG與FC所交角等于/G4C,即等于90°,

:.BG±CF,故②正確;

過(guò)點(diǎn)F作FM±AE于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)G作GNLAE交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N,

:.ZFAM+ZBAD=90°,NFAM+NAFM=90°,

ZBAD=ZAFM,

又尸=A8,

A/\AFM^/\BAD(AAS),

:.FM=AD,NFAM=NABD,

同理△AVG絲△CD4,

:.NG=AD,AN=CD,

:.FM=NG,

\'FM±AE,NGLAE,

NFME=NENG=90°,

NAEF=NNEG,

;./\FME名/\GNE(AAS).

:.EM=EN,EF=EG.故④正確.

BD+DC=BC=AM+AN=2AM+2ME=2AE,故③正確

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)與互余、對(duì)頂角,

三角形內(nèi)角和等幾何基礎(chǔ)知識(shí).熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?全國(guó))如圖,AABC中,AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)。在AA3c內(nèi)部,且使得

ZABD=^BAD=^-3Q°.則ZAC。的度數(shù)為()

A.c-30°B.c-60°C.30°D.不能確定

【答案】C

【分析】

如圖,在AABC內(nèi)作ZC4E=ABAD,且使得=4),連。旦CE,證明^ABD=^ACE,

得到AACE為等腰三角形,再證明“ADE為等邊三角形,推出AOCE為等腰三角形,由

三角形外角的性質(zhì)得出ZACD=|ZAED即嘰

【詳解】

如圖,在AA8c內(nèi)作NC4E=N54T>,且使得AE=A£>,連DE,CE,

?.■在△45。和AAC£■中,

'AB=AC

"ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.^ABD=^ACE(SAS),

???ZABD=ZBAD,

△ABO為等腰三角形,

,AACE為等腰三角形,

cc

VZCAE=ZBAD,/BAC=a,ZBAD=一一30°,

2

/.NDAE=ZBAC-Z.BAD一/CAE

”(130。卜330。)

=60°,

r.V4)E為等邊三角形,

:.DE=AE=CE,

???AOCE為等腰三角形,

延長(zhǎng)CE交4)于尸點(diǎn),

NAEF=NEAC+ZECA,

NDEF=NECD+NEDC,

:.NAED=NAEF+NDEF

=2ZACE+2ZDCE

=2(ZACE+ZDCE)

=2ZACD,

:.ZACD=-ZAED=-x60°=30°,

22

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的綜合問(wèn)題,涉及等腰三角形的等邊三角形的判定和性質(zhì),全等

三角形的判定和性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),有一定難度,根據(jù)題意做出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.(2021?湖北襄州?八年級(jí)期末)將一副三角板按如圖所示的方式擺放,其中AABC為

含有45。角的三角板,直線(xiàn)AD是等腰直角三角板的對(duì)稱(chēng)軸,且斜邊上的點(diǎn)。為另一塊

三角板的直角頂點(diǎn),DM、OW分別交A3、AC于點(diǎn)E、F.則下列四個(gè)結(jié)論:

?BD=AD=CDi②之△CFD;?BE+CF=AB?S^=BC2.其中

iAEDFO

正確結(jié)論是.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

N

B乙——庠--、C

【答案】①②③④.

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得故①正確,ZCAD=ZB=45°,根據(jù)同角

的余角相等求出/CQF=/AOE,然后利用“角邊角”證明△?!£>£和△CCF全等,判斷出

②正確,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF,從而判斷出③正確;根據(jù)全等三角

形的面積相等可得5山=S3*從而求出s四邊i=L,K:=gm,再結(jié)合勾股定理,

判斷出④正確.

【詳解】

解:VZB=45°,AB=AC,

.??△48C是等腰直角三角形,

:點(diǎn)。為8C中點(diǎn),

.'.AD=CD=BD,故①正確;

???點(diǎn)。為BC中點(diǎn),AB=AC,

AD1BC,N340=45。,

:.ZEAD=ZC,

?.?/MON是直角,

/.ZADF+ZADE=90°,

,/ZCDF+ZADF=ZADC=90°,

:.NADE=NCDF,

在^ADE^PACO尸中,

ZDAE=ZC

<AD=CD,

NADE=NCDF

:./\ADE^/\CDF(ASA),故②正確;

AE=CF,

:.BE+CF=BE+AE=AB.故③正確;

AADfi^ACDF,

??S4ADE=S&CDF>

,?S四邊形AEDF=SMDC=耳

而:AD2+BD2=AB\AB2+AC2=BC2,AD=BD,AB=AC,

-,?S四邊形我注=工,*=:4。2=;482=(8。2,故④正確;

ZH-O

故答案為:①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),同角的余角相等的性質(zhì),

熟記三角形全等的判定方法并求出△4?!逗?CDF全等是解題的關(guān)鍵.

