潮州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案詳解）

潮州市2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末高二級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號(hào)填寫在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案：不能答在試卷上.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答素，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一?選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項(xiàng)選擇題，9至11小題為多項(xiàng)選擇題）（一）單項(xiàng)選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）已知點(diǎn)P2,1和點(diǎn)Q3,6，則直線的傾斜角為（ ）A.60o B.45o C.120o D.135o等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S2010a8ak，則正整數(shù)k的值為（ ）.A.16 B.15 C.14 D.13若橢圓C

x22a2 2

，則a（ ）3232333A. B.4 C. D.2333ar6,3是直線l的方向向量，b2,m,是平面的法向量，若l∥a，則m（ ）aA.15

B.1 C.13 3

D.15已知點(diǎn)2,7和點(diǎn)8,5，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A.(x5)2(y6)240

B.(x5)2(y6)21010C.(x5)2(y6)210 D.(x5)2(y6)221010正方體ABCD的棱長為E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線CE的距離為（ ）2A.2x2 2

3B.1 C.2

D. 2已知雙曲線C: m

1m0的一條漸近線為l:3xmy0，過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交雙曲線C于兩點(diǎn)，則弦AB的長度為（ ）23

33

2 D.1是公差為 的等差數(shù)列，記數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,a2，若數(shù)列Sn 1 a的值為（ ）是公差為 的等差數(shù)列，n n

a 2 6nA.18 B.12 C.6 D.3（二）多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題有多個(gè)選項(xiàng)正確，每小題全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.已知點(diǎn)P2,3和圓Q:(x1)2(y2)29，下列說法正確的是（ ）圓心Q2r3P在圓Q外P且與圓Q相切直線有且只有一條34設(shè)點(diǎn)M是圓Q上住意一點(diǎn)，則PM最小值為 334ABCABCABACAA90o

60o，111 1 1 1M?N分別是AC上的點(diǎn)，若BM2BA,CN2CB，則（ ）1 11

3 1

3111cos,6AB1BC1112

5MN3AB3AC3MN3設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線Cy22pxp0Fy3x1與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，則（ ）p2C.MN163

B.MFy軸相切D.三角形MON的面積為833二?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.等比數(shù)列a3nSS8

.Sn nS410直線l3xym0被圓Cx2y22x4y0AB的長為10

，則實(shí)數(shù)m的值為 .x2 y2

F,F,P

1 1橢圓M: a2 9

1a0的左、右焦點(diǎn)分別為1 2

為橢圓M上任一點(diǎn)，且 最小PF1PF22值為1，則橢圓M的離心率是PF1PF22三?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17題每題15分，第18?19題每題17分，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟已知等差數(shù)列and01a2a3a6成等比數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；記數(shù)列anS，求數(shù)列Sn2nn項(xiàng)和T.n n n n ABCDA24B3C27Dmn.BC的垂直平分線的方程；ABCDDABCD的面積.SABCDSAABCDABADADBCSAABBC1，AD1，點(diǎn)E在CD上，且EC2ED.2SABSBC；BESCD所成角的正弦值.已知數(shù)列a的首項(xiàng)a3，且滿足a

3an.n 1 1

n1

2an3求證：數(shù)列a為等差數(shù)列；n求數(shù)列an通項(xiàng)公式；若aaaaa

Laa 3n.12 23 3

nn1 419.橢圓C:x2y21ab0F10，且橢圓CP3.2 2 2a b 求橢圓C的方程；設(shè)橢圓CMB是橢圓CM的不同兩點(diǎn).FBMBMF的面積的最大值；MAMBkkkk1AB是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由.

1 2 12 4潮州市2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末高二級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號(hào)填寫在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案：不能答在試卷上.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答素，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一?選擇題（本題共11道小題，其中1至8小題為單項(xiàng)選擇題，9至11小題為多項(xiàng)選擇題）（一）單項(xiàng)選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）已知點(diǎn)P2,1和點(diǎn)Q3,6，則直線的傾斜角為（ ）A.60o B.45o C.120o D.135o【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式以及傾斜角與斜率的關(guān)系ktana即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閗611，且ktana，所以PQ3 2故選：B等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S2010a8ak，則正整數(shù)k的值為（ ）.A.16 B.15 C.14 D.13【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)即可求解；S

