2025年高考數(shù)學專題復習講義：專題四：解析幾何綜合題型分析及解題策略

2025年高考數(shù)學專題復習講義：專題四：解析幾何綜合題型分析及解題策略【命題趨向】縱觀近三年的高考題，解析幾何題目是每年必考題型，主要體現(xiàn)在解析幾何知識內(nèi)的綜合及與其它知識之間的綜合，如08年08年江西理7文7題(5分)是基礎題，考查與向量的交匯、08年天津文7題(5分)是基礎題，考查圓錐曲線間的交匯、08年08徽理22題(12分)難度中檔偏上，考查圓錐曲線與向量、直線與圓錐曲線的綜合、08年福建21題(12分)難度中檔偏上，考查圓錐曲線與不等式的交匯、08年湖北理19題(12分)中等難度，考查直線、圓與圓錐曲線的綜合題、08年江蘇21題(12分)中檔偏下題，考查解析幾何與三角函數(shù)的交匯，等等.預計在09年高考中解答題仍會重點考查直線與圓錐曲線的位置關系，同時可能與平面向量、導數(shù)相交匯，每個題一般設置了兩個問，第（1）問一般考查曲線方程的求法，主要利用定義法與待定系數(shù)法求解，而第（2）問主要涉及最值問題、定值問題、對稱問題、軌跡問題、探索性問題、參數(shù)范圍問題等.這類問題綜合性大，解題時需根據(jù)具體問題，靈活運用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確構造不等式，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學知識的密切聯(lián)系.這體現(xiàn)了考試中心提出的"應更多地從知識網(wǎng)絡的交匯點上設計題目，從學科的整體意義、思想含義上考慮問題"的思想.【考試要求】1．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關系．2．了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應用．3．掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．4．掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程．5．掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．6．掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)．【考點透視】解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，包括直線和圓與圓錐曲線兩部分，而直線和圓單獨命為解答題較少，只有極個別的省市高考有出現(xiàn)，而圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，每年在全國及各省市的高考中均出現(xiàn).主要考查熱點：（1）直線的方程、斜率、傾斜角、距離公式及圓的方程；（2）直線與直線、直線與圓的位置關系及對稱問題等；（3）圓錐曲線的定義及標準方程；（4）與圓錐曲線有關的軌跡問題；（5）與圓錐曲線有關的最值、定值問題；（6）與平面向量、數(shù)列及導數(shù)等知識相結合的交匯試題.【典例分析】題型一直線與圓的位置關系此類題型主要考查：（1）判斷直線與圓的三種位置關系是：相離、相切、相交；（2）運用三種位置關系求參數(shù)的值或取值范圍；（3）直線與圓相交時，求解弦長、弦的中點問題及軌跡問題.【例1】若直線3x＋4y＋m＝0=0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_____________.【分析】利用點到直線的距離來解決.【解】圓心為(1,－2)，要沒有公共點，根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑，得d＝|3×1＋2×(－4)＋m|32＋42＞r＝1，即|m－5|＞5，m∈(－∞,0)∪(10,＋∞).【點評】解答此類題型的思路有：①判別式法(即方程法)，②平面幾何法(運用d與r的關系)，③數(shù)形結合法.由于圓的特殊性(既是中心對稱圖形又是軸對稱)，因此解答直線與圓的位置關系時一般不利用判別式法，而利用平面幾何法求解，即利用半徑r、圓心到直線的距離d的求解.題型二圓錐曲線間相互依存拋物線與橢圓、雙曲線的依存關系表現(xiàn)為有相同的焦點、準線重合、準線過焦點等形式，只要對三種圓錐曲線的概念與性質(zhì)掌握得好，處理這類問題的困難不大.【例2】(2009屆大同市高三學情調(diào)研測試)設雙曲線以橢圓x225＋y29＝1長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為 （）A．±2 B．±43 C．±34 D．±12【分析】根據(jù)橢圓的兩個端點坐標確定雙曲線的焦點坐標，再根據(jù)橢圓的焦點得到雙曲線的準線方程，由此得到關于雙曲線關于a、c的值，進而得到b的值，再進一步求得漸近線的斜率.【解】由橢圓方程知雙曲線的焦點為(5，0)，即c＝5，又同橢圓的焦點得a2c＝4，所以a＝25，則b＝c2－a2＝5，故雙曲線漸近線的斜率為±ba＝±12，故選D.