7.(2021?湖南平江?)如圖,矩形紙片A8CZ)中,AB=6,8c=12.將紙片折疊,使

點(diǎn)5落在邊AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)G處,折痕為EF,低E、F分別在邊AO和邊8c上.連

接BG,交CD于點(diǎn)K,FG交CD于氤H.給出以下結(jié)論:①EFLBG;②GE=GF;

③DK=KH;④當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí),ZDEF=75°9其中正確的結(jié)論有(填

序號(hào)).

【答案】①②④

【分析】

連接8E,設(shè)EF與BG交于點(diǎn)O,由折疊的性質(zhì)可得E尸垂直平分8G,可判斷①;由“4SA”

可證ABO尸也△GOE,可得BF=EG=GF,可判斷②;通過(guò)證明四邊形8EG尸是菱形,

可得NBEF=NGEF,求出/AEB=30。,可得NOE尸=75。,可判斷④,根據(jù)角平分線(xiàn)的性

質(zhì)得至IJDK^KH,即可求解.

【詳解】

解:如圖,連接BE,設(shè)EF與BG交于點(diǎn)O,

?;將紙片折疊,使點(diǎn)B落在邊AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)G處,

尸垂直平分8G,

:.EF1.BG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正確,

■:AD//BC,

:./EGO=NFBO,

又,:NEOG=NBOF,

:ABOF名/XGOE(ASA),

:.BF=EG,

:.BF=EG=GF,故②正確,

":BE=EG=BF=FG,

,四邊形8EGF是菱形,

NBEF=NGEF,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí),則BF=BC=BE=12,

此時(shí)BE=2AB,

:.ZAEB=30°,

:.NDEF=75。,故④正確,

平分NEG凡

J.DK^KH,故③錯(cuò)誤;

故答案為:①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換,全等三角形的判定和性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),角平分線(xiàn)的性質(zhì)

等知識(shí),靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

8.(2021?廣東海珠?八年級(jí)期末)如圖,正方形ABCO中,H為CD上一動(dòng)點(diǎn)(不含C、

D),連接A“交8。于G,過(guò)點(diǎn)G作GELAW交BC于E,過(guò)E作EFLBZ)于尸,連

接AE,EH.下列結(jié)論:①AG=EG;②NE4H=45。;③BD=2GF;④GE平分

NFEC.正確的是(填序號(hào)).

【答案】①②③

【分析】

連接GC,延長(zhǎng)EG交4。于點(diǎn)L,可證△AOGgaCOG,進(jìn)而可得NGEC=NGCE,,

由此可得出GEnGC,再由/77=AR即可得出N/ME=45。,于是可判斷①②;連接AC

交3。于點(diǎn)O,則5。=2。4證明△AOGQXGFE,即可得出OA=GF,進(jìn)而可得尸G,

于是可判斷③;過(guò)點(diǎn)G作MNJ_3C于點(diǎn)N,交A。于點(diǎn)M,由于G是動(dòng)點(diǎn),GN的長(zhǎng)

度不確定,而產(chǎn)G=CM是定值,即可得出GE不一定平分NFEC,于是可判斷④.

【詳解】

解:連接GC延長(zhǎng)EG交AO于點(diǎn)3

???四邊形ABCD為正方形,

:.AD//CB9AD=CD,ZADG=ZCDG=45°t

■:DG=DG,

:.AADG會(huì)/\CDG(SAS),

:.AG=GCt/HCG=/DAG,

,/Z//CG+ZGCB=90°,

JNDAG+NGCB=90。,

u:GELAH,

:.ZAGL=90°f

???ZALG+ZMG=90°,

*:AD//CB,

:.ZALG=ZGEC,

:.ZGEC+ZLAG=90°f

,NGEC=NGCE,

:.GE=GC,

:.AG=EG,故①正確;

':GE1.AH,

:.ZAGE=90°,

":AG=EG,

:.ZEAH=45°,故②正確;

連接AC交8。于點(diǎn)O,則BD^2OA,

NAGF+NFGE=NGEF+NEGF=90°,

ZAGF=ZGEF,

':AG=GE,ZAOG=ZEFG=90°,

.?.△AOG絲ZXGFE(A4S),

J.OA^GF,

':BD=2OA,

:.BD=2GF,故③正確.

