人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三8.2第3課時 指數(shù)函數(shù)模型與冪函數(shù)模型-同步練習(xí)【含答案】

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三8.2第3課時指數(shù)函數(shù)模型與冪函數(shù)模型-同步練習(xí)1.某公司對某產(chǎn)品做市場調(diào)查，獲得了該產(chǎn)品的定價x(單位：萬元/噸)和一天的銷量y(噸)的一組數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)制作了如圖所示的統(tǒng)計表和散點圖．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,t)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,x)iyieq\i\su(i＝1,10,t)iyi0.331030.16410068350表中t＝eq\f(1,x).(1)根據(jù)散點圖判斷，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))與eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x－1＋eq\o(d,\s\up6(^))哪一個更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程(給出判斷即可，不必說明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(3)若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.25萬元，依據(jù)(2)的經(jīng)驗回歸方程，預(yù)計每噸定價多少時，該產(chǎn)品一天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))2．根據(jù)黨的“扶貧同扶志、扶智相結(jié)合”精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧政策，中國兒童少年基金會為了豐富留守兒童的課余文化生活，培養(yǎng)良好的閱讀習(xí)慣，在農(nóng)村留守兒童聚居地區(qū)捐建“小候鳥愛心圖書角”.2022年某村在寒假和暑假組織開展“小候鳥愛心圖書角讀書活動”，號召全村少年兒童積極讀書，養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，下表是對2018年以來近5年該村莊100位少年兒童的假期周人均讀書時間的統(tǒng)計：年份20182019202020212022年份代碼x12345每周人均讀書時間y(小時)1.32.85.78.913.8現(xiàn)要建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，有兩個不同的經(jīng)驗回歸模型可以選擇，模型一eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；模型二eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x2＋eq\o(d,\s\up6(^))，即使畫出y關(guān)于x的散點圖，也無法確定哪個經(jīng)驗回歸模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.1x－2.8.(1)請你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的經(jīng)驗回歸方程(計算結(jié)果保留到小數(shù)點后一位)；(2)用計算殘差平方和的方法比較哪個模型擬合效果更好，已經(jīng)計算出模型一的殘差平方和為eq\i\su(i＝1,5,

)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝3.7.參考數(shù)據(jù)：eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)≈0.52，其中ti＝xeq\o\al(2,i)，i＝1,2,3,4,5.參考公式：經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,

)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).3．中國茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某學(xué)習(xí)研究小組通過測量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)(室溫是20℃)．泡制時間x/min01234水溫y/℃8579747165(1)小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點圖(圖略)，并根據(jù)散點圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫(即20℃)就不能再降的事實，決定選擇函數(shù)模型y＝kcx＋20(x≥0)來刻畫．①令z＝ln(y－20)，求出z關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；②利用①的結(jié)論，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k與c.(2)你認(rèn)為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產(chǎn)生最佳口感？參考數(shù)據(jù)：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，eq\f(400,667)≈0.6，參考公式：eq\o(z,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)zi－\x\to(z),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).4．某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量x/萬元24681012收益y/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\i\su(i＝1,6,x)iyieq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)7301464.24364(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：①剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的經(jīng)驗回歸方程；②廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預(yù)測值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).參考答案與詳細(xì)解析1．解(1)根據(jù)散點圖可知，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))x－1＋eq\o(d,\s\up6(^))更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程．(2)由t＝eq\f(1,x)，得eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))t＋eq\o(d,\s\up6(^))，所以eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,t)iyi－10\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,t)\o\al(2,i)－10\x\to(t)2)＝eq\f(350－10×3×10,100－10×32)＝5，所以eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(c,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝10－5×3＝－5，所以y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝5t－5，故y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,x)－5.(3)設(shè)一天的利潤為W，W＝y(tǒng)(x－0.25)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,x)－5))(x－0.25)＝6.25－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(0.25,x)))≤6.25－5×2eq\r(x×\f(0.25,x))＝6.25－5×2×0.5＝1.25，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(0.25,x)即x＝0.5時等號成立，所以預(yù)計每噸定價為0.5萬元時，該產(chǎn)品一天的銷售利潤最大，最大利潤是1.25萬元．2．解(1)令t＝x2，則模型二可化為y關(guān)于t的線性經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))t＋eq\o(d,\s\up6(^))，則eq\x\to(t)＝eq\f(1＋4＋9＋16＋25,5)＝11，eq\x\to(y)＝eq\f(1.3＋2.8＋5.7＋8.9＋13.8,5)＝6.5，則由參考數(shù)據(jù)可得eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)≈0.52≈0.5，eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(c,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝6.5－0.52×11≈0.8，則模型二的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x2＋0.8.(2)由模型二的經(jīng)驗回歸方程可得，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(1))＝0.5×1＋0.8＝1.3，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(2))＝0.5×4＋0.8＝2.8，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(3))＝0.5×9＋0.8＝5.3，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(4))＝0.5×16＋0.8＝8.8，eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(5))＝0.5×25＋0.8＝13.3，∴eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))eq\o(,\s\up1((2)),\s\do2(i)))2＝02＋02＋0.42＋0.12＋0.52＝0.42<3.7，故模型二的擬合效果更好．3．解(1)①由已知得出x與z的關(guān)系，如下表：泡制時間x/min01234z4.24.14.03.93.8設(shè)經(jīng)驗回歸方程eq\o(z,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由題意，得eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2，eq\x\to(z)＝eq\f(4.2＋4.1＋4.0＋3.9＋3.8,5)＝4，∴eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(zi－eq\x\to(z))＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)zi－\x\to(z),\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(－1,10)＝－0.1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4＋0.1×2＝4.2，則z關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝－0.1x＋4.2.②由y＝kcx＋20(x≥0)，得y－20＝kcx(x≥0)，兩邊取對數(shù)得，ln(y－20)＝lnk＋xlnc，利用①的結(jié)論得，lnc＝－0.1，lnk＝4.2，∴c＝e－0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7.(2)由(1)得，eq\o(y,\s\up6(^))＝66.7×0.9x＋20(x≥0)，令eq\o(y,\s\up6(^))＝60，得x＝log0.90.6≈4.8.∴