山東省濰坊2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題 附解析

高一數(shù)學(xué)2022.7本試卷共4頁．滿分150分．考試時間120分鐘．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在正方體中，與棱異面的棱有A.8條 B.6條 C.4條 D.2條【答案】C【解析】【分析】在正方體12條棱中，找到與平行的、相交的棱，然后計算出與棱異面的棱的條數(shù).【詳解】正方體共有12條棱，其中與平行的有共3條，與與相交的有共4條，因此棱異面的棱有條，故本題選C.【點睛】本題考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查了異面直線的判斷.2.下列命題正確的是（）A.若向量，，則B.模相等的兩個平行向量是相等向量C.方向不同的兩個向量不可能是共線向量D.若向量，則分別在x軸，y軸上的投影的數(shù)量之和為－9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行向量、相等向量、向量投影的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，若，則A不正確；對于B，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，故B不正確；對于C，與任意向量共線，故C不正確；對于D，若向量，則分別在x軸，y軸上的投影分別為，所以它們的數(shù)量之和為－9，故D正確.故選:D.3.下列各式化簡結(jié)果為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和差角的三角函數(shù)公式、二倍角的正余弦公式逐項化簡計算，判斷作答.【詳解】對于A，，A不是；對于B，，B不是；對于C，，C是；對于D，，D不是.故選：C4.定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)，就是一個多項式復(fù)變函數(shù)．給定多項式復(fù)變函數(shù)之后，對任意一個復(fù)數(shù)，通過計算公式，，可以得到一列值，，，，，．若，，當(dāng)時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，計算，，，在時，確定數(shù)的性質(zhì)，取對數(shù)探討與的關(guān)系即可推理、計算作答.【詳解】依題意，，當(dāng)時，，由得：，而，則，當(dāng)時，，顯然也滿足上式，所以當(dāng)時，，.故選：A5.在中，若，，，則此三角形解的情況是（）A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.有解但解的個數(shù)不確定【答案】B【解析】【分析】由，根據(jù)作圓法結(jié)論可得結(jié)果.詳解】，，有兩解.故選：B.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角余弦公式和正余弦齊次式的求法可分別求得和，相乘即可得到結(jié)果.【詳解】，，.故選：A.7.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD的中點，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的線性運算，結(jié)合其幾何應(yīng)用求得、、、，即可判斷選項的正誤.【詳解】，即A不正確；連接AC，知G是△ADC的中線交點，如下圖示由其性質(zhì)有∴，即B不正確；，即C正確；同理，即∴，即D不正確；故選：C.8.已知函數(shù)，若圖像在區(qū)間上有且只有2個最低點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式化簡為，根據(jù)的范圍，可求出的范圍，根據(jù)題意分析可得，計算可求出答案.【詳解】由題意，因為，所以，，解得：故選：C.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知正四棱臺上、下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，則（）A.正四棱臺的高為 B.正四棱臺的斜高為C.正四棱臺的表面積為 D.正四棱臺的體積為【答案】BCD【解析】【分析】由正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知其高即為對角面的等腰梯形的高，斜高即為側(cè)面等腰梯形的高，由上下底長度和腰長可確定AB正誤；根據(jù)棱臺表面積和體積的求法可確定CD正誤.【詳解】對于A，正四棱臺上下底面對角線長為，正四棱臺的高，A錯誤；對于B，正四棱臺的斜高，B正確；對于C，正四棱臺側(cè)面積為，上下底面面積分別為，正四棱臺的表面積，C正確；對于D，正四棱臺的體積，D正確.故選：BCD.10.設(shè)為復(fù)數(shù)，且，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】由反例可知AC錯誤；由可得，得到，知B正確；設(shè)，，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)乘法及模長運算可求得，知D正確.【詳解】對于A，若，，則，此時，A錯誤；對于B，，，又，，即，B正確；對于C，若，則，若為虛數(shù)，則，C錯誤；對于D，設(shè)，，則，，，，，，D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：因為，所以函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；，所以的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；若，則，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：BCD12.在中，P，Q分別為邊AC，BC上一點，BP，AQ交于點D，且滿足，，，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若且時，則，B.若且時，則，C.若時，則D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，得到，，代入相應(yīng)的變量的值，求出其他變量，從而判斷AB選項，對上式變形得到，假設(shè)成立，推導(dǎo)出，得到矛盾，故C錯誤，根據(jù)向量共線定理的推論得到，，變形得到.【詳解】由題意得：，，，，即即，所以，因為三點共線，所以，當(dāng)且時，，解得：，，，，所以，即，即，所以，因為三點共線，所以，當(dāng)且時，，解得：，故A正確；若且時，，，解得：，B錯誤；，變形為：，①若時，則，代入①式得：假設(shè)成立，則，解得：，此時，顯然無解，故假設(shè)不成立，故C錯誤；同理可得：，，所以，，所以D正確.故選：AD【點睛】利用向量共線定理的推論得到關(guān)系式，然后解決向量的倍數(shù)關(guān)系，本題中要能在多個等式中進(jìn)行適當(dāng)變形，然后找到等量關(guān)系三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則______．