湖南省懷化市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

懷化市2024年下期期末考試試題高一數(shù)學(xué)考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D2.如圖，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的非負(fù)半軸上，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以.故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知函數(shù)，則（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A5.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意,的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.6.下列比較大小中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷B、D，根據(jù)中間量判斷C.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，又，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，又在上單調(diào)遞增，所以，即，故D正確；故選：D7.已知，，，，則下列一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，又，所以，又，所以，所?故選：C8.已知，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由將切化弦，再通分，結(jié)合兩角差的正弦公式求出，再由兩角差的余弦公式求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，又，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由所給條件推導(dǎo)出、的值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題是真命題的有（）A.若，，則 B.若且，則C.若，，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值判斷A、D，利用不等式的性質(zhì)判斷B、C.【詳解】對(duì)于A：如，，，，滿足，，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，又，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，則，又，所以，故C正確；對(duì)于D：若，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.若，則D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換判斷A，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B、D，利用誘導(dǎo)公式判斷C.【詳解】對(duì)于A：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對(duì)于D：由，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故D正確；故選：BCD11.若是定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意x，，恒成立，則下列說法正確的是（）A.B.是偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于對(duì)稱D.若，則恒成立【答案】ACD【解析】【分析】令可求出判斷A，可得函數(shù)的奇偶性判斷B，函數(shù)的奇偶性，得到函數(shù)的對(duì)稱性，即可判斷C，利用單調(diào)性的定義判斷D.【詳解】已知，令，可得，解得，故A正確；再令，得，即，因?yàn)椴缓愠闪?，所以，所以為奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則；設(shè)任意的，，且，則，所以，因?yàn)?，，且，所以，，，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是R上的增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，故D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)求函數(shù)值一般采用賦值法，抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明通常是利用定義法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【詳解】，即定義域?yàn)辄c(diǎn)睛：常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)．13.當(dāng)時(shí)，的最小值是___________.【答案】4【解析】【分析】利用換元法，令將所給的代數(shù)式進(jìn)行變形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】由，可得.可令，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故答案：．14.對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．下列四個(gè)函數(shù)中具有性質(zhì)的有______．（填序號(hào)）①②③④．【答案】②③④【解析】【分析】假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，即判斷是否有解，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】對(duì)于①：假設(shè)具有性質(zhì)，則在上存在，使得，即，因?yàn)?，所以，故方程無解，即不具有性質(zhì)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：假設(shè)具有性質(zhì)，則在上存在，使得，即在時(shí)有解，設(shè)，，顯然為定義域上的連續(xù)函數(shù)，又，，即在上有零點(diǎn)，所以具有性質(zhì)，故②正確；對(duì)于③：假設(shè)具有性質(zhì)，則存在，使得，即有解，令，顯然為連續(xù)函數(shù)，又，，所以上存在零點(diǎn)，所以具有性質(zhì)，故③正確；對(duì)于④：假設(shè)具有性質(zhì)，則存在，使得，即有解，令，顯然為連續(xù)函數(shù)，又，，所以在上存在零點(diǎn)，所以具有性質(zhì)，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得；（2）首先求出，再根據(jù)，即可求出的取值范圍.【小問1詳解】由，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，所以?shí)數(shù)m的取值范圍為.16.已知函數(shù)．（1）求的最大值；（2）若，且直線與的圖象在上有交點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）首先利用二倍角公式化簡(jiǎn)得到，再求出函數(shù)在上的值域，即可求出參數(shù)的取值范圍.小問1詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)取得最大值且；【小問2詳解】因?yàn)?，?dāng)，則，所以，則，又直線與的圖象在上有交點(diǎn)，所以；17.為了美化城市，某部門計(jì)劃在一處綠化帶做一個(gè)“福地懷化”字樣的園圃，如圖所示，該園圃的形狀是扇形挖去半徑為其一半的扇形后得到的扇環(huán)，園圃的外圍周長(zhǎng)為50m，其中圓心角小于，的長(zhǎng)不超過10m．設(shè)（單位：m），園圃的面積為（單位：）．（1）寫出關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出該函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，園圃的面積最大，求出y的最大值及此時(shí)與的長(zhǎng)．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式求解解析式即可.（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【小問1詳解】在扇形中，由題意得，，由扇形面積公式得扇形的面積為，扇形的面積為，故，由弧長(zhǎng)公式得的長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為，而園圃的外圍周長(zhǎng)為50m，故，解得，因?yàn)閳A心角小于，所以，解得，而，故，故，該函數(shù)的定義域?yàn)?【小問2詳解】由二次函數(shù)性質(zhì)得在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的最大值為，的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為.18.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）求的最小值；（3）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)的值，再代入檢驗(yàn)即可；（2）利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值；（3）依題意可得不等式對(duì)任意恒成立，令，即可得到不等式對(duì)任意恒成立，參變分離可得對(duì)任意恒成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，解得，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，符合題意，所以；【小問2詳解】由（1）可得，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；所以，即的最小值為，當(dāng)時(shí)取得最小值；【小問3詳解】由（1）可得，則，由不等式對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，令，則，所以不等式對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.若定義在上的函數(shù)滿足：存在非零實(shí)數(shù)，對(duì)，都有，則稱函數(shù)是可分解函數(shù)．（1）判斷函數(shù)是否為可分解函數(shù)，如果是，求出一個(gè)的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；（2）若是可分解函數(shù)，且存在，使得對(duì)，都有，求，；（3）對(duì)于函數(shù)，是否存在，，使得是可分解函數(shù)？若存在，求出，；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）存在，使函數(shù)是可分解函數(shù)（答案不唯一）（2），（3）存在，，【解析】【分析】（1）根據(jù)即可得解；（2）依題意可得，令求出，再推導(dǎo)出且，即可求出；（3）依題意可得，由求出，再由求出，再代入檢驗(yàn)即可.【小問1詳解】函數(shù)是可分解函數(shù)，因?yàn)?，，且，所以，即?duì)，都有，所以存在，使函數(shù)是可分解函數(shù)（答案不唯一）；