過(guò)點(diǎn)G作MN,8c于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)、M,交BC于點(diǎn)、N,

:G是動(dòng)點(diǎn),

,GN的長(zhǎng)度不確定,而尸G=OA是定值,

;.GE不一定平分NPEC,

故④錯(cuò)誤;

故答案為:①②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形性質(zhì),全等三角形判定和性質(zhì),角平分線(xiàn)性質(zhì)和判定等,熟練掌握全

等三角形判定和性質(zhì),合理添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

9.(2021?江蘇)如圖,在與都是等邊三角形,且點(diǎn)A、C.E在同一條直線(xiàn)

上,AO與5E、8c分別交于點(diǎn)F、M,8E與CQ交于點(diǎn)N.有以下結(jié)論:①AM=8N;

②4ABF9QNF;?AFMC+ZFNC=180°;=其中正確的是

.(填序號(hào))

D

【答案】①③④

【分析】

①根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC,CE=CD,NACB=/ECD=60°,求出

根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可;②根據(jù)NABC=6(r=/BCQ,求出AB〃C。,可推出

△ABFS^DNF,找不出全等的條件;③根據(jù)角的關(guān)系可以求得/AF8=60。,可求得

MF2120。,根據(jù)/8CD=60??山忸};④根據(jù)CM=CN,/MCN=60。,可求得/CMW=60。,

可判定MN〃AE,可求得M等N=D蕓N=CD鳥(niǎo)-CN/,可解題.

ACCDCD

【詳解】

解:證明:①;△ABC和△COE都是等邊三角形,

:.AC=BC9CE=CD,ZACB=ZECD=60°f

:./ACB+/BCD=/ECD+NBCD,

^ZBCE=ZACD,

在aBCE和△ACO中,

BC=AC

<ZBCE=ZACD,

CE=CD

:?△BCE空XACD(SAS),

:.AD=BEfNADCBEC,/CAD=/CBE,

在^DMC和aENC中,

ZMDC=/NEC

<DC=EC,

Z.MCD=4NCE

:?△DMC91XENC(A&4),

:?DM=EN,CM=C7V,

???AD-DM二BE-EN,EPAM=BN;

@VNABC=60o=NBCD,

:,AB〃CD,

:./BAF=NCDF,

/AFB=/DFN,

JXABFSXDNF,找不出全等的條件;

@VZAFB+ZABF+ZBAF=180°,NFBC=/CAF,

:.ZAFB+ZABC^-ZBAC=180°,

???ZAFB=60°f

:.ZMFN=\20°f

,/ZMCN=60°f

.?.ZFMC+ZF^C=180°;

④,.,CM=CMNMCN=60。,

???△MCN是等邊三角形,

■??NMNC=60。,

*/ZDCE=60°,

:.MN//AEf

.MNDNCD-CN

**AC-CD~~~CD-,

■:CD=CE,MN=CN,

.MNCE—MN

^~AC~~CE'

.MN、MN

??=1-,

ACCE

故答案為①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì),考查

了平行線(xiàn)的運(yùn)用,考查了正三角形的判定,本題屬于中檔題.

10.(2021?遼寧興城?八年級(jí)期末)如圖,4在正方形CD8G的邊8。的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且

知4)=%>,E在Q9上,EFLAE交8c的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)足有以下結(jié)論:①AE=EF

(2)ZEAB+ZEFB=45°?BC=CE+CF?CF=^2DE.其中,正確的結(jié)論有.(填

序號(hào))

A

DB

【答案】①②④

【分析】

根據(jù)正方形性質(zhì)得到/C8D=45。,進(jìn)而得到N布B+/AF8=135。,根據(jù)三角形性質(zhì)即可

得至l」NE48+/EF8=45。,判斷②正確;連接BE,先證明4E=8E,得至Ij/E4B=/EA4,

根據(jù)NE48+/EF'8=45。證明EF=EB,即可判斷①正確;作EH_L8凡得至ljBC=FC+2CH,

根據(jù)為等腰直角三角形得到CE=&CH,即可得至IJ8C=FC+反E,即可判斷③

錯(cuò)誤;證明BC=辰D,根據(jù)BC=FC+42CE得至IFC+辰E==0CE+&.DE,即可

得到④正確.

