六、數(shù)形結(jié)合思想

在古代兵法《三十六計》開篇中有一句話：“數(shù)中有術(shù)，術(shù)中有數(shù)”，可以理解為：不同的戰(zhàn)爭形勢自有其對戰(zhàn)策略，同時，每項對戰(zhàn)策略之中，又存在著多種戰(zhàn)爭的變化形式.同樣的，在數(shù)學(xué)中，“數(shù)中有形，形中有數(shù)”.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最基本的元素，正是基于對數(shù)與形的抽象研究才產(chǎn)生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科.每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常常可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.因此，在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，體現(xiàn)其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義.這樣數(shù)和形的巧妙結(jié)合，會使解題更加便捷靈活，就是我們常說的數(shù)形結(jié)合思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面.高考數(shù)學(xué)中選擇題、填空題側(cè)重考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，即“以形助數(shù)”，把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，使代數(shù)問題幾何化；在解答題中突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，即“以數(shù)解形”，把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，使幾何問題代數(shù)化，解析幾何就是非常典型的例子.由“形”轉(zhuǎn)到“數(shù)”，往往比較明顯，而由“數(shù)”轉(zhuǎn)到“形”卻需要轉(zhuǎn)化的意識，因此，數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想方法可以解決很多數(shù)學(xué)問題，比如：在解析幾何中與斜率、距離、截距、定義等相關(guān)的問題，在函數(shù)中與零點、單調(diào)性、比較數(shù)值大小等相關(guān)的問題，還可以運用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、解三角函數(shù)、集合、線性規(guī)劃、立體幾何等相關(guān)的問題.下面通過幾個例題來感受數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.一、利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程的根：例1：方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4二、利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、求參數(shù)范圍：例2：不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解：f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x<－3，,2x＋2－3≤x<1，,4x≥1.))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正確選項為A.例3：已知奇函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(1)＝0，則滿足x·f(x)<0的x的取值范圍是________．通過這些例題可以總結(jié)出：1.在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域等都是實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，分析題目中所給數(shù)量關(guān)系的幾何意義，利用圖形來解決相應(yīng)的數(shù)量問題.2.利用數(shù)形結(jié)合解題，有時只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象．以下給出一些不同內(nèi)容的練習(xí)題，體會其中的數(shù)形結(jié)合思想.練習(xí)題：一、集合相關(guān)問題：在集合運算中，可借助數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使求解更加直觀清晰.1.【2015浙江理，1】已知集合，，則（）A.B.C.D.二、函數(shù)相關(guān)問題：常見問題主要有：借助函數(shù)的大致圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)題目給出的函數(shù)圖象幾何特征判斷相應(yīng)的問題；根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式判斷函數(shù)的圖象等.在函數(shù)問題中，數(shù)形結(jié)合使得圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合.2.【2016全國Ⅱ理，12】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為則（）A.0B.C.D.3.【2014浙江理，7】在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)=xa(x≥0)，g(x)=logax的圖象可能是（）A.B.C.D.三、方程與不等式相關(guān)：函數(shù)與方程常見的是函數(shù)的零點問題，此時常將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題；函數(shù)與不等式相關(guān)的，結(jié)合題目已知條件，可以把不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成比較函數(shù)圖象的高低問題.4.【2015江蘇，13】已知函數(shù)，，則方程實根的個數(shù)為5.【2015北京理，7】如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A．B．C．D．四、線性規(guī)劃問題：線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數(shù)的最值，在畫不等式組表示的可行域時，從體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6.【2016浙江理，3】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（）A．2B．4C．3D．六、不等式相關(guān)問題：常見的比如：已知含絕對值的不等式，根據(jù)已知條件，可利用函數(shù)圖象來解相應(yīng)的不等關(guān)系.7.【2015河南開封模擬，22】設(shè)函數(shù)f(x)=|x?1|+|x?2|

.（Ⅰ）畫出函數(shù)y=f(x)的圖像；（Ⅱ）若不等式|a+b|+|a?b|≥|a|f(x)

，(a≠0，a，b∈R)恒成立，求實數(shù)x的范圍.七、幾何概型相關(guān)問題：幾何概型求解時，需根據(jù)某幾何圖形的面積、長度等來求解，這就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.8.【2016山東理，14】在上隨機的取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為.八、平面解析幾何、平面向量等相關(guān)問題：平面解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來解決，這里也常用“坐標法”.平面向量相關(guān)的線性運算涉及三角形法則、平行四邊形法則，并常與幾何問題相結(jié)合來考察，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.9.【2016四川文，9】已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足，則的最大值是（）A.B.C.D.10.【2014四川理，14】設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx－y－m+3=0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是__________.九、立體幾何：立體幾何中常見的空間向量法，就是將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運算，即“以數(shù)解形”.11.【2015四川理，14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為.練習(xí)題解析：1.【2015浙江理，1】已知集合，，則（）A.B.C.D.2.【2016全國Ⅱ理，12】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為則（）A.0B.C.D.3.【2014浙江理，7】在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)=xa(x≥0)，g(x)=logax的圖象可能是（）A.B.C.D.4.【2015江蘇，13】已知函數(shù)，，則方程實根的個數(shù)為5.【2015北京理，7】如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A．B．C．D．6.【2016浙江理，3】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（）A．2B．4C．3D．7.【2015河南開封模擬，22】設(shè)函數(shù)f(x)=|x?1|+|x?2|

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（Ⅰ）畫出函數(shù)y=f(x)的圖像；（Ⅱ）若不等式|a+b|+|a?b|≥|a|f(x)

，(a≠0，a，b∈R)恒成立，求實數(shù)x的范圍.8.【2016山東理，14】在上隨機的取一個數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為9.【2016四川文，9】已知正三角形ABC的邊長為，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足，則的最大值是（）A.B.C.D.10.【2014四川理，14