【點評】本題主要考查橢圓與雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)及相關幾何量之間的相互關系.本題主要體現(xiàn)為有相同的焦點、準線重合、準線過焦點等形式的圓錐曲線間交匯，解答時主要根據(jù)這兩種曲線的相同點建立關于基本量a、b、c、p之間的方程，再通過解方程求出相關基本量值，進而求取相關的問題.題型三直線與圓錐曲線的位置關系直線與圓錐曲線的位置關系主要考查三種題型：一是判斷已知直線與已知曲線的位置關系；二是根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關系，求直線或曲線方程的參數(shù)問題；三是求直線與圓錐曲線相交時所得弦長、弦的中點及軌跡問題等.解答此類題型的一般方法化為二次方程，利用判別式與韋達定理來求解.【例3】(2009屆東城區(qū)高中示范校高三質(zhì)量檢測題)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），實軸長為23．(Ⅰ)求雙曲線C的方程；(Ⅱ)若直線l：y＝kx＋2與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；(Ⅲ)在（Ⅱ）的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M（0，b），求b的取值范圍．【分析】第(1)小題利用直接法求解；第(Ⅱ)小題將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，然后利用判別式及韋達定理求解；第(Ⅲ)小題須利用"垂直"與"平分"聯(lián)系兩條直線斜率間的關系及中點坐標公式建立b關于斜率k的表達式，結合第(Ⅱ)小題k的范圍求解.【解】(Ⅰ)設雙曲線方程為x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由已知，得a＝3，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故雙曲線方程為x23－y2＝1.(Ⅱ)設A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0．由題意知1－3k2≠0△＝36(1－k2)＞0xA＋xB＝62k1－3k2＜0xAxB＝－91－3k2＞0，解得，33＜k＜1．∴當33＜k＜1時，l與雙曲線左支有兩個交點．（Ⅲ）由（Ⅱ）得：xA＋xB＝62k1－3k2，∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2．∴AB中點P的坐標為（32k1－3k2，21－3k2）．設l0方程為：y＝－1kx＋b，將P點坐標代入l0方程，得b＝421－3k2．∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b<－22．∴b的取值范圍為：(－，－22)．【點評】本題主要考查利用直接法求雙曲線標準方程、直線與圓錐曲線位置關系不等式的解法等知識，以及考查函數(shù)與方程的思想、轉化與化歸的思想，考查邏輯思維能力及運算能力.直線與圓錐曲線位置關系的主要涉及到交點個數(shù)問題、中點問題、弦長問題、最值與定值問題等，解答時往往通過消元最終歸結為一元二次方程來進行解決.特別地：(1)如果遇到弦的中點與斜率問題則考慮利用"點差法"較為簡單，但須注意對結果進行檢驗；(2)求最值與參數(shù)的范圍時注意確定自變量的范圍；(3)過焦點的弦長問題一般利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義進行轉化可大大減少運算量.題型四圓錐曲線與三角函數(shù)的交匯此類試題主要體現(xiàn)在以三角函數(shù)為直線方程、圓的方程或圓錐曲線方程的系數(shù)，或根據(jù)三角函數(shù)滿足的等式求解解析幾何問題，或利用三角為工具研究解析幾何問題等，解答時一般要根據(jù)所涉及到的解析幾何知識及三角知識，將它們有機的結合在一起進行解答.【例4】(08年高考新課標各地聯(lián)考考場全真提高測試)已知是三角形的一個內(nèi)角，且sin＋cos＝15，則方程x2tan－y2cot＝－1表示 （） A．焦點在x軸上的雙曲線 B．焦點在y軸上的雙曲線C．焦點在x軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的橢圓【分析】首先利用同角三角函數(shù)的基本關系可求得正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值，進而具體化圓錐曲線方程，再根據(jù)方程進行判斷.【解】由sin＋cos＝15及sin2＋cos2＝1，且0＜＜π，解得sin＝45，cos＝－35，因此x2tan－y2cot＝－1就是4x23－3y24＝1，表示焦點在x軸上的雙曲線，故選A.【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系及雙曲線方程的識別.解答的關鍵是求得sinα與cosα的值，以及會根據(jù)圓錐曲線方程識別曲線類型的能力.