【詳解】

解:???四邊形CC8G為正方形,

,NCBD=gNDBG=45。,

:.ZFAB+ZAFB=\35°,

即ZEAF+NAFE+NEAB+NEFB=135°,

,:EFl.AE,

,NAEF=90°,

二ZEAF+ZAFE=90°,

:.NEAB+NEFB=45。,

故②正確;

連接BE,

???四邊形CD2G為正方形,

DELAB,

,:AD=BD,

.'.AE=BE,

:.NEAB=NEBA,

VZEAB+ZEFB=45°,ZEBD+ZEBF=45°,

:.NEFB=NEBF,

:.EF=EB,

:.AE=EF,

故①正確;

作EHLBF,

?:BE=FE,

:.BH=FH,

Z.BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH,

?.?四邊形CQBG為正方形,

NHCE=gNDCG=45。,

':EH±BF,

.?.CE=&CH,

即C4=^CE,

2

BC=FC+2CH=FC+0CE,

故③不正確;

VZBCD=45°,ZCDB=90°,

:.BC=-ficD,

,;BC=FC+6CE,

FC+OCE=-J1CD=?CE+CO)=及CE+垃DE,

:.FC=ODE,

故④正確.

故答案為:①②④

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)性質(zhì),等腰直角三角形性質(zhì),等腰三角形

性質(zhì)等知識(shí),綜合性較強(qiáng),熟知正方形性質(zhì)和等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系,添加適當(dāng)

輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.(2021?黑龍江道外?八年級(jí)期末)四邊形45。中,DA=DC,連接3£>,ZABD=

ZDBC.

D

K

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證:NR4O+NBC0=18O。;

如圖連接當(dāng)。時(shí),求的長(zhǎng);

(2)2,AC,NOAC=45BC=3AB,SADBC=27,A5

(3)如圖3,在(2)的條件下,把AAOC沿AC翻折,點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,AE交

BC于點(diǎn)K,/是線(xiàn)段8c上一點(diǎn),連接E凡ZBFE=45a,求AE尸C的面積.

.Q

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)48=3;(3)-

【分析】

(1)作DM_L54交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,ONL8C于N,利用HL定理證明

RMDM4段/?/△DNC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可;

(2)作DMLBA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于例,DNLBC于N,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到MB

=BN=Z)N,根據(jù)三角形的面積公式求出A5;

(3)作EG_LAB交48的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,EHLBC于H,證明△AGE會(huì)△€■,后,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到AG=C"EG=EH,求出84,進(jìn)而求出C凡根據(jù)三角形的面積公

式計(jì)算,得到答案.

【詳解】

(1)證明:如圖1,過(guò)點(diǎn)。作DMLBA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,DNLBC于N,

則/DMA=N£WC=90。,

?:/ABD=NDBC,DM_LBA,DNLBC,

;.DM=DN,

在R>DMA和Rt4DNC中,

/DM=DN

[DA=DC'

/./?/△DMA絲/△DNC(HL),

:./DAM=NBCD,

":ZDAM+ZDAB=]SO°,

...NZM8+NBCC=180°;

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作DM,BA交54的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,DNLBC于N,

由(1)得,△£WC四△DMA,CN=MA,

■:DA=DC,NOAC=45。,

:.ZDAC=ZDCA=45°f即N£)AC+NOCA=9()Q,

???ZADC=90°,

AZABC=ISO0-NADC=90。,

平分NA8C,

/./DBM=4DBN=45°,

*:/M=/DNB=90。,

:.NMDB=/BDN=NDBM=/DBN=45。,

:?DN=BN,DM=8M,

VDM=DM

:?MB=BN=DN,

設(shè)則3C=3A8=3m設(shè)CN=b,則MA=CN=b,

:?MB=a+b,BN=3a-b9

/.a+b=3a-b,

:?b=a,

:?BN=DN=3a-b=2a,

:.SAHCD=yBC?DN=-3q?2a=27,

解得,a=b=3,

:.AB=3;

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)E作EGLAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,EHLBC于H,

由翻折可知,AE=AD=CD=CEtZAEC=ZADC=90°.

