第1節(jié)　基本立體圖形及幾何體的表面積與體積

考試要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖.【知識(shí)梳理】1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖的斜二測(cè)畫法(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l4.簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等(祖暅原理).2.直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線.()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()(3)菱形的直觀圖仍是菱形.()(4)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線，(1)錯(cuò)誤.(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐，(2)錯(cuò)誤.(3)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的菱形的直觀圖是平行四邊形，但鄰邊不一定相等，(3)錯(cuò)誤.(4)球的體積之比等于半徑比的立方，故(4)錯(cuò)誤.2.(必修二P106T8改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′∥FG，則剩下的幾何體是()A.棱臺(tái) B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱答案C解析由于平面ABFEA′∥平面DCGHD′，且AD，BC，F(xiàn)G，EH，A′D′相互平行且相等，所以剩下的幾何體是五棱柱.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A.2 B.2eq\r(2) C.4 D.4eq\r(2)答案B解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為eq\r(2)，側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，所以2π×eq\r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq\r(2).4.(必修二P120T5改編)一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球面上，且長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為1，2，3，則球的表面積為________.答案14π解析設(shè)球的半徑為R，則2R＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，則R＝eq\f(\r(14),2)，故球的表面積為S＝4πR2＝14π.考點(diǎn)一基本立體圖形角度1結(jié)構(gòu)特征例1(多選)下列說法中正確的是()A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺(tái)B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)答案AD解析由圓臺(tái)定義知，以直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，故A正確；由棱柱定義可知，棱柱是有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯(cuò)誤；底面是正多邊形的棱錐，但不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯(cuò)誤；棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故D正確.感悟提升空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.角度2直觀圖例2(1)對(duì)于用斜二測(cè)畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是()A.三角形的直觀圖仍然是一個(gè)三角形B.90°的角的直觀圖一定會(huì)變?yōu)?5°的角C.與y軸平行的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话隓.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同答案B解析對(duì)于A，根據(jù)斜二測(cè)畫法，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個(gè)三角形，故A正確；對(duì)于B，90°的角的直觀圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯(cuò)誤；C，D顯然正確.(2)如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A.2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D.1＋eq\r(2)答案A解析因?yàn)樾倍y(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，所以原圖形為直角梯形，其上底為1，下底為1＋eq\r(2)，高為2，所以S＝eq\f(1,2)×(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2).感悟提升1.在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段：“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.”2.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原平面圖形面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.角度3展開圖例3(2024·郴州模擬)已知圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為300π，AB為圓臺(tái)的一條母線(點(diǎn)B在圓臺(tái)的上底面圓周上)，M為AB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面爬行一周到點(diǎn)M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為()A.30 B.40 C.50 D.60答案C解析圓臺(tái)上底面半徑為10，下底面半徑為5，設(shè)母線長(zhǎng)為l，∴側(cè)面積S＝πl(wèi)(10＋5)＝15πl(wèi)＝300π，解得l＝20.將圓臺(tái)所在圓錐的側(cè)面展開如圖所示，且設(shè)扇形所在圓的圓心為O.線段M1B就是螞蟻經(jīng)過的最短距離.設(shè)OA＝R，扇形的圓心角是α，則由題意知2×5π＝αR，①2×10π＝α(20＋R)，②由①②解得α＝eq\f(π,2)，R＝20，∴OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，則M1B＝eq\r(OB2＋OMeq\o\al(2,1))＝50，故選C.感悟提升在解決空間曲線或折線(段)最短問題時(shí)一般要考慮幾何體的側(cè)面展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化.訓(xùn)練1(1)(2024·棗莊調(diào)研)給出下列四個(gè)命題，正確的是()A.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱B.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體D.底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱答案D解析對(duì)于A，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故A錯(cuò)；對(duì)于B，等腰三角形的腰不是側(cè)棱時(shí)不一定成立(如圖)，故B錯(cuò)；對(duì)于C，若底面不是矩形，則C錯(cuò)；對(duì)于D，可知側(cè)棱垂直于底面，故D正確.