安徽省亳州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

毫州市普通高中20242025學(xué)年度第一學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的一條漸近線的方程為（）A. B. C. D.2.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.60 B.20 C.20 D.603.若向量，，共面，則（）A.6 B. C.30 D.4.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若P到直線的距離為5，則（）A.3 B.4 C.5 D.65.已知直線與平行，則（）A.1或3 B.0或3 C.0或1 D.1或0或36.某學(xué)校門口有3輛A公司的共享單車，4輛B公司的共享單車，5名同學(xué)從這7輛車中各選1輛騎行，同品牌的車因編號不同也視作不同的車，若沒有被選到的兩輛車是同一公司的，則這5名同學(xué)選擇共享單車的方法種數(shù)為（）A.180 B.360 C.720 D.10807.已知點(diǎn)，到直線的距離分別為和，若這樣的直線恰有兩條，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上且位于第一象限，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是上的動點(diǎn)，則（）A. B.的最大值為4C.的最大值為3 D.的最小值為10.某專賣店新進(jìn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G這7款充電寶，準(zhǔn)備將它們在貨柜里擺成一排售賣，則下列說法正確的是（）A.若A，B，C必須擺在前三個(gè)位置，則不同的擺法有144種B.若A，B，C彼此不相鄰，D，E，F(xiàn)，G也彼此不相鄰，則不同的擺法有72種C.若A，B，C彼此不相鄰，則不同的擺法有1440種D.若A不能擺在后兩個(gè)位置，則不同的擺法有3600種11.已知四棱柱的底面是邊長為2的菱形，底面，，，點(diǎn)滿足，其中，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)P到點(diǎn)B，，D，的距離相等，則B.若，則長度的最小值為C.若，則長度的最大值為2D.若，則點(diǎn)P的軌跡的長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為_______.13.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)（B在x軸上方），且，則直線的斜率為_______.14.若滿足能被5整除的n的最小值為，設(shè)，則方程表示的不同直線的條數(shù)為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.（I）求C的方程；（Ⅱ）若直線與C交于點(diǎn)A，B，求.16.（15分）已知直線：和圓：.（I）若直線與垂直，且經(jīng)過圓的圓心，求的方程；（Ⅱ）若P是直線上的動點(diǎn)，過P作圓的一條切線，切點(diǎn)為M，求的最小值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，，，兩兩垂直，，，.（I）若，求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅱ）若平面平面，求.18.（17分）設(shè).（I）求；（Ⅱ）若是中唯一的最大值，求的所有可能取值；（Ⅲ）若，求.19.（17分）如圖，過雙曲線E：的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，線段是E的虛軸，四邊形是面積為的矩形.（I）求的方程；（Ⅱ）設(shè)P是上任意一點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)G，直線PD與交于點(diǎn)H，證明：；（Ⅲ）過的左焦點(diǎn)的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，以為直徑的圓被直線截得的劣弧為，若直線變化時(shí)，劣弧所對的圓心角大小為定值，求的值.