NAKB=NCKE,

:?/BAE=NBCE,

在△AG£^IMCHE中,

ZGAE=ZHCE

<AAGE=ACHE,

AE=CE

:./\AGE^/\CHE(A4S),

:.AG=CH,EG=EH,

:.BE平分NC8G,即/GBE=NCBE=45°=/HEB=NBEG,

:?BH=EH=BG=EG,

設(shè)BH=k,則AG=3+KCH=9-k,

\'AG=CHf

:.3+k=9-k,

解得,k=3,

:?EH=BH=3,

NBFE=45。,NEHF=90。,

:.ZHEF=Z/7FE=45°,

:?HE=FH=3,

:.CF=CB-BF=9-3-3=3,

I?9

AEFC的面積=丁xCFxEH=-x3x3=

222

圖1圖2圖3

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰直角

三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?山西太原?)綜合與探究:

問(wèn)題情境:數(shù)學(xué)課上,同學(xué)們以直角三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動(dòng).如圖,在AABC

中,a)_LA5于點(diǎn)。,AE平分NR4c交CZ)于點(diǎn)尸.

初步分析:

(1)智慧小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)ACEF是等腰三角形,請(qǐng)你證明這一結(jié)論;

(2)博學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)給AA8C添加一個(gè)條件,可使ACE尸成為等邊三角形.添加

的條件可以是.(寫(xiě)出一種即可)

操作探究:

(3)創(chuàng)新小組的同學(xué)從圖形平移的角度進(jìn)行了如下的探究,請(qǐng)從下面A,5兩題中任

選一題作答我選擇題:

A.將A40廠(chǎng)沿射線(xiàn)48的方向平移,使點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在線(xiàn)段8c上,

①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平移后的AAO產(chǎn),

②猜想此時(shí)線(xiàn)段A,5與AC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

B.將ACE尸沿射線(xiàn)C5的方向平移,使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)B重合,

①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平移后的ABE9,

②連接EF,,交BD于點(diǎn)G,猜想此時(shí)線(xiàn)段EG與F,G之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)ZCAB=60°(答案不唯一);(3)4①見(jiàn)解析;?A'B=AC,

證明見(jiàn)解析;B:①見(jiàn)解析;②EG-F'G,證明見(jiàn)解析-

【分析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì),角平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行等量代換進(jìn)而證明結(jié)論即可;

(2)當(dāng)AABC中,NC4B=60。時(shí),根據(jù)等邊三角形判定定理進(jìn)行判定;

(3M.過(guò)點(diǎn)尸作尸6人AC于G,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出FG=U>,進(jìn)而證明R/ZVIGF

絲心△ADF,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=A。,根據(jù)平移的性質(zhì)得到AA£>尸絲

△A'DF',得出AG=4D=A7)',GF=DF=OF',然后利用“角角邊”證明ACG尸且

廣,得到CG=B£>',最終得出A'B=AC;

及過(guò)點(diǎn)E作EHLAG于〃,,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出EC=E〃,根據(jù)平移的性質(zhì)得到

△CEF咨/\BF'E,得出△CER是等腰三角形,EH=CE=CF=BF',

然后利用“角角邊”證明巫HE絲AGBF,最終得出EG=F'G.

【詳解】

(I)平分NBAC,

ZCAE=AEAB,

-JCDLAB,ZACB=90。,

ZADC=90°,

.?.在VAFZ)中,ZAFD+ZFAD=90°,

在AACE中,ZAEC+ZCAE=90°,

??ZAFD=ZCFE,

ZCEA=ZAFD=ZCFE,

...△CEF是等腰三角形;

(2)當(dāng)△ABC中,NC48=60。時(shí),

ZC4£=30°,ZCEF=90°-ZCAB=60°,

.?.△CE尸是等邊三角形;

(3)A.①如下圖即為所求,

②A'B=AC,理山如下:

過(guò)點(diǎn)F作依八AC于G,

?.FE平分/B4C,

VFDLAB,FGAAC,

'FG=FD,

在Rt/\AGF和Rt^ADF中,

[AF=AF

[GF^DF

:.R&GF色Rt/XADF(HL)

二AG=AD.

