2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)23 微專題 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案（含答案）

微專題23銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.銳角三角函數(shù)(6年5考)

圖①

定義：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A為△ABC中的一銳角，則∠A

的正弦：＝對(duì)邊＝，∠的余弦：＝鄰邊＝①，∠的正切：

sinA斜邊AcosA斜邊AtanA

?

?

＝對(duì)邊＝②

鄰邊

2.特殊角的三角函數(shù)值(6年8考)

示意圖

α30°45°60°

sinα③

13

cosα④2⑤2

2

第1頁共14頁2

tanα⑥1⑦

3.銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)

(1)仰角、俯角：如圖②，圖中仰角是∠1，俯角是∠2

(2)坡度(坡比)、坡角：如圖③，坡角為α，坡度(坡比)i＝tanα＝

?

(3)方向角：如圖④，A點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏東30°方向，B點(diǎn)位于?O點(diǎn)的南偏東

60°方向，C點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏西45°方向

練考點(diǎn)

1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，則cosB的值為.

第1題圖

2.如圖，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，則BC的

1

長(zhǎng)為.2

第2題圖

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°.

(1)若∠A＝60°，則sinA＝，cosA＝；

(2)若tanA＝1，則∠A＝°.

4.如圖，從熱氣球P看一面墻底部B的俯角是.(用字母表示)

第2頁共14頁

第4題圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)(6年5考)

例1(2024東莞一模)如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA

的值是()

A.B.C.D.2

344

553

例1題圖

變式1(2024江西)將圖①所示的七巧板，拼成圖②所示的四邊形ABCD，連接

AC，則tan∠CAB＝.

變式1題圖

考點(diǎn)2銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(6年3考)

例2小明家與小華家住在同一棟樓，他倆對(duì)所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N進(jìn)行

了測(cè)量.(結(jié)果均保留整數(shù))

(1)如圖①，小明與小華在樓下點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)A到M的距離為50m，測(cè)得商業(yè)大

廈頂部N的仰角為58°，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N；

第3頁共14頁

(參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)

例2題圖①

(2)現(xiàn)在商場(chǎng)樓下停了一輛車，沒辦法直接測(cè)量出AM的長(zhǎng)度，小華想了其他辦法

也可以測(cè)量.

①如圖②，小明與小華在樓頂?shù)腂處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°，測(cè)

得商業(yè)大廈底部M的俯角為60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，AB＝56m，試求

商業(yè)大廈的高M(jìn)N；

(參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)

3

例2題圖②

②如圖③，小華站在點(diǎn)A處測(cè)得塔尖商業(yè)大廈頂部N的仰角為45°，向前走了

35m到達(dá)點(diǎn)B處測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角為61°，已知小華眼睛到地面的高

度AC(BD)為1.6m，點(diǎn)A，B，M在同一水平線上，MN⊥AB，試求商業(yè)大廈的

高M(jìn)N；

(參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)

例2題圖③

第4頁共14頁

(3)如圖④，大廈樓頂上有一信號(hào)塔EF(F，E，H三點(diǎn)共線)，小明和小華想測(cè)得

塔尖F到地面的高度，小明在樓頂?shù)腂處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°，

小華在大廈樓頂G處測(cè)得信號(hào)塔頂部F的仰角為60°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，

EF⊥NE，AB＝56m，AM＝50m，GE＝10m，試求塔尖F到地面的高度.(結(jié)果

保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)

3

例2題圖④

真題及變式

命題點(diǎn)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(6年9考)

模型分析

模型模型分析模型模型分析

基礎(chǔ)模型基礎(chǔ)模型

背AB＝AD＋BDAD＝AC－CD

母

對(duì)

子

背模型演變模型演變

AB＝AD＋CE型FG＝AD＋DC，BG＝

型

＋BFBC＋AF

1.(2022廣東11題3分)sin30°＝.

第5頁共14頁

2.(2019廣東15題4分·人教九下例題改編)如圖，某校教學(xué)樓AC與實(shí)驗(yàn)樓BD

的水平間距CD＝15米，在實(shí)驗(yàn)樓頂部B點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓頂部A點(diǎn)的仰角是30°，

底部C點(diǎn)的俯角是453°，則教學(xué)樓AC的高度是米(結(jié)果保留根號(hào)).

第2題圖

3.(2023廣東18題7分)2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿

成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站.如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂

的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時(shí)，求A，B

兩點(diǎn)間的距離.(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，

tan50°≈1.192)

第3題圖

4.(2024廣東18題7分)中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作

出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩

形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個(gè)停車位.經(jīng)測(cè)量，∠ABQ

＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一個(gè)車位的寬，所有車位

的長(zhǎng)寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)≈1.73)

(1)求PQ的長(zhǎng)；3

(2)該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長(zhǎng).

第6頁共14頁

第4題圖

拓展訓(xùn)練

5.(2024中山一模)中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，

其由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時(shí)為各

類用戶提供高精度、高可靠定位、導(dǎo)航、授時(shí)服務(wù).如圖，小敏一家準(zhǔn)備自駕到

風(fēng)景區(qū)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛10千米至

B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)C，小敏發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A

地的北偏東15°方向.

(1)求∠C的度數(shù)；

(2)求B，C兩地的距離.(如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào))

第5題圖

新考法

6.[項(xiàng)目式學(xué)習(xí)](2024蘭州)單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置.某興趣小組利

用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下.