(2)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形由斜二測(cè)畫法得到的直觀圖A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為2的菱形，且O′D′＝2，則原平面圖形的周長(zhǎng)為()A.4eq\r(2)＋4 B.4eq\r(6)＋4C.8eq\r(2) D.8答案B解析根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA＝2eq\r(2)，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝eq\r(OA2＋OD2)＝2eq\r(6)，故原平面圖形的周長(zhǎng)為2＋2＋2eq\r(6)＋2eq\r(6)＝4eq\r(6)＋4.(3)(2023·福州檢測(cè))在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，則AF＋FC1的最小值為________.答案eq\r(6)＋eq\r(2)解析將正三棱柱ABC－A1B1C1(如圖1)中的△A1B1C1沿A1B1翻折至平面ABB1A1上，如圖2所示，在圖2中，連接AC1，則AF＋FC1≥AC1，因?yàn)锳A1＝A1C1＝2，且∠AA1C1＝90°＋60°＝150°，所以AC1＝2AA1·sineq\f(∠AA1C1,2)＝2×2sin75°＝4sin(30°＋45°)＝4×(sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°)＝eq\r(6)＋eq\r(2)，所以當(dāng)A，F(xiàn)，C1共線時(shí)，AF＋FC1取得最小值，為eq\r(6)＋eq\r(2).考點(diǎn)二面積與體積角度1表面積與側(cè)面積例4(1)(2024·濰坊模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形.把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為eq\f(1,3)，則圓臺(tái)的側(cè)面積為________.答案eq\f(16π,3)解析設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則R＝1，設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l1，則r＝eq\f(1,3).由已知可得，eq\f(π,3)l＝2πR，所以l＝6.如圖，作出圓錐、圓臺(tái)的軸截面，則有eq\f(l－l1,l)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,3)，解得l1＝4.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(R＋r)l1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))π＝eq\f(16π,3).(2)(2024·蘭州診斷)攢尖是中國(guó)古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，蘭州市著名景點(diǎn)三臺(tái)閣(如圖1)的屋頂部分是典型的攢尖結(jié)構(gòu).如圖2所示是某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺(tái)閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺(tái)和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺(tái)上底邊、下底邊、側(cè)棱的長(zhǎng)度(單位：dm)分別為2，6，4，正三棱柱各棱長(zhǎng)均相等，則該結(jié)構(gòu)的表面積為________dm2.答案34eq\r(3)＋8解析正三棱柱的側(cè)面積為2×2×2＝8(dm2)，底面積為2×eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝2eq\r(3)(dm2).正四棱臺(tái)中，側(cè)面梯形的高為eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－2,2)))\s\up12(2))＝2eq\r(3)(dm)，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積為4×eq\f(（2＋6）×2\r(3),2)＝32eq\r(3)(dm2).所以該結(jié)構(gòu)的表面積為8＋2eq\r(3)＋32eq\r(3)＝(34eq\r(3)＋8)(dm2).角度2體積例5(1)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺(tái)的體積為________.答案eq\f(7\r(6),6)解析法一如圖所示，設(shè)點(diǎn)O1，O分別為正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則O1，O分別為B1D1，BD的中點(diǎn).連接O1O，則O1O即正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高.過點(diǎn)B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，所以O(shè)B＝eq\r(2)，O1B1＝eq\f(\r(2),2)，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝eq\f(\r(2),2)，又AA1＝eq\r(2)，所以BB1＝eq\r(2)，所以B1E＝eq\r(BBeq\o\al(2,1)－BE2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以O(shè)1O＝eq\f(\r(6),2)，所以V正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)×(22＋12＋eq\r(22×12))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).法二如圖，將正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)形成正四棱錐P－ABCD.因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，又A1A＝eq\r(2)，所以PA＝2eq\r(2)，即PB＝2eq\r(2).連接BD，取BD的中點(diǎn)為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PB2－BO2)＝eq\r(6)，所以正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高為eq\f(\r(6),2)，所以V正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1＝eq\f(1,3)×(22＋12＋eq\r(22×12))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).(2)(2024·南寧質(zhì)檢)木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足.楔子是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝4，則該木楔子的體積為________.答案eq\f(8\r(2),3)解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\r(3).取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝eq\r(2)，∴S△ADG＝S△BCH＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2).∴該木楔子的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱ADG－BCH＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱ADG－BCH＝2×eq\f(1,3)×eq\r(2)×1＋eq\r(2)×2＝eq\f(8\r(2),3).