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，所以，又，所以；故答案為：14.已知正三棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，則其外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理求出底面外接圓的半徑，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，則，最后根據(jù)球的表面積公式計算可得；【詳解】解：因為正三棱柱的底面邊長，側(cè)棱長，所以底面外接圓的半徑，設(shè)正三棱柱外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積；故答案為：15.如圖所示，為測算某自然水域的最大寬度（即A，B兩點間的距離），現(xiàn)取與A，B兩點在同一平面內(nèi)的兩點C，D，測得C，D間的距離為1500米，，，，則A，B兩點的距離為______米．【答案】【解析】【分析】在，中分別求出邊AD，BD，再在中利用余弦定理求解作答.【詳解】如圖，在中，，而，則，因此，，在中，，則，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得，所以A，B兩點的距離為（米）.故答案為：16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定，，假設(shè)O，A，B不在同一直線上，利用向量的數(shù)量積可以方便的求出的面積為．已知三點，，，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】分析給定面積公式的構(gòu)成，再求出，利用給定公式列式，借助均值不等式求解作答.【詳解】依題意，在中，，，則的面積為，當(dāng)，，時，，則面積，顯然面積取最大值時，必有，因此，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以面積的最大值為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，，是復(fù)平面內(nèi)的四個點，其中，且向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，且．（1）求；（2）若復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合向量坐標(biāo)表示可用表示出，根據(jù)復(fù)數(shù)運算和復(fù)數(shù)的相等可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則可化簡得到，由此可得對應(yīng)點坐標(biāo)；根據(jù)點位于第四象限可構(gòu)造不等式組求得的范圍.【小問1詳解】，，，，，則，解得：，，.【小問2詳解】由（1）知：，則對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點為，又位于第四象限，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.18.已知向量，，．（1）若，求t的值；（2）若與的夾角為銳角，求t的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再由，可得，從而可求出t的值，（2）由于與的夾角為銳角，所以，且與不共線，從而可求出t的取值范圍【小問1詳解】因為，，，所以，因為，所以，解得【小問2詳解】因為與的夾角為銳角，所以，且與不共線，由，得，解得，當(dāng)與共線時，，解得，所以當(dāng)且時，與的夾角為銳角，所以所求的t的取值范圍為19.在中，點P在邊BC上，，，記AC的長為m，PC的長為n，且．（1）求∠APB；（2）若的面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得到方程組，即可求出、，從而得到，此時為等邊三角形，從而可求．（2）由已知利用三角形的面積公式可求，的值，作交于，利用勾股定理求得的值，進(jìn)而在中，由正弦定理可求的值．【小問1詳解】解：在中，因，，又，，，由余弦定理可得：，即，所以，解得，則，此時為等邊三角形，從而．小問2詳解】解：由，可得，則，作交于，由（1）可知，在等邊中，，，在中，，在中，由正弦定理可得，所以．20.某景區(qū)為提升游客觀賞體驗，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D）．現(xiàn)測量其中一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖）．（1）現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花朵，那么裝飾這個屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（參考數(shù)據(jù)：）；（2）若是母線的一個三等分點（靠近點），從點到點繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓錐側(cè)面積公式可求得側(cè)面積，由此可求得結(jié)果；（2）將圓錐側(cè)面展開，可知所求最小長度即為，由扇形弧長公式可求得展開圖圓心角，利用余弦定理可求得.【小問1詳解】由題意知：圓錐的底面半徑，母線長，圓錐的側(cè)面積（），裝飾屋頂大約需要朵鮮花.【小問2詳解】將圓錐側(cè)面沿母線展開，是側(cè)面展開圖為如圖所示的扇形，則的長度即為燈光帶的最小長度，，，在中，，，，解得：，即燈光帶的最小長度為.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.（2）函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點轉(zhuǎn)化為曲線與直線在區(qū)間上有且僅有兩個交點，即可求實數(shù)k的取值范圍.【小問1詳解】，令，所以，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：【小問2詳解】函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，即曲線與直線在區(qū)間上有且僅有兩個交點，由，當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，曲線與直線區(qū)間上有且僅有兩個交點.22.已知函數(shù)，圖像上相鄰的最高點與最低點的橫坐標(biāo)相差，是的一條對稱軸，且．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，若存在，，，滿足，且（，），求m的最小值；（3）令，，若存在使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）12（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得周期，代入可得或，再分