第7頁共14頁

實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過程中高度的變化

實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等

如圖①，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松

手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng).(擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì))

實(shí)驗(yàn)說明如圖②，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，

BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，∠COA

＝37°，CE⊥OA.(點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi))

實(shí)驗(yàn)圖示

第6題圖

解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長(zhǎng).(結(jié)果精確到0.1cm)

參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，

cos64°≈0.44，tan64°≈2.05.

第8頁共14頁

考點(diǎn)精講

①②③④⑤⑥⑦

??2313

教材?改編?題練考2點(diǎn)2233

1.

25

2.25＋1

3.(1)3，；(2)45

31

4.∠B2PC2

高頻考點(diǎn)

例1C【解析】如解圖，連接格點(diǎn)BD，CD.在Rt△ABD中，tanA＝＝.

??4

??3

例1題解圖

變式1【解析】根據(jù)題意，易知AB＝CD.設(shè)AB＝2，則CD＝BD＝2，∵∠ABD

1

＝45°＋245°＝90°，∠BDC＝90°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊

形.如解圖，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，∴BO＝BD＝1，∴tan∠CAB＝＝.

1??1

2??2

變式1解圖

例2解：(1)∵M(jìn)N⊥AM，

∴在Rt△AMN中，tan∠MAN＝，∠MAN＝58°，AM＝50，

??

∴MN＝AM·tan58°≈50×1.60＝??80，

答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N約為80m；

(2)①如解圖①，過點(diǎn)B作BC⊥MN于點(diǎn)C，

第9頁共14頁

∴四邊形ABCM是矩形，

∴BA＝CM＝56，

在Rt△BCM中，tan∠MBC＝＝≈1.73，

??

∴BC＝≈32.4，??3

??

在Rt△BtaCn6N0°中，tan∠NBC＝，

??

∴NC＝BC·tan37°≈32.4×0?.?75＝24.3，

∴MN＝CM＋NC＝56＋24.3＝80.3≈80，

答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N約為80m；

例題解圖①

②如解圖②，連接CD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)E，

由題意可知，四邊形ABDC，BMED均為矩形，

AC＝BD＝ME＝1.6，CD＝AB＝35，

設(shè)EN＝x，

∵在Rt△CEN中，∠ECN＝45°，

∴EN＝CE＝x，

∴DE＝CE－CD＝x－35，

∵在Rt△DNE中，∠NDE＝61°，

∴∠＝＝≈.，

tanNDE－180

???

解得x≈78.8，?∴?E?N≈3578.8，

∴MN＝EN＋ME≈78.8＋1.6＝80.4≈80，

答：商業(yè)大廈的高M(jìn)N約為80m；

第10頁共14頁

例題解圖②

(3)如解圖③，過點(diǎn)B作BC⊥EH于點(diǎn)C，交MN于點(diǎn)D，F(xiàn)H即為F到地面的高

度.

易得DN＝CE，AB＝DM＝CH＝56，

由題意得BD＝AM＝50，∠NBD＝37°，GE＝10，

在Rt△BDN中，DN＝BD·tan37°≈37.5，

在Rt△EFG中，EF＝GE·tan60°≈17.3，

∴FH＝EF＋CE＋CH＝EF＋DN＋AB≈17.3＋37.5＋56＝110.8≈111，

答：塔尖F到地面的高度約為111m.

例題解圖③

真題及變式

1.

1

2.(215＋15)【解析】如解圖，設(shè)過點(diǎn)B的水平線與AC交于點(diǎn)E，易得四邊

形BDCE為矩3形，則BE＝CD＝15，∵∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝15，在

Rt△ABE中，AE＝BE·tan30°＝153×＝15，∴AC＝AE＋EC＝(15＋153)

3

米.333

第11頁共14頁

第2題解圖

3.解：如解圖，連接AB，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

∵AC＝BC，∠ACB＝100°，

∴∠ACD＝∠ACB＝×100°＝50°，(3分)

11

∴AD＝AC·s2in50°≈210×0.766＝7.66(m)，

∴AB＝2AD＝2×7.66≈15.3(m)，

答：A，B兩點(diǎn)間的距離約為15.3m.(7分)

第3題解圖

4.解：(1)由題意，得∠Q＝90°，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，

∴在Rt△ABQ中，∠BAQ＝30°，BQ＝5.4×cos60°＝2.7m，

AQ＝5.4×sin60°＝m，(1分)

273

∵四邊形ABCD為矩形10，CE＝1.6m，

∴∠ABC＝90°，∠CBE＝180°－∠ABC－∠ABQ＝30°，

在Rt△CBE中，BC＝＝m，BE＝＝3.2m，

??83??

∴BC＝AD＝m，tan30°5sin30°

83

同理可得，在5Rt△PAD中，∠PAD＝60°，

∴PA＝AD·cos60°＝×cos60°＝m，(3分)

8343

∴PQ＝PA＋AQ＝＋5＝≈6.15m，

4327373

答：PQ的長(zhǎng)約為65.1m；10(4分2)

(2)∵充電站有20個(gè)停車位，

∴QM＝QB＋20BE，

由(1)得，QB＝2.7m，BE＝3.2m，

第12頁共14頁

∴QM＝2.7＋3.2×20＝66.7m，