高等代數(shù)課件：線性相關(guān)與線性無關(guān)

向量空間

向量是線性代數(shù)的重點內(nèi)容之一，也是難點，對邏輯推理有較高的要求.

本章從研究向量的線性關(guān)系(線性組合，線性相關(guān)、無關(guān))出發(fā)，然后討論向量組含最多的線性無關(guān)的向量的個數(shù)，即引出向量組的秩和極大無關(guān)組，進(jìn)而擴(kuò)展到向量空間的基、維數(shù)、坐標(biāo)等.最后，應(yīng)用向量空間的理論研究線性方程組解的結(jié)構(gòu).

本章特點：概念多，定理多，結(jié)論多，證明多目錄1線性相關(guān)與線性無關(guān)23基45向量組的秩線性空間線性方程組解的結(jié)構(gòu)1n維向量的定義與運(yùn)算2第一節(jié)線性相關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)三個坐標(biāo)軸上的基本單位向量為則任一三維向量可表示為運(yùn)算：⑴加法:⑵數(shù)乘：⑶數(shù)量積：向量內(nèi)積及與模,夾角關(guān)系矩陣乘積表示可用作內(nèi)積定義一、n維向量的定義與運(yùn)算（一）3維向量三維向量全體構(gòu)成的集合,稱為三維向量空間.記做向量解析幾何線性代數(shù)既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意平行移動的有向線段代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)系（一）3維向量一、n維向量的定義與運(yùn)算空間解析幾何線性代數(shù)點空間：點的集合向量空間：向量的集合坐標(biāo)系代數(shù)形象：向量空間中的平面幾何形象：空間直線、曲線、空間平面或曲面一一對應(yīng)一、n維向量的定義與運(yùn)算（一）3維向量

任意數(shù)域上的

n個有順序的數(shù)

所組成的數(shù)組稱為n維向量.其中數(shù)稱為向量的第j個分量(或坐標(biāo)).定義例如n維實向量n維復(fù)向量向量的分量都是實數(shù)時稱為實向量，分量中有復(fù)數(shù)時稱為復(fù)向量.（二）n維向量的定義一、n維向量的定義與運(yùn)算上全體n維向量的集合，稱為n維向量空間（數(shù)組空間），記為.

時，維向量沒有直觀的幾何形象．

確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下6個參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的仰角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量

（三）n維向量的實際意義一、n維向量的定義與運(yùn)算例1例2

n－1次代數(shù)多項式系數(shù)向量

線性方程組Ax=b其中一、n維向量的定義與運(yùn)算例3增廣矩陣其中第1個方程第2個方程第m個方程未知向量右端向量一、n維向量的定義與運(yùn)算1.兩向量相等設(shè)中任意2向量則2.零向量分量都是0的向量稱為零向量，記做，即

.3.向量的線性運(yùn)算1)加法同維則一、n維向量的定義與運(yùn)算（四）n維向量的運(yùn)算設(shè)中任意2向量2)數(shù)乘3)負(fù)向量4)減法5)向量線性運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律設(shè)都是n維向量，k,l為實數(shù)一、n維向量的定義與運(yùn)算（四）n維向量的運(yùn)算4.行向量、列向量、轉(zhuǎn)置行向量列向量轉(zhuǎn)置注意：行、列向量在代數(shù)上表示不同的向量，在幾何上表示同一個向量5.向量內(nèi)積1)定義：設(shè)有數(shù)域中的n維向量與，稱為向量與的內(nèi)積.（四）n維向量的運(yùn)算一、n維向量的定義與運(yùn)算2)運(yùn)算律⑴對稱性易見注意：有的書上也記做或

.⑵齊次性⑶分配性四、n維向量的運(yùn)算一、n維向量的定義與運(yùn)算⑷非負(fù)性⑸不等式證對任意實數(shù)t，由性質(zhì)⑷有則6.向量范數(shù)（模，長度）1)定義：任意n維向量的范數(shù)定義為：注：此時⑸之不等式可寫為四、n維向量的運(yùn)算一、n維向量的定義與運(yùn)算2)性質(zhì)⑴非負(fù)性且⑵正齊次性⑶三角不等式證幾何解釋：三角形兩邊之和大于第三邊（四）n維向量的運(yùn)算一、n維向量的定義與運(yùn)算3)夾角設(shè)與是n維非零向量，則其夾角定義為4)正交若，則稱向量與正交，記做（四）n維向量的運(yùn)算一、n維向量的定義與運(yùn)算5)是單位向量非零向量單位化設(shè)，單位化向量則有且與同向.（四）n維向量的運(yùn)算一、n維向量的定義與運(yùn)算1.線性組合、線性表示定義

設(shè)均為中的n維向量，若有一組數(shù)，使得則稱是的線性組合.稱為組合系數(shù).又稱可由線性表示.例如⑴設(shè)則可由線性表示為。一、n維向量的定義與運(yùn)算(五)n維向量的線性組合⑵向量組

，則有因此，是和的線性組合.一、n維向量的定義與運(yùn)算(五)n維向量的線性組合2.