題型五圓錐曲線與向量的交匯圓錐曲線與向量知識交匯在一起的綜合題，以復雜多變、綜合性強、解法靈活，知識覆蓋面廣，注重考查邏輯推理能力、解題實踐能力和數(shù)學思想方程應用能力.在解題中需要把握住知識間的聯(lián)系，注意借助轉化的思想、方程思想等.【例5】(2009屆湖南省高考模擬題)在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為A(－1，0)、B(1，0)，平面內(nèi)兩點G，M同時滿足下列條件：①→GA＋→GB＋→GC＝→0；②|→MA|＝|→MB|＝|→MC|：③→GM∥→AB.(Ⅰ)求△ABC的頂點C的軌跡方程；(Ⅱ)過點P(3，0)的直線l與(Ⅱ)中軌跡交于E，F(xiàn)兩點，求→PE·→PF的取值范圍.【分析】由于涉及到的動點有三個，因此采用設而不求思想先設C、G、M三點的坐標，然后將坐標代入①②中的兩個等式，同時利用向量平行的條件進行轉化，第(Ⅰ)小題就可求解.第(Ⅱ)小題則需利用判別式確定直線與所求軌跡相交的條件，即直線斜率k的范圍，然后利用向量的數(shù)量積公式及韋達定理建立→PE·→PF關于k的函數(shù)式，最后根據(jù)求函數(shù)值域的方法即可求得結果.【解】（Ⅰ）設C(x，y)，G(x0，y0)，M(xM，yM)，∵|→MA|＝|→MB|，∴M點在線段AB的中垂線上.由已知A(－1,0)，B(1,0)，∴xM＝0，又∵→GM∥→AB，∴yM＝y(tǒng)0，又→GA＋→GB＋→GC＝→0，∴(－1－x0,y0)＋(1－x0,－y0)＋(x－x0,x－y0)＝(0,0)，∴x0＝x3，y0＝y(tǒng)3，yM＝y(tǒng)3，∵|→MB|＝|→MC|，∴(0－1)2＋(y3－0)2＝(0－x)2＋(y3－y)2，∴x2＋y23＝1(y≠0)，∴頂點C的軌跡方程為x2＋y23＝1(y≠0).（Ⅱ）設直線l方程為：y＝k(x－3)，E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，由y＝k(x－3)x2＋y23＝1，消去y得：(k2＋3)x2－6k2x＋9k2－3＝0…①，∴x1＋x2＝6k2k2＋3，x1x2＝9k2－3k2＋3，而→PE·→PF＝|→PE|·|→PF|·cos0°＝|PE|·|PF|＝1＋k2|3－x1|·1＋k2|3－x2|＝(1＋k2)|9－3(x1＋x2)＋x1x2|＝(1＋k2)|9k2＋27－18k2＋9k2－3k2＋3|＝24(k2＋1)k2＋3＝24－48k2＋3，由方程①知△＝(6k2)2－4(k2＋3)(9k2－3)＞0，k2＜38，∵k≠0，∴0＜k2＜38，∴k2＋3∈(3,278)，∴→PE·→PF∈(8,889).【點評】本題主要考查向量的坐標運算及幾何意義、軌跡的直接求法、不等式的解法，考查"設而不求法"結合二次方程的判別式及韋達定理在解決直線與圓錐曲線位置關系中的應用，同時考查函數(shù)與方程的思想、轉化的思想以及邏輯推理能力、解題實踐能力和數(shù)學思想方法應用能力.本題解答有兩個關鍵：(1)對條件中的向量關系的轉化；(2)建立→PE·→PF關于直線斜率k的函數(shù).解答本題還有一個易錯點：忽視直線與圓錐曲線相交的條件限制，造成所求范圍擴大.題型六圓錐曲線與數(shù)列的交匯此類試題主要體現(xiàn)為以解析幾何中的點的坐標為數(shù)列，或某數(shù)列為圓錐曲線方程的系數(shù)，或以直線與圓及圓錐曲線的弦長構成數(shù)列等.解答時一般須根據(jù)解析幾何的知識確定數(shù)列的通項或遞推關系，進而利用數(shù)列的知識作答.例6(2009屆渭南市高三教學質(zhì)量檢測)已知雙曲線an1y2－anx2＝an1an的一個焦點為(0，cn)，一條漸近線方程為y＝2x，其中{an}是以4為首項的正數(shù)數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{cn}的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列{ncn3}的前n項和Sn.【分析】將焦點坐標與雙曲線實軸與短軸的關系建立cn與an、an1的等式，再利用漸近線的斜率與實軸與短軸的可判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由此可求得an的表達式，進而求得{cn}的通項公式，由此解決第(Ⅰ)小題；第(Ⅱ)小題利用第(Ⅰ)的結果確定數(shù)列{ncn3}的通項公式，根據(jù)公式特點選擇利用錯位相減法求解.【解】(Ⅰ)∵雙曲線方程y2an－x2an1＝1的焦點為(0，cn)，∴cn＝an＋an1，又∵一條漸近線方程為y＝2x，即anan1＝2，∴anan1＝2，又a1＝4，∴an＝4·2n1＝2n+1，即cn＝2n+1＋2n＝3·2n.(Ⅱ)∵ncn3＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②由①－②得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1，∴S＝－2(1－2n)1－2＋n·2n+1＝2－2n+1＋n·2n+1.