;△的)尸平移后得到AA'D'F',

:.^ADF絲/\ADF'

:.AG^AD^A'D',

GF=DF=DF',

;在△88中,N2+N3=90。,

又?:Zl+Z2=90°,

N1=N3,

在MGF和△3DF中,

,Z1=Z3

"NCGF=NBDF

GF=D'F'

:.Z\CGFmABD'F'(44S)

Z.CG=BD',

:.AG+CG=A'iy+BEy,

即:AB=AC;

B.①如下圖即為所求,

過(guò)點(diǎn)E作E”J.AG于H,

ZEFG=90°,

平分/BAC,

;ECJ,AC,EH±AH,

:.EC=EH,

:ACEF平移后得到/\BF'E,

/.ACEF<ABF'E',

**-CF=BF',N2=N4,

??.△C所是等腰三角形,

:.EH=CE=CF=BF',

;在△88中,N2+N3=90。,

Z4+Z3=90°,

ZGBF'=90°,

在ACHE和△G8F'中,

Zl=Z5

"NGHE=NGBF'

EH=F'G

:.ACHE會(huì)△GBF'(A4S)

,EG=F'G.

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題,主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與

性質(zhì),圖形的平移等,熟練運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

13.(2021?福建晉江?八年級(jí)期中)(1)在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)

y=Nx-l)+3(ZwO),無(wú)論k取何值,其圖象——直線(xiàn)總會(huì)過(guò)一定點(diǎn),請(qǐng)寫(xiě)出此定點(diǎn)坐

標(biāo)(,),

(2)如圖①,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-2,3),交y軸正半軸于點(diǎn)A,交x軸負(fù)半軸

于點(diǎn)B,求AOAB面積的最小值.

(3)如圖②,等腰Rt^ABC中,斜邊AB=8,在A8邊上取點(diǎn)。(點(diǎn)。不與A、8重

合),以AO為直角邊在AB下方作等腰RIAADE,連結(jié)BE,點(diǎn)產(chǎn)為。3的中點(diǎn),連結(jié)CF,

試判斷CF與的位置和數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)1,3;(2)12;(3)CF=;BE,CF1BE,理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)因?yàn)榕c系數(shù)火無(wú)關(guān),則令與人有關(guān)的式子為0,即可求得定點(diǎn)坐標(biāo);

(2)過(guò)點(diǎn)尸任作一直線(xiàn)交y軸正半軸于點(diǎn)E,交X軸負(fù)半軸于點(diǎn)尸,過(guò)點(diǎn)8作BG//y軸

交EF卜點(diǎn)G,則,根據(jù)S&OEF-S四邊形OEGB=S四邊形OEPB+S△aBC=^AOAB可

知當(dāng)點(diǎn)P為A8中點(diǎn)時(shí),A048面積的最小,過(guò)點(diǎn)尸作PC_Ly軸于點(diǎn)C,軸于點(diǎn)

D,進(jìn)而根據(jù)P的坐標(biāo)和三角形面積公式計(jì)算即可;

(3)以AB所在直線(xiàn)為x軸,過(guò)點(diǎn)C作A3的垂線(xiàn)為》'軸建立平面直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原

點(diǎn)為。,)軸交BE于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為。,根據(jù)已知條件分別求得B,E的坐標(biāo),

設(shè)直線(xiàn)班:的解析式為):奴+力,待定系數(shù)法求解析式,求得b即OG的長(zhǎng),進(jìn)而可知

OF=OG,則可證明△COF絲△8OG,過(guò)點(diǎn)G作GH_L軸于點(diǎn)//,進(jìn)而證明

△GHE且△BOG可得GE=BG,即可得出數(shù)量關(guān)系CT7=38后,延長(zhǎng)CF交BE于點(diǎn)P,

根據(jù)AOBG+NBFP=NOCF+ZCFO=90°,可得位置關(guān)系CFLBE.