10aa

20a1a20

a，，所以 ，所以 10a所以a1a20a8ak,

2 8 k所以1208kk13故選：D若橢圓C

x22a2 2

，則a（ ）3232333A. B.4 C. D.2333【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用離心率的意義求出a值.3a13a1【詳解】依題意， ，所以a2.a 2故選：Dar6,3是直線l的方向向量，b2,m,是平面的法向量，若l∥a，則m（ ）aA.15

B.1 C.13 3

D.15【答案】A【解析】【分析】由l∥a，得到ab0，求解即可；【詳解】由l//a，得ab0，即62m30，解得m15.故選：A已知點(diǎn)2,7和點(diǎn)8,5，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A.(x5)2(y6)240

B.(x5)2(y6)21010C.(x5)2(y6)210 D.(x5)2(y6)221010【答案】C10【解析】10【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓，兩點(diǎn)間距離公式求得半徑，即可求解28272827521212PP為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x52y6210.12故選：C

2 .正方體ABCD的棱長為E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線CE的距離為（ ）232A. B.1 C.2

D. 2【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法即可求解.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖， 1 1 則B，0)，E0, ,1，1 1 2 所以CE ,1，CB(0,，2 CEuuurCE

112 1，1114|CB||CB|221CBCE1CE

1.221已知雙曲線C

x2ymy

1m0的一條漸近線為l:3xmy0，過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交雙曲線C于兩點(diǎn)，則弦AB的長度為（ ）23

33

2 D.1【答案】A【解析】mCF20的坐標(biāo)，從而可得答案.3【詳解】由漸近線方程3xmy0化簡得y3m

x，即b ，3a m3b2 3同時(shí)平方得a2 m2，a2mb21，故3m2

1m,m0（舍去，mx2 2 2 2 2所以雙曲線C: 3

且

ab

314c2，所以雙曲線C的右焦點(diǎn)為F2,0，右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交雙曲線C于A?B兩點(diǎn)， 3 3則A2,3,B2,3， 233故弦AB的長度為 233故選：A.是公差為 的等差數(shù)列，記數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,a2，若數(shù)列Sn 1 a的值為（ ）是公差為 的等差數(shù)列，n n

a 2 6nA.18 B.12 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得Sn，再由Sn與an的關(guān)系即可求解；【詳解】∵Sa，∴S11，a1 1a1Sn1又∵a是公差為2的等差數(shù)列，na∴Sn11n1n1，∴San 2 2 n

n1an n2

nan1，n1 2∴aSS

n1annan1n

na

，即an

an1，n n n1 2 2

n

n n1∵a2，∴a6……2，∴a121 6 5 1 6故選：B（二）多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題有多個(gè)選項(xiàng)正確，每小題全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.已知點(diǎn)P2,3和圓Q:(x1)2(y2)29，下列說法正確的是（ ）圓心Q2r3P在圓Q外P且與圓Q相切的直線有且只有一條34設(shè)點(diǎn)M是圓Q上住意一點(diǎn)，則PM的最小值為 334【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷，對(duì)于B和C選項(xiàng)，求出|PQ|并和半徑比較即可求解，對(duì)D

的最小值為PQr即可求解.【詳解】圓Q：(x1)2(y2)29的圓心Q1,2，半徑為r3，選項(xiàng)A正確；(21)(21)2(32)2

r3，34所以點(diǎn)P在圓Q外，所以過點(diǎn)P且與圓Q相切的直線有2條，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；34設(shè)點(diǎn)M是圓Q上任意一點(diǎn)，PMPQr

343D正確.34故選：ABD.ABCABCABACAA90o

60o，111 1 1 1M?N分別是AC上的點(diǎn)，若BM2BA,CN2CB，則（ ）1 11

3 1

3111cos,6AB1BC1112

5MN3AB3AC3MN3【答案】AD【解析】

rr rr 1AB=aACbc，先求出ab0，acbc2uuuur

1r r r3ABCMN3

abcD.【詳解】設(shè)AB=a，ACb，AA1c，因?yàn)锳BACAA11，1rr rr1o oBAC

，BAA1CAA160，所以ab0，acbc2.A?BABac，BCACABbac，

r r

r r

r rr r2 r2 11B1acbacabbca誤；

20，所以AB1與BC1不垂直，即B錯(cuò)r2

r r

r2 r2 rr

uuur

ac

ac

2ac3，所以 ，3uuur23

r r r2

2 r2 r2rr

rr rr rr

uuur

abc

ab

c2ab2ac2bc3，BC1 3，uuuruuur所以cosAB,BC

1331 1 3 6對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)锽M2BA，CN2CB，3 1 1 311NNABB1C1AB