【點評】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、等比數(shù)列的定義和通項公式及利用錯位相減法，同時考查轉化思想及解答綜合處理交匯試題的能力.本題是一道與數(shù)列相結合的一道綜合題，但難度并不大.解答本題注意兩點基本知識及方法的應用：（2）通過雙曲線的焦點坐標與漸近線方程建立等式；（2）利用錯位相減法求解求和.【專題訓練】一、選擇題1．設x，y∈R，且2y是1＋x和1－x的等比中項，則動點(x，y)的軌跡為除去軸上點的（）A．一條直線 B．一個圓 C．雙曲線的一支 D．一個橢圓2．已知△ABC的頂點A（0，－4），B（0，4），且4(sinB－sinA)＝3sinC，則頂點C的軌跡方程是 （）A．x29－y27＝1(x＞3) B．x27－y29＝1(x＞7) C．y29－x27＝1(y＞3) D．y27－x29＝1(y＜－7)3．現(xiàn)有一塊長軸長為10分米，短軸長為8分米，形狀為橢圓的玻璃鏡子，欲從此鏡中劃塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為 （） A．10平方分米 B．20平方分米 C．40平方分米 D．41平方分米4．設A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)是右焦點為F的橢圓x225＋y29＝1上三個不同的點，則"|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列"是"x1＋x2＝8"的 （）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既非充分也非必要5．直線l：y＝k(x－2)＋2與圓C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，則直線l的一個方向向量→v＝ （）A．（2，－2） B．（1，1） C．（－3，2） D．（1，12）6．已知橢圓E的離心率為e，兩焦點為F1，F(xiàn)2，拋物線C以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若|PF1||PF2|＝e，則e的值為 （）A．33 B．32 C．22 D．637．橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與橢圓相交于A、B兩點。若∠AF1F2＝60，且→AF1·→AF2＝0，則橢圓的離心率為 （）A．3＋1 B．3－1 C．2－3 D．4－38．如圖一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于P，則點P形成的圖形是()A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓9．如圖，P是橢圓x225＋y29＝1上的一點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，且→OQ＝12(→OP＋→OF)，|OQ→|＝4，則點P到該橢圓左準線的距離為 （）A．6 B．4C．3 D．5210．(理科)設x1，x2∈R，a＞O，定義運算"*"：x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥O，則動點P(x，x*a)的軌跡方程為 （）A．y2＝4ax B．y2＝4ax(y≥0) C．y2＝－4ax D．y2＝－4ax(y≥0)11．設集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分）是()A．B．C．D．12．在平面直線坐標系xoy中，已知△ABC的頂點A（－4，0）和C（4，0），頂點B在橢圓x225＋y29＝1上，則sinA＋sinCsinB＝ （）A．45 B．－45 C．54 D．－54二、填空題13．若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點與橢圓x28＋y24＝1的右焦點重合，則的值為_____________.14．若點(1，1)到直線xcosα＋ysinα＝2的距離為d，則d的最大值是_______.15．橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與橢圓相交于A、B兩點.若∠AF1F2＝60，且→AF1·→AF2＝0，則橢圓的離心率為______．16．設A(1，0)，點C是曲線y＝1－x2(0≤x≤1)上異于A的點，CD⊥y軸于D，∠CAO＝θ(其中O為原點)，將|AC|＋|CD|表示成關于θ的函數(shù)f(θ)，則f(θ)＝_________.三、解答題17．在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線x－3y＝4相切．(1)求圓O的方程；(2)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求→PA·→PB的取值范圍．18．