(3)(2020·新高考Ⅱ卷)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為________.答案1解析如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2及M，N分別為BB1，AB的中點(diǎn)，得S△A1MN＝2×2－2×eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,2)，又易知D1A1為三棱錐D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1－D1MN＝VD1-A1MN＝eq\f(1,3)·S△A1MN·D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.感悟提升1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解；(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.訓(xùn)練2(1)在我國(guó)瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因?yàn)榱?、八是中?guó)人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如圖為一個(gè)正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長(zhǎng)為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為()A.120cm2 B.162.7cm2C.785.4cm2 D.1570.8cm2答案C解析根據(jù)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為7cm，得正六棱柱的側(cè)面積為6×7×18.7＝785.4(cm2)，所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.(2)如圖，在平面五邊形ABCDE中，AB＝DE＝1，BC＝CD＝2，AE＝eq\r(2)，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝90°，則五邊形ABCDE繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為________.答案eq\f(23π,3)解析由圖可知，五邊形ABCDE可看作正方形BCDF切去一個(gè)等腰直角三角形AEF，將五邊形ABCDE繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐.所求幾何體的體積V＝V圓柱－V圓錐＝22π×2－eq\f(1,3)×12×π×1＝eq\f(23π,3).【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為4cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測(cè)畫法畫出的這個(gè)菱形的直觀圖的面積為()A.2eq\r(3)cm2 B.2eq\r(6)cm2C.4eq\r(6)cm2 D.8eq\r(3)cm2答案B解析直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)×42＝2eq\r(6)(cm2).2.下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是()A.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.直平行六面體是長(zhǎng)方體D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體答案D解析A中，不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體，A不正確；B中，當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；C中，直平行六面體是平行六面體的側(cè)棱與底面垂直，所以底面可以是平行四邊形，它不是長(zhǎng)方體，C不正確；D中，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形，D正確.3.(2024·沈陽(yáng)質(zhì)監(jiān))刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.由曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.則如圖所示正八面體(八個(gè)面均為正三角形)的總曲率為()A.2π B.4π C.6π D.8π答案B解析因?yàn)檎嗣骟w每一個(gè)頂點(diǎn)都是4個(gè)正三角形的交點(diǎn)，所以正八面體每個(gè)頂點(diǎn)處的曲率為2π－eq\f(π,3)×4＝eq\f(2π,3)，又正八面體有6個(gè)頂點(diǎn)，所以正八面體的總曲率為eq\f(2π,3)×6＝4π，故選B.4.(2024·濟(jì)南模擬)用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截得的圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為2，且該圓臺(tái)的側(cè)面積為3eq\r(5)π，則原圓錐的母線長(zhǎng)為()A.2 B.eq\r(5) C.4 D.2eq\r(5)答案D解析設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，因?yàn)樵搱A臺(tái)的側(cè)面積為3eq\r(5)π，所以由圓臺(tái)側(cè)面積公式可得πl(wèi)(1＋2)＝3πl(wèi)＝3eq\r(5)π，解得l＝eq\r(5).設(shè)原圓錐的母線長(zhǎng)為l′，由三角形相似可得eq\f(l′－l,l′)＝eq\f(1,2)，解得l′＝2eq\r(5)，所以原圓錐的母線長(zhǎng)為2eq\r(5).故選D.5.(2024·重慶診斷)在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐SO中，點(diǎn)S與底面圓O都在同一個(gè)球面上，若球的表面積為4π，則圓錐的側(cè)面積為()A.4eq\r(2)π B.4π C.eq\r(2)π D.π答案C解析由題意，設(shè)直角圓錐SO的底面圓的半徑為r，則直角圓錐SO的高為r，又在直角圓錐SO中，點(diǎn)S與底面圓O都在同一個(gè)球面上，設(shè)球的半徑為R，則r＝R，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為4π，則4πR2＝4π，解得R＝1，即r＝1，所以圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(2)＝eq\r(2)π.故選C.6.如圖，AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且AB⊥CD.O1，O2分別為上、下底面圓的圓心，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐A－BCD的體積為4eq\r(3)，則該圓柱的側(cè)面積為()A.9π B.10π C.12π D.14π答案C解析設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為2a，且圓柱的軸截面為正方形，則圓柱的底面圓的半徑為a，連接O1C，O1D，O1O2，如圖，由題意可知VA－BCD＝2VA－O1CD＝2×eq\f(1,3)×AO1×S△O1CD＝2×eq\f(1,3)×AO1×eq\f(1,2)×O1O2×CD＝2×eq\f(1,3)×a×eq\f(1,2)×2a×2a＝eq\f(4,3)a3＝4eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)，所以該圓柱的側(cè)面積S＝2π×a×2a＝2π×eq\r(3)×2eq\r(3)＝12π.故選C.7.