AC AB

1uuurAC，

11

3 3 3 3A1M

3

AB，MNN

3AB

1AC

ABAA

1AB

1uuurAC

1uuurAA1，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，

2 3 3 3 3 3

1r r r2

1r2 r2 r2

rr rr rr 1 5MN

abc abc2ab2ac2bc 32 ，9 9 9 9uuuurMN

，故D正確.535故選：AD.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線Cy22pxp0Fy

3x1與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，則（ ）A.p2C.MN163

B.MFy軸相切D.三角形MON的面積為833【答案】ABC【解析】3【分析根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)求出p2可判斷求出圓心坐標(biāo)與圓的半徑可判斷利用焦半徑公式判斷C；求出點(diǎn)O到直線3xy 0的距離，結(jié)合三角形面積公式判斷D.3【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)閽佄锞€Cy22pxp0F0p2A選項(xiàng)正確；則拋物線Cy24x.MNx2y2.BMxyF0MFA1,，1 1 2 2 所以點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為dx11，2

1，所以半徑rx11，所以dr2所以，以MF為直徑的圓與y軸相切，B選項(xiàng)正確.yC選項(xiàng)：由

3x1y，并化簡得3x210x30xx

10，y2

1 2 3y

3x1過拋物線Cy22pxp0F0，所以MNx

p31216，C選項(xiàng)正確.1 2Dy

3 333x1，即3xy 0，33點(diǎn)O到直線3xy 0的距離為3

3，31313所以三角形MON的面積為116 343，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.2 3 2 3故選：ABC.二?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.等比數(shù)列a3nSS8

.Sn nS4【答案】82【解析】

a(1qn)【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn1 即可求解.1q【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列an的首項(xiàng)a10，a138S 1 8 242 1414所以

13 1

182.1S4 a11

1

1

113故答案為：82.10直線l3xym0被圓Cx2y22x4y0AB的長為10

，則實(shí)數(shù)m的值為 .【答案】4或-6【解析】【分析】由直線與圓相交，弦長公式求解即可；5【詳解】將圓的方程化為(x1)2(y2)25，所以圓心C2，半徑為r ，532m3232m32121m105d2102 15d2102 因?yàn)橄议L為AB2 ，所以d ，即 ，m4m6.1故答案為：4或-6.1

2 10 2x2 橢圓M: a2 9

1a0

為橢圓M上任一點(diǎn)，且 1 最小PF1PF22值為1，則橢圓M的離心率是PF1PF22【答案】 7##1 74 4【解析】【分析】利用基本不等式及橢圓的定義，進(jìn)行代換，得到答案.PFPF2

2a2

1 2

a2，1 2 2

2 PF1PF2PF1PF1PF2PF1PF1PF2

2a

2當(dāng)且僅當(dāng) 1 1PF1PF2PF1PF2PF1PF2由題意知21，解得PF1PF2aa2a2

27 ，所以ec 7,7a 4故答案為：e 74三?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17題每題15分，第18?19題每題17分，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟已知等差數(shù)列and01a2a3a6成等比數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；記數(shù)列anS，求數(shù)列Sn2nn項(xiàng)和T.n n n n （1）an32n（2）