(08屆麻城博達學校高三數(shù)學綜合測試四)設⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圓心在拋物線y＝x2上的一系列圓，它們的圓心的橫坐標分別記為a1，a2，…，an，已知a1＝14，a1＞a2＞…＞an＞0，⊙Ck(k＝1，2，…n)都與x軸相切，且順次逐個相鄰外切(Ⅰ)求由a1，a2，…，an構成的數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)求證：a21＋a22＋…＋a2n＜14.19．（08年泰興市3月調(diào)研）已知⊙O：x2＋y2＝1和定點A(2，1)，由⊙O外一點P(a，b)向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求實數(shù)a，b間滿足的等量關系；(Ⅱ)求線段PQ長的最小值；(Ⅲ)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程.20．已知定點A(－2，－4)，過點A作傾斜角為45的直線l，交拋物線y2＝2px(p＞0)于B、C兩點，且|BC|＝210．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的拋物線上是否存在點D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．21．已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點M(1，2)，它們在x軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點是坐標原點.(Ⅰ)求這三條曲線的方程；(Ⅱ)已知動直線l過點P(3，0)，交拋物線于A、B兩點，是否存在垂直于x軸的直線l被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.22．橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的兩個焦點為F1、F2，短軸兩端點B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四點共圓，且點N（0，3）到橢圓上的點最遠距離為52.(Ⅰ)求此時橢圓C的方程；(Ⅱ)設斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關于過點P（0，33）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．【專題訓練】參考答案一、選擇題1．D【解析】由題意得(2y)2＝(1＋x)(1－x)，即x2＋4y2＝1.2．C【解析】由條件c＝|AB|＝8.由正弦定理：4(b－a)＝3c＝24，b－a＝6，即|CA|－|CB|＝6.點C的軌跡是焦點在y軸的雙曲線上支，∵a＝3，c＝4，b＝7，其方程y29－x27＝1(y＞3).3．C【解析】設橢圓方程為x225＋y216＝1，P(5cos，4sin)，Q(－5cos，4sin)，R(5cos，－4sin)是矩形的三頂點，則S矩形＝|10cos|·|8sin|＝40|sin2|≤40.4．S【解析】a＝5，b＝3，c＝4，e＝45，F(xiàn)(4，0)，由焦半徑公式可得|AF|＝5－45x1，|BF|＝5－45×4＝95，|CF|＝5－45x2，故|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列(5－45x1)＋(5－45x2)＝2×95x1＋x2＝8.5．A【解析】圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圓心C(1，1)，半徑r＝2，直線l：kx－y－2k＋2＝0，由直線與圓相切的條件知|k－1－2k＋2|k2＋1＝2，解得k＝－1.6．A【解析】過P作拋物線的準線的垂線，垂足為H，則拋物線準線為x＝－3c，|PF1||PF2|＝e，又|PF2|＝|PH|，∴|PF1||PH|＝e，∴x＝－3c也為橢圓E的準線．∴－a2c＝－3ce＝33．7．B【解析】→AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F,∵∠AF1F2＝60,∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝3|AF1|，∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1.8．橢圓【解析】|PO|＋|PF|＝|PM|＋|PO|＝R(半徑)＞|OF|，根據(jù)橢圓定義知P形成的圖形是以O、F為焦點的橢圓.9．D【解析】由→OQ＝12(→OP＋→OF)，得Q是PF的中點.又∵|OQ→|＝4，所以P點到右焦點F'的距離為8，∴|PF|＝2×5－8＝2，又|PF|d＝e＝ca＝45(d表示P到橢圓左準線的距離)，∴d＝52.10．B【解析】設P(x，y)，則y＝x*a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax，即y2＝4ax(y≥0).11．A【解析】由構成三角形的條件知x＋y＞1－x－yx＋1－x－y＞yy＋1－x－y＞x，即2x＋2y＞12y＜12x＜1，易知選A.12．