【詳解】

解:(1)y=/(x—1)+3伏*0),

當(dāng)x=l時(shí),y=3,

??.無(wú)論左取何值,其圖象直線(xiàn)總會(huì)過(guò)一定點(diǎn)。,3),

故答案為:L3;

(2)當(dāng)點(diǎn)P為A8中點(diǎn)時(shí),△。鉆面積的最小,理由如下:

過(guò)點(diǎn)P任作一直線(xiàn)交了軸正半軸于點(diǎn)E,交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)F,

過(guò)點(diǎn)8作BG//y軸交所于點(diǎn)G

則有N?4E=NP3G,PA=PB,ZAPE=NBPG

:.^PAE^^PBG

S40EF—$四邊形OEG8=$四邊形O£P(guān)B+S&PBG=S40AB,當(dāng)且僅當(dāng)EF與AB重合時(shí)取等號(hào)

過(guò)點(diǎn)產(chǎn)作PCLy軸于點(diǎn)C,PDLx軸于點(diǎn)。,

?.?P(-2,3),則PC=OD=2,PD=OC=3

■:ZAPC=4PBD,ZACP=ZPDB,PA=PB

:.AAPC沿APBD

AC=PD=3,PC=BD=2

OA=6,OB=4

'SAOAB=;x4x6=12,即A048面積的最小值為12.

(3)CF=;BE,CF1BE,理由如下:

以AB所在直線(xiàn)為x軸,過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)為丫軸建立平面直角坐標(biāo)系,

坐標(biāo)原點(diǎn)為。,y軸交班:于點(diǎn)G

J*

???△ABC、A4)E都是等腰直角三角形,AB=8

,A(T,O),B(4,0),OA=OB=OC

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為。,則AE=4O=a+4,DB=4-a

?.?點(diǎn)尸為OB的中點(diǎn)

二BF=Z)f=g(4-a),O尸=O8-Bf=g(4+a)

設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為丫=履+方,

把8(4,0)、£(T,-a-4)分別代入得

4k+b=0

-4k+h=-a-4

解得:〃(一。一4)

OG=g(4+〃)

:.OF=OG

NCOF=NBOG=90°

:.△CO&ABOG,

CF=BG,NOCF=ZOBG.

過(guò)點(diǎn)G作G”,短軸于點(diǎn)H,則〃G=04=08,

1.?AE//y軸,

:.NOGB=NHEG,

又?;4BOG=NGHE=90。

.-?AGHE出ABOG,GE=BG

:.CF=BG=GE,^CF=-BE

2

延長(zhǎng)CF交BE于點(diǎn)P

ZOBG+ABFP=NOCF+ZCFO=90°

ZFPB=90°,BPCF1BE

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,幾何題的解析解法,三角形全等的性質(zhì)與判定,等腰直角

三角形的性質(zhì),建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

14.(2021?湖北武昌?八年級(jí)期中)如圖,點(diǎn)尸為正方形ABC。的對(duì)角轉(zhuǎn)AC上一動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作PE±PB交射線(xiàn)DC于點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí),求證:PB=PE;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在。C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),探求線(xiàn)段叢、PC、CE的數(shù)量關(guān)系并加以

證明;

(3)如圖3,在(1)的條件下,連接BE交AC于點(diǎn)尸,若正方形45Q9的邊長(zhǎng)為4,

當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn),則尸尸=—(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果).

【答案】(D見(jiàn)解析;(2)AP-PC=^EC.證明見(jiàn)解析;(3)半.

【分析】

(1)如圖1,連接PD.分別證明PE=P。即可證明結(jié)論.

(2)結(jié)論:AP-PC=0EC.如圖2中,過(guò)點(diǎn)P作尸T_LPC交8c于7,過(guò)點(diǎn)T作THLBC

交AC于,,過(guò)點(diǎn)H作HKLAB于K,設(shè)PE交8c于點(diǎn)O.想辦法證明HK=BT=EC,

PC=PH,AH=^2HK,即可證明結(jié)論;

(3)如圖3中,過(guò)點(diǎn)尸作PALBE于L,過(guò)點(diǎn)尸作FQLCO于Q,FJ,8c于J.想辦

法求出PL,LF,再利用勾股定理,即可證明結(jié)論.