3n2

2n12【解析】（1）n（2）列出數(shù)列nnSn

naa1 n2 2n1 n22化簡得到答案.【小問1詳解】∵等差數(shù)列an中，a2,a3,a6成等比數(shù)列，∴a2aa，∴

2d2ad

5d3 2 6

1 1 1化簡得d22ad0，∵a1,d0，解得d2，1 1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為:ana1n1d32n.【小問2詳解】n數(shù)列nnSn

naa1 n2 2n1 n22所以Sn2n2n2n，所以T2121222223232n2nn n2222123n2122232nn1n

212n

3nn22n 2n12,2 12 2

3n2

2.ABCDA24B3C27Dmn.BC的垂直平分線的方程；ABCDDABCD的面積.（1）2x8y430（2）D1,8，13【解析】【分析】（1）由B,C坐標(biāo)求出BC的中點(diǎn)為3,5，又由BC的斜率即可求出與BC垂直的直線的斜率，2 最后由直線的點(diǎn)斜式即可求解；（2）由四邊形ABCD為平行四邊形可得kADkBC,kCDkAB，聯(lián)立方程組即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得點(diǎn)A到直線BC的距離，根據(jù)面積公式即可求解.【小問1詳解】B1,3,C2,7BC的中點(diǎn)為35，2 BC的斜率為

734，21所以邊BC的垂直平分線的斜率為1，4所以邊BC的垂直平分線的方程為y51x3，4 2 化簡得2x8y430；【小問2詳解】ABCDDmn，所以kAD

n4km2

4

n7m

kAB

341，12 3mn8D1,8.因?yàn)檫匓C的斜率為kBC4，2441422BCy34x244142217所以點(diǎn)A2,4到直線BC的距離為d 1317，171223122372ABCDBCd

1713171317SABCDSAABCDABADADBCSAABBC1，AD1，點(diǎn)E在CD上，且EC2ED.2SABSBC；BESCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2） 3.2【解析】【分析】（1）利用線面垂直判定定理先得BC平面SAB,進(jìn)而得到結(jié)論.(2)SAABCDABAD,A求法即可解得結(jié)果.【小問1詳解】ABADAD//BCABBCSAABCDSABC，因?yàn)镾A,AB平面SAB，且SAABA，BCSAB，BCSBC，所以平面SAB平面SBC，【小問2詳解】SAABCDABAD、、ASxy軸?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由SAABBC1，AD12D(,0,0)可得：0)，0)， 1D(,0,0)2

，S(0,，1 1 1 C20B20SD21 因?yàn)辄c(diǎn)E在CD上，且EC2ED，

1

1

2 2 DE3DCBEDEDB3DCDB330，n(x,yzSCD的一個(gè)法向量， 則nDC，nSD，即nDC0，nSD0，1xy0

，xz0z1x2y1，n2，BESCD

uuurrqcosBE,n

rBEgnrBEn

423 341144119 9

3，2直線BE與平面SCD所成角正弦值為 3.2已知數(shù)列aa3a

3an .n 1 1

n1

2an3求證：數(shù)列a為等差數(shù)列；n求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若aaaaa

Laa 3n.12 23 3

nn1 4【答案】（1）證明見解析（2）

32n3（3）12【解析】【分析】(1)a

3an

兩邊同時(shí)取倒數(shù)，進(jìn)行化簡即可得證；n1

2an3利用(1)中的結(jié)論即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；根據(jù)數(shù)列nnn1nSnn的不等式即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列aa

3an ，n

2an31所以an1

2an313an

2，即3

11an1

2，3又由a3，所以15，1 5 a 311 5 2所以數(shù)列a表示首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列；n2詳解】1 5 2由(1)可知數(shù)列a表示首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，n所以152(n1)2n3，所以a 3 ，an 3 3 3

n 2n3所以數(shù)列a的通項(xiàng)公式為a 3 ；n n 2n3【小問3詳解】

32n

an1

3，2n5所以aa 9

9 1 1 ，nn1

2n32n

22n3 2n5 設(shè)數(shù)列anan1的前n項(xiàng)和為Sn 所以Sna1a2a2a3a3a4anan19111111 1

1 25 7 7 9 9 11 91 1 ， 25 2n5 若S3，即91 1 3，解得n25， n 4 25 2n5 4 2因?yàn)閚是整數(shù)，所以滿足S3的最大整數(shù)n的值為12.n 419.橢圓C:x2y21ab0F10，且橢圓CP3.2 2 2a b 求橢圓C的方程；設(shè)橢圓CMB是橢圓CM的不同兩點(diǎn).FBMBMF的面積的最大值；MAMBkkkk1AB是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由.

1 2 12 42221【答案】（1）xy14 3（2（i）33（i）B過定點(diǎn),0.2【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義：到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定長，列出等式，即可求得結(jié)果.（2（i）寫出三角形的