線性表示的矩陣形式，與線性方程組的關(guān)系例4設(shè)向量組試判斷是否可由線性表示？如果可以的話，求出一個線性表示式.一、n維向量的定義與運(yùn)算(五)n維向量的線性組合解

可由線性表示存在一組數(shù)使得有解一、n維向量的定義與運(yùn)算(五)n維向量的線性組合而取特解所以，可由線性表示為

判斷數(shù)字向量是否可由另一組向量線性表示－－轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組是否有解一、n維向量的定義與運(yùn)算(五)n維向量的線性組合一、n維向量的定義與運(yùn)算(六)線性方程組解的向量表示例5

求解齊次線性方程組解一、n維向量的定義與運(yùn)算(六)線性方程組解的向量表示一、n維向量的定義與運(yùn)算或參數(shù)形式思考：線性方程組通解與特解的形式(六)線性方程組解的向量表示一、n維向量的定義與運(yùn)算(六)線性方程組解的向量表示或向量

形式非齊次線性方程組AX=β的通解為一、n維向量的定義與運(yùn)算(六)線性方程組解的向量表示定義⑴若有一組不全為零的數(shù)，使得則稱向量組線性相關(guān);⑵否則稱向量組線性無關(guān);設(shè)均為n維向量，（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義二、線性相關(guān)與線性無關(guān)“否則”沒有一組不全為零的數(shù)，使得對任意一組不全為零的數(shù)，都有只有當(dāng)?shù)臅r候，才有使成立，只有（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義二、線性相關(guān)與線性無關(guān)特別地：⑴對單個向量組成的向量組⑵一組同維向量，若包含零向量，則必定線性相關(guān).（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義二、線性相關(guān)與線性無關(guān)注意：對任意一組向量，不是線性相關(guān)就是線性無關(guān)例6設(shè)是兩兩正交的非零向量組，證明該向量組線性無關(guān).設(shè)有一組數(shù)，使得證把上式兩端同時與作內(nèi)積，有二、線性相關(guān)與線性無關(guān)（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義因為向量組兩兩正交,所以所以又因為所以一定有所以向量組線性無關(guān).（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義二、線性相關(guān)與線性無關(guān)例9判斷n維向量組的線性相關(guān)性.設(shè)有一組數(shù)，使得解二、線性相關(guān)與線性無關(guān)（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義即所以只有當(dāng)時上式才成立，所以此向量組線性無關(guān).一般地，稱向量組為單位坐標(biāo)向量組.二、線性相關(guān)與線性無關(guān)（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義例7判斷例1中向量組的線性相關(guān)性.解法一由例4知即有而不全為零，所以線性相關(guān).解法二設(shè)有一組數(shù)，使得（二）通過線性方程組的解判斷線性相關(guān)性二、線性相關(guān)與線性無關(guān)即比較上式兩端向量的對應(yīng)分量，得到齊次線性方程組可得一組非零解，所以線性相關(guān).

判斷數(shù)字向量組線性相關(guān)或無關(guān)的方法－－齊次線性方程組是否有非零解（一）線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義二、線性相關(guān)與線性無關(guān)例8

設(shè)向量組線性無關(guān)，判斷向量組的線性相關(guān)性.設(shè)有一組數(shù)，使得解線性無關(guān)二、線性相關(guān)與線性無關(guān)（二）通過線性方程組的解判斷線性相關(guān)此方程組只有零解，即所以向量組線性無關(guān).二、線性相關(guān)與線性無關(guān)（二）通過線性方程組的解判斷線性相關(guān)二、線性相關(guān)與線性無關(guān)（二）通過線性方程組的解判斷線性相關(guān)如果矩陣A的子矩陣A0的各行（列）線性無關(guān)，則由A0的這些行（列）擴(kuò)充得到的A的行（列）線性無關(guān)。對于向量而言：短無關(guān)，則長無關(guān)；長相關(guān)，則短相關(guān)。若兩個非零向量和共線，則存在不全為零的數(shù)，使若和不共線，則只有當(dāng)全為0時，才有若三個非零向量共面，則其中至少有一個向量可由另外兩個向量線性表示不妨設(shè)存在不全為零的數(shù)，使（三）三維向量的幾何背景二、線性相關(guān)與線性無關(guān)若不共面，則任一個向量都不能由另外兩個向量線性表示只有當(dāng)全為0時，才有（三）三維向量的幾何背景二、線性相關(guān)與線性無關(guān)證畢（四）線性相關(guān)性判定定理二、線性相關(guān)與線性無關(guān)定理1

（）線性相關(guān)中某個向量可由其余個向量線性表示其中某個向量可以寫成它前面的向量的線性組合．（四）線性相關(guān)性判定定理二、線性相關(guān)與線性無關(guān)思考：與書中第36頁，定理2.2.1的區(qū)別？設(shè)線性相關(guān),

則可用線性表示.(2)設(shè)線性相關(guān),

則其中任一個可用其余m-1個線性表示.(3)設(shè)線性相關(guān),

則其中有一個可用其余m-1個線性表示.(4)設(shè)中,有一個不能用其余m-1個線性表示,

則線性無關(guān).……....…(×)………………(×)………………(√)…….…(×)（四）線性相關(guān)性判定定理二、線性相關(guān)與線性無關(guān)(5)設(shè)中,任一個都不能用其余m-1個線性表示,

則線性無關(guān).(6)若0可用線性表示,

則線性相關(guān).(7)設(shè)是A的列向量組,

齊次線性方程組Ax=0,則

Ax=0有非零解線性相關(guān).Ax=0只有零解線性無關(guān).說明:Ax=0

……………..(√)………………(×)…………..….(√)…………..….(√)說明:此命題為定理1的逆否命題.（四）線性相關(guān)性判定定理二、線性相關(guān)與線性無關(guān)證畢二、線性相關(guān)與線性無關(guān)（四）線性相關(guān)性判定定理定理3：向量組的部分向量線性相關(guān)

此向量組線性相關(guān)。推論1：含零向量的向量組一定線性相關(guān).推論2：(定理3的逆否命題)

向量組線性無關(guān)

任一部分向量組線性無關(guān).

（四）線性相關(guān)性判定定理二、線性相關(guān)與線性無關(guān)(8)設(shè)線性相關(guān),

則其中至少有m-1個向量線性相關(guān).

(9)若