數(shù)學(xué)高考備考課件第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ23

§2.3函數(shù)的奇偶性與周期性第二章

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.函數(shù)的奇偶性知識梳理奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于

對稱奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于

對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個

的正數(shù)，那么這個

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點.(

)(2)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱.(

)(3)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù).(

)(4)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件.(

)(5)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期.(

)基礎(chǔ)自測×√√√√1234567題組二教材改編2.[P39A組T6]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝____.－2解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.1245637112345674.[P39A組T6]設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，若當(dāng)x∈[0,5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為_____________.解析由題圖可知，當(dāng)0＜x＜2時，f(x)＞0；當(dāng)2＜x≤5時，f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2＜x＜0時，f(x)＜0，當(dāng)－5≤x<－2時，f(x)>0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2,0)∪(2,5].12456(－2,0)∪(2,5]37解析依題意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，12456題組三易錯自糾5.已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是3√76.(2011·浙江)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝____.124560解析∵函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0.377.已知奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝log2(x＋3)，則f(－1)＝____.12456－2解析∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.37題型分類深度剖析典例判斷下列函數(shù)的奇偶性：題型一判斷函數(shù)的奇偶性師生共研∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).解顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱.∵當(dāng)x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是A.y＝x＋sin2x

B.y＝x2－cosxC.y＝2x＋

D.y＝x2＋sinx√解析對于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，為奇函數(shù)；對于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，為偶函數(shù)；對于D，y＝x2＋sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故選D.(2)函數(shù)f(x)＝lg|sinx|是A.最小正周期為π的奇函數(shù)

B.最小正周期為2π的奇函數(shù)C.最小正周期為π的偶函數(shù)

D.最小正周期為2π的偶函數(shù)解析易知函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，又函數(shù)y＝|sinx|的最小正周期為π，所以函數(shù)f(x)＝lg|sinx|是最小正周期為π的偶函數(shù).√題型二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用自主演練1.奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)的值為A.2 B.1 C.－1 D.－2√解析∵f(x＋1)為偶函數(shù)，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，則f(－x)＝f(x＋2)，又y＝f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期為4.∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.解析由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，3.(2017·山東)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2).若當(dāng)x∈[－3,0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝____.6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝_____.339解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì).對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值.思維升華題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用多維探究命題點1求函數(shù)值或函數(shù)解析式典例

(1)(2017·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝____.12解析方法一令x＞0，則－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2016·全國Ⅲ改編)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則f(x)＝________________.解析∵當(dāng)x＞0時，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，1解析∵f(－x)＝f(x)，－10解析因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，即3a＋2b＝－2.

①即b＝－2a. ②由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10.命題點3利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式典例

(1)已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，g(x)＝－ln(1－x)，函數(shù)f(x)＝

若f(2－x2)＞f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(1,2) D.(－2,1)解析∵g(x)是奇函數(shù)，∴x＞0時，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函數(shù)，由f(2－x2)＞f(x)，可得2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，∴－2＜x＜1.√解析令g(x)＝f(x)－2，則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為g(3x＋1)＋g(x)＞0，∴g(3x＋1)＞g(－x)，∴3x＋1＞－x，(1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題.(2)關(guān)于偶函數(shù)和奇函數(shù)的兩個結(jié)論①f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|).②若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.思維升華√幾何畫板展示解析因為f(x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則A.f(－25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25) D.f(－25)<f(80)<f(11)√解析因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1).所以f(－25)<f(80)<f(11).函數(shù)的性質(zhì)高頻小考點函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.考點分析一、函數(shù)性質(zhì)的判斷典例1

(1)(2017·北京)已知函數(shù)f(x)＝3x－

x，則f(x)A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)√解析∵函數(shù)f(x)的定義域為R，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).又∵y＝3x在R上是增函數(shù)，√解析易知①中函數(shù)在(0,1)上為增函數(shù)；④中函數(shù)不是奇函數(shù)；滿足條件的函數(shù)為②③.(3)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).現(xiàn)有以下三個命題：①8是函數(shù)f(x)的一個周期；②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱；③f(x)是偶函數(shù).其中正確命題的序號是________.解析

由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是4，①對；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，②對；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)，③對.①②③2∴f(2017)＝f(6×336＋1)＝f(1).∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)，∴f(2017)＝2.[－1,2019)令y′≥0得a≥－x2(x≥1)，∴a≥－1.又由當(dāng)x＝1時，y＝1＋2018－a＞0，得a＜2019.∴a的取值范圍是[－1,2019).又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，課時作業(yè)1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是A.f(x)＝ln|x| B.f(x)＝2－xC.f(x)＝x3

D.f(x)＝－x2基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析A中，f(x)＝ln|x|是偶函數(shù)；又x＞0時，f(x)＝lnx，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，其余三項均不符合，故選A.√2.設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)√12345678910111213141516解析易知函數(shù)定義域為(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法知，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，故選A.3.已知R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x＞0時，f(x)＝x2＋x－1，則f(f(－1))等于A.－1 B.1 C.2 D.－212345678910111213141516解析∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(f(－1)＝f(－1)＝－1.√4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，且當(dāng)x∈時，f(x)＝log2(－3x＋1)，則f(2021)等于A.4 B.2 C.－2 D.log27√解析∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1).f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2021)＝－f(－1)＝－2.123456789101112131415165.(2018·海鹽高級中學(xué)期中)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝x2＋4x，則f(x＋2)>5的解集為A.(－∞，－5)∪(5，＋∞) B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)C.(－∞，－7)∪(3，＋∞) D.(－∞，－7)∪(2，＋∞)12345678910111213141516√解析當(dāng)x＞0時，－x＜0，f(－x)＝x2－4x，∵f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時，f(x)＝f(－x)＝x2－4x，由f(x＋2)＞5，得f(|x＋2|)＞5，∴|x＋2|2－4|x＋2|＞5，故|x＋2|＞5或|x＋2|＜－1(舍去)，解得x＜－7或x＞3.6.已知偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是A.f(0)＜f(－6.5)＜f(－1) B.f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)C.f(－1)＜f(－6.5)＜f(0) D.f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)12345678910111213141516√解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是2.∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).∵f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1).7.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝____.解析函數(shù)f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，12345678910111213141516123456789101112131415168.已知函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝

＋1，則當(dāng)x<0時，f(x)＝__________.解析

∵f(x)為奇函數(shù)，∴當(dāng)x<0時，－x>0，9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f＋f(1)＝____.－2解析∵函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且周期為2，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，1234567891011121314151612345678910111213141516解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，得f(lnt)≤f(1).又函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，1234567891011121314151612345678910111213141516解設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.12345678910111213141516解要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，所以1<a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是(1,3].12.設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；解∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定義域為R，∴f(x)是偶函數(shù).12345678910111213141516(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達(dá)式.12345678910111213141516解當(dāng)x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]，則f(x)＝f(－x)＝x；從而當(dāng)1≤x≤2時，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.技能提升練12345678910111213141516112345678910111213141516即函數(shù)f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1).由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.1234567891011121314151614.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x，則有①2是函數(shù)f(x)的周期；②函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在(2,3)上是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正確命題的序號是______.①②12345678910111213141516解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，則有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函數(shù)f(x)的周期，故①正確；當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性知，函數(shù)f(x)