【詳解】

(1)證明:如圖1,連接PD

BC

圖1

???四邊形ABC。是正方形,

:.CB=CD1NPCB=NPCD=45。,

在△「。5和4PCQ中,

CB=CD

</PCB=/PCD,

CP=CP

:?△PCBQ/XPCD(SAS),

:?PB=PD,NCBP=NCDP,

?:PELPB,

:.ZBPE=ZBCE=90°f

,NCBP+NCEP=180。,

VZCEP+ZPED=180°f

:?/PED=/CBP,

:.ZPED=ZCDP9

:.PE=PD,

:?PB=PE;

(2)解:結(jié)論:AP-PC=^2EC.理由如下:

如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PTLPC交BC于T,過(guò)點(diǎn)T作THLBC交AC于",過(guò)點(diǎn)H作HK±AB

于K,設(shè)PE交3c于點(diǎn)O.

ZECO=N3PO=90。,ZEOC=/BOP,

:.ZE=ZPBTf

?:NBPE=NTPC=9。。,

■:ZBPT=/EPC,

NPCE=NPTC=45。,

:.PT=PCt

在480r和4EPC中,

4PBT=4E

<ZBPT=ZEPC,

PT=PC

:?△BPT^XEPC(A4S),

,BT=EC,

■:HT工BC,

:./TCH=/THC=450,

:.CT=TH,

VTP1C/7,

:?PC=PH,

u

:HK-LABf

:.ZHKB=ZKBT=_LHTB=90°,

,四邊形377/K是矩形,

:.HK=BT=EC,

VZAKH=90°fNKA"=45。,

:?AH=6KH=梃EC,

9:PA-PC=PA-PH=AH,

:.R\-PC=yf2EC;

(3)解:如圖3中,過(guò)點(diǎn)/,作于3過(guò)點(diǎn)/作尸QJ_CO于。,F(xiàn)JLBC于J.

D

E

0

C

?:BC=CD=4,CE=ED=2,NBCE=90。,

22

???BE=VEC+BC=VF+47=2忖

???ABPE是等腰直角三角形,PLLBE,

:?BL=EL=下,

:.PL=;BE=下,

:尸C平分NBCE,FQLCD,FJLBC,

J.FQ^FJ,

S*CFBFL.BC-FJ2

2

:.EF=LBE=",

33

:.FL=LE-EF=小-亞=逝,

33

:"F=〃尸+尸寸=娉甘+(肉2=半.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理的應(yīng)用,靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

15.(2021?福州華倫中學(xué)八年級(jí)期中)已知:在矩形A5a>中,AB=6,AD=4.

(1)如圖1,E、尸、G、”分別是AQ,AB,BC,CO的中點(diǎn)、求證:四邊形EFGH

是菱形;

(2)如圖2,若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、”分別在AD,AB,C。上,DE=\AD.

①連接3G,若BG=小,求AF的長(zhǎng);

②設(shè)Af=〃z,AG尸B的面積為S,且S滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式S=3-g/n.在自變量機(jī)的取

值范圍內(nèi),是否存在如使菱形EPGH面積最大?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出菱形EfG”面

積最大值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①,②存在相=2",菱形EFGH面積最大為18+2萬(wàn)

【分析】

(1)連接AC,BD,由E、F、G、H分別是AO,AB,BC,的中點(diǎn)可得,

EF=GH=、BD,EH=FG=-AC,又AC=83,得EF=GH=EH=FG,即結(jié)論得證;

22

(2)①過(guò)點(diǎn)G作G/_LAB延長(zhǎng)線(xiàn)于/,根據(jù)A4s證尾//痣,。//,得出G/=OE=1,根

據(jù)勾股定理求出8/,^AF=x,則8尸=6—x,再利用勾股定理求出x即可;

②延長(zhǎng)/G交OC延長(zhǎng)線(xiàn)于M,由①知AG/FMAEZ歸,同理可證AAEFWAMG”,則菱形

的面積=矩形4DWZ的面積-AG/F的面積-AEDW的面積-MEF的面積-AMG”的面積,

得出關(guān)于機(jī)的關(guān)系式即可得出機(jī)最大時(shí)菱形面積最大,當(dāng)〃與C重合時(shí)〃,有最大值,

求出此時(shí)的“,值即可.

【詳解】

圖1

?.?E、F、G,//分別是AO,AB,BC,CZ)的中點(diǎn),

:.EF=GH=-BD,EH=FG=-AC,

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