亳州市普通高中2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)·答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.答案A命題透析本題考查雙曲線的幾何性質(zhì).解析在雙曲線方程中，，，其一條漸近線的方程為，即.2.答案D命題透析本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.解析的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.3.答案B命題透析本題考查空間向量的線性運(yùn)算.解析因?yàn)椋?，共面，所以存在?shí)數(shù)，，使得，所以解得所以4.答案A命題透析本題考查拋物線的幾何性質(zhì).解析由題意知C的準(zhǔn)線為，因?yàn)镻到直線的距離為5，所以P到直線的距離為3，即.5.答案B命題透析本題考查兩直線平行解析由題意知，∴或或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符合題意，舍去，∴或符合題意.6.答案D命題透析本題考查分類和分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用解析若沒有被選到的兩輛車是同一公司的，則A公司的選1輛或全選，所以這5名同學(xué)選擇共享單車的方法種數(shù)為.7.答案C命題透析本題考查圓與圓的位置關(guān)系.解析恰好存在兩條直線，使得點(diǎn)A，B到的距離分別為和，以A為圓心，為半徑作圓，以B為圓心，為半徑作圓，則兩圓有兩條公切線，即兩個(gè)圓相交，所以，因?yàn)?，所以，解得?8.答案C命題透析本題考查橢圓的性質(zhì)與基本不等式的應(yīng)用.解析由題意知，.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，消去，可得，所以，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，所以的最大值為.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.答案BC命題透析本題考查橢圓的幾何性質(zhì).解析，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；由題意可得，，設(shè)，則，所以，故C正確；，故D錯(cuò)誤.10.答案ACD命題透析本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.解析對于A項(xiàng)，A，B，C的擺法有種，D，E，F(xiàn)，G的擺法有種，所以不同的擺法有6×24=144種，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，采用插空法，先將D，E，F(xiàn)，G進(jìn)行全排列，再將A，B，C插到D，E，F(xiàn)，G所形成的3個(gè)空中，所以不同的擺法有種，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，先將D，E，F(xiàn)，G進(jìn)行全排列，再將A，B，C插到D，E，F(xiàn)，G所形成的5個(gè)空中，所以不同的擺法有種，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，先將A擺在前五的某一個(gè)位置，再將剩下6個(gè)進(jìn)行全排列，所以不同的擺法有種，故D項(xiàng)正確.11.答案ABD命題透析本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.解析對于A，若點(diǎn)P到點(diǎn)B，，D，的距離相等，則點(diǎn)P在經(jīng)過對角面的中心，且垂直于平面的直線上，分別取，的中點(diǎn)，，連接，如圖（1），則點(diǎn)P在線段上，則，，所以，故A正確；圖（1）對于B，若，則點(diǎn)在上及其內(nèi)部，如圖（2），圖（2）則長度的最小值為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為與的交點(diǎn)，則所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，易知為等腰直角三角形，所以，故B正確；對于C，若，則點(diǎn)P在上及其內(nèi)部，如圖（3），圖（3）則長度的最大值為，，中的一個(gè)，計(jì)算可得，，所以長度的最大值為，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，所以，所以，所以，則點(diǎn)在平面內(nèi)，且在以為圓心，半徑為1的圓弧上,這段圓弧的長度為，故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案命題透析本題考查空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.解析因?yàn)?，所以點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為.13.答案命題透析本題考查拋物線的定義，拋物線與直線的位置關(guān)系.解析過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，E，過A作直線的垂線，垂足為，依題知，，∵，，，∴，，故的斜率為.14.答案13命題透析本題考查二項(xiàng)式定理以及分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.解析，當(dāng)時(shí)，都不能被5整除，能被5整除，所以n的最小值為4，所以.當(dāng)，時(shí)，方程表示直線；當(dāng)，時(shí)，方程表示直線；當(dāng)且時(shí)，方程表示直線；當(dāng)且時(shí)，方程表示的直線條數(shù)為（注意方程與表示同一條直線，方程與表示同一條直線）.綜上可得方程表示的不同直線的條數(shù)為13.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.命題透析本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，橢圓與直線的位置關(guān)系.解析（I）由經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，得解得，，故C的方程為.（Ⅱ）設(shè)，.由得，，所以，，所以.16.命題透析本題考查直線與圓的位置關(guān)系.解析（I）因?yàn)橹本€與m：垂直，故設(shè)：.圓C的方程可化為，圓心為，因?yàn)榻?jīng)過圓心，所以，解得，故的方程為.（Ⅱ）設(shè)，由（I）可知圓C的半徑，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以的最小值為.17.命題透析本題考查利用空間向量解決立體幾何中的問題.解析以A為原點(diǎn)，直線，，分別為x軸、y軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（I）由已知得，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則即取.設(shè)直線與平面所成的角為，則.（Ⅱ）設(shè)，則，所以，.設(shè)的法向量為，則即取.由（Ⅰ）知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，解得，?18.命題透析本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.解析（I）由，令，可得，令，可得，所以.（Ⅱ）由題意知的展開式的通項(xiàng)為，所以，.因?yàn)槭侵形ㄒ坏淖畲笾?，所以根?jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).可得，即解得，則的所有可能取值為20，21，22.（Ⅲ）所以，，則.因?yàn)?，所?19.命題透析本題考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線與直線的位置關(guān)系.解析（I）設(shè)，由題意知，.將代入E的方程，得，則，.因?yàn)樗倪呅问敲娣e為的矩形，所以