(2023·全國(guó)甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A.1 B.eq\r(3) C.2 D.3答案A解析如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD?平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故選A.8.(2023·全國(guó)乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝eq\f(2π,3)，若△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為()A.π B.eq\r(6)π C.3π D.3eq\r(6)π答案B解析在△AOB中，AO＝BO＝eq\r(3)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得AB＝eq\r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×（－\f(1,2)）)＝3.設(shè)等腰三角形PAB底邊AB上的高為h，則S△PAB＝eq\f(1,2)×3h＝eq\f(9\r(3),4)，解得h＝eq\f(3\r(3),2)，由勾股定理得母線PA＝eq\r(（\f(3,2)）2＋（\f(3\r(3),2)）2)＝3，則該圓錐的高PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(6)，所以該圓錐的體積為eq\f(1,3)×3π×eq\r(6)＝eq\r(6)π.9.如圖是水平放置的正方形ABCO，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，則由斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為________.答案eq\f(\r(2),2)解析利用斜二測(cè)畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標(biāo)系x′O′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.過點(diǎn)B′作x′軸的垂線，垂足為點(diǎn)D′.在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).10.(2024·佛山調(diào)研)如圖，有一個(gè)圓錐形糧堆，其軸截面是邊長(zhǎng)為8m的等邊三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是________m.答案4eq\r(5)解析如圖所示，根據(jù)題意可得△ABC是邊長(zhǎng)為8m的正三角形，所以BC＝8m，所以圓錐底面周長(zhǎng)為π×8＝8π(m).設(shè)圓錐側(cè)面展開后的扇形圓心角為θ，點(diǎn)B在展開圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B′，連接AB′，B′P.根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)，可得8θ＝8π，故θ＝π，則∠B′AC＝eq\f(π,2)，所以B′P＝eq\r(64＋16)＝4eq\r(5)(m)，所以小貓所經(jīng)過的最短路程是4eq\r(5)m.11.陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B，C分別是上、下底面圓的圓心，且AC＝3AB＝3BD，則該陀螺下半部分的圓柱的側(cè)面積與上半部分的圓錐的側(cè)面積的比值是________.答案2eq\r(2)解析設(shè)AB＝BD＝m，則AD＝eq\r(2)m，因?yàn)锳C＝3AB＝3m，所以BC＝2m，則圓柱的側(cè)面積S1＝2π·BD·BC＝4πm2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·BD·AD＝eq\r(2)πm2，故eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πm2,\r(2)πm2)＝2eq\r(2).12.某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)相同的正四棱柱組成.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3cm，則這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為________，體積為________cm3.答案818eq\r(2)解析易知兩個(gè)正四棱柱的公共部分為兩個(gè)正四棱錐拼接而成，且兩個(gè)正四棱錐的底面重合，所以公共部分構(gòu)成的多面體的面數(shù)為8，因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為3，則公共部分的兩個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3eq\r(2)，高為eq\f(3\r(2),2)，所以體積V＝2×eq\f(1,3)×(3eq\r(2))2×eq\f(3\r(2),2)＝18eq\r(2)(cm3).【B級(jí)能力提升】13.(2024·邢臺(tái)質(zhì)檢)如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，DA⊥AB，∠D＝45°，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，AD＝6，現(xiàn)將該四邊形沿AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積為()A.(16eq\r(2)＋16)π B.(28eq\r(2)＋4)πC.(36eq\r(2)＋36)π D.(36eq\r(2)＋40)π答案C解析連接BD，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，所以BD是四邊形ABCD外接圓的直徑，所以∠DCB＝90°，則∠ABC＝135°.延長(zhǎng)AB，過點(diǎn)C作CE垂直AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，則∠CBE＝45°，所以△BCE是等腰直角三角形，所以BE＝CE＝2.作出四邊形ABCD關(guān)于直線AB對(duì)稱的圖形，如圖所示.由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°，所以四邊形AECF是矩形，AF＝CE＝2，DF＝CF＝AE＝4，所以在等腰直角三角形CDF中，CD＝4eq\r(2).將該四邊形沿AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是一個(gè)圓臺(tái)挖掉一個(gè)圓錐，其表面積為π×62＋π×(2＋6)×4eq\r(2)＋π×2×2eq\r(2)＝(36eq\r(2)＋36)π.故選C.14.(多選)(2024·營(yíng)口質(zhì)檢)如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝BC＝2BE＝2AB＝2，記三棱錐P－CDE，E－PBC，E－PAC的體積分別為V1，V2，V3，則下列說法正確的是()A.該幾何體的體積為eq\f(4,3)B.V3＝2V2C.3V1＝2V2D.V1＋V2＝V3答案BD解析因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE∥PA，所以BE⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC⊥AB，又AB∩BE＝B，AB，BE?平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，同理可證得CD⊥平面PAD，故該幾何體的體積V＝VC－ABEP＋VP－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＝eq\f(5,3)，故A錯(cuò)誤；如圖，取PA的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)C，F(xiàn)D，因?yàn)锽E∥PA，PA＝2BE，所以AF∥BE且AF＝BE，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，因?yàn)镋F?平面PCD，CD?平面PC