C【解析】由雙曲線方程及定義|BC|＋|AB|＝10，|AC|＝8，根據(jù)正弦定理知sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|AB||AC|＝54.二、填空題13．4【解析】拋物線的焦點為(p2，0)，橢圓的右焦點為(2，0)，則由p2＝2，得p＝4.14．2＋2【解析】d＝|cosα＋ysinα|＝|2sin(α＋4)－2|，當sin(α＋4)＝－1時，d的最大值是2＋2.15．3－1【解析】→AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F，∵∠AF1F2＝60，∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝3|AF1|，∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1.16．－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈(4，2)【解析】根據(jù)條件知∠COA＝180－2θ，且θ∈(4，2)，則點C(cos(180－2θ)，sin(180－2θ))，即C(－cos2θ，sin2θ)，則|AC|＋|CD|＝(1＋cos2θ)2＋sin22θ－cos2θ＝－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈(4，2).三、解答題17．【解析】(Ⅰ)依題知圓O的半徑r等于原點O到直線x－3y＝4的距離，即r＝41＋3＝2，∴圓O的方程為x2＋y2＝4．(Ⅱ)不妨設A(x1，0)，B(x2，0)，x1＜x2，由x2＝4即得A(－2，0)，B(2，0)，設P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得(x＋2)2＋y2·(x－2)2＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2，→PA·→PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于點P在圓O內(nèi)，故x2＋y2＜4x2－y2＝2，由此得y2＜1，又∵y2≥0，所以→PA·→PB的取值范圍為－2，0．18．【解析】(1)設相鄰兩圓心為Ck(xk，x2k)，Ck+1(xk，x2k+1)，相應的半徑為rk，rk+1，則rk＝x2k，rk+1＝x2k+1，rk＞rk+1，如圖，作Ck+1Bk⊥AkCk于Bk，則|CkCk+1|2－|CkBk|2＝|AkAk+1|2，即(rk＋rk+1)2－(rk－rk+1)2＝(xk－xk+1)2，∴1xk+1－1xk＝2，∴{1xk}是首項為4，且公差為2的等差數(shù)列，∴xk＝12(k＋1).(2)∵1(k＋1)2＜1k(k＋1)＝1k－1k＋1，∴x21＋x22＋…＋x2n＝14[122＋132＋1(n＋1)2]＜14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＜14.19．【解析】（1）連OP，∵Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－12＝(a－2)2＋(b－1)2，化簡得實數(shù)a、b間滿足的等量關系為：2a＋b－3＝0.(Ⅱ)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.∴|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋(－2a＋3)2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－65)2＋45，故當a＝65時，|PQ|min＝255，即線段PQ長的最小值為255.(Ⅲ)設⊙P的半徑為R，OP設⊙O有公共點，⊙O的半徑為1，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1.而|OP|＝a2＋b2＝a2＋(－2a＋3)2＝5(a－65)2＋95，故當a＝65時，|PQ|min＝355，此時b＝－2a＋3＝35，Rmin＝355－1，得半徑取最小值⊙P的方程為(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.20．【解析】(Ⅰ)直線l方程為y＝x－2，將其代入y2＝2px，并整理，得x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，設B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴拋物線方程y2＝2x．(Ⅱ)假設在拋物線y2＝2x上存在點D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，記線段BC中點為E(x0,y0)，則|DB|＝|DC|DE⊥BCkDE＝－1k1＝－1，當p＝1時，①式成為x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2