2025年中考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練09　利用“將軍飲馬”解決線段最值問(wèn)題 （含答案）

專項(xiàng)訓(xùn)練九利用“將軍飲馬”解決線段最值問(wèn)題

1.在一條沿直線MN鋪設(shè)的電纜兩側(cè)有甲、乙兩個(gè)小區(qū),現(xiàn)要求在MN上選取一點(diǎn)P,向兩個(gè)小區(qū)

鋪設(shè)電纜.下面四種鋪設(shè)方案中,使用電纜材料最少的是()

A.B.C.D.

2.如圖,在五邊形ABCDE中,∠BAE=α(∠BAE為鈍角),∠B=∠E=90°,在BC,DE上分別找一點(diǎn)M,N,

當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí),∠MAN的度數(shù)為()

A.αB.α-90°C.2α-180°D.α-45°

1

3.如2圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB,且△ABC與△A'BC'關(guān)于直線l對(duì)稱,D

為線段BC'上一動(dòng)點(diǎn),則AD+CD的最小值是()

A.4B.3C.2D.2+

4.(2023·宜賓)如圖,M是正方2形ABCD邊CD的中3點(diǎn),P是正方形內(nèi)一點(diǎn),連3接BP,線段BP以點(diǎn)B

為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ,連接MQ.若AB=4,MP=1,則MQ的最小值為.

5.如圖,E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn),P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PE+PF取得最小值

時(shí),的值是.

??

??

6.(2023·達(dá)州)在△ABC中,AB=4,∠C=60°,在邊BC上有一點(diǎn)P,且BP=AC,連接AP,則AP的最

1

小值為.32

7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的正方形CDEF(C,D,E,F四個(gè)頂點(diǎn)按

逆時(shí)針?lè)较蚺帕?可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng),且CD=,連接AF,BD.

(1)求證:△FCA≌△DCB.2

(2)在正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求BD+AD的最小值.

2

2

1.如圖,網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A,點(diǎn)C均在格點(diǎn)上,點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn),則△PAC

周長(zhǎng)的最小值為.

2.(2023·自貢)如圖1,一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起,M,N分別是斜邊DE,AB的中

點(diǎn),DE=2,AB=4.

(1)將△CDE繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M,N距離的最大值和最小值.

(2)將△CDE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°(如圖2),求MN的長(zhǎng).

圖1圖2

3.(2023·宜賓)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C(3,0),頂點(diǎn)

A,B(6,m)恰好落在反比例函數(shù)y=第一象限的圖象上.

?

(1)分別求反比例函數(shù)的解析式和?直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式.

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使△ABP周長(zhǎng)的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【詳解答案】

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.A

2.C解析:如圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC對(duì)稱的點(diǎn)A',作點(diǎn)A關(guān)于DE對(duì)稱的點(diǎn)A'',則A''E=AE,A'B=AB,連接A'A'',分別交

線段BC和線段DE于點(diǎn)M和點(diǎn)N,連接AM,AN,這時(shí)候△AMN的周長(zhǎng)取最小值.

∵∠B=∠E=90°,

∴A'M=AM,AN=A''N,

∴∠AA'M=∠A'AM,∠AA''N=∠A''AN,

∴∠AMN=2∠A'AM,∠ANM=2∠A''AN,

∵∠MAN+∠MAB+∠NAE=α,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180°,

∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN=180°,

∴∠BAM+∠EAN=180°-α,

∴∠MAN=α-(180°-α)=2α-180°.

故選C.

3.A解析:連接CC',如圖所示.

∵△ABC、△A'BC'均為等邊三角形,

∴∠ABC=∠A'=60°,A'B=BC=A'C',∴A'C'∥BC,

∴四邊形A'BCC'為菱形,

∴點(diǎn)C關(guān)于BC'對(duì)稱的點(diǎn)是A',

∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),AD+CD取最小值,最小值為AA'的長(zhǎng).

∵AA'=AB+A'B=2+2=4,

∴AD+CD的最小值為4.故選A.

4.2-1解析:如圖,連接BM,將BM以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡

是以1點(diǎn)0M為圓心,1為半徑的半圓,∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心,1為半徑的半圓.當(dāng)M,Q,E三點(diǎn)共線時(shí),MQ

的值最小.∵四邊形ABCD是正方形,∴CD=AB=BC=4,∠C=90°.∵M(jìn)是CD的中點(diǎn),∴CM=2.∴

BM==2.由旋轉(zhuǎn),得BM=BE,∠MBE=90°.∴ME=BM=2.∴MQ=ME-EQ=2-1.

2222

∴MQ?的?最+小?值?為=22-+1.4521010

10

5.解析:如圖,作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F',連接EF'交AC于點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)F'作AD的垂線段,交AC于點(diǎn)K.由題

2

7

意,得此時(shí)點(diǎn)F'落在AD上,且根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時(shí),PE+PF取得最小值.設(shè)正方形ABCD的邊

長(zhǎng)為a,則AF'=AF=a.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠F'AK=45°,∠P'AE=45°,AC=a.∵F'K⊥AF',∴∠F'AK=∠

2

3

2''

F'KA=45°.∴∠F'KP'=∠EAP'=45°.∴AK=a.∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△EAP'.∴=2.∴

'

22????

'3??=??

AP'=AK=a.∴CP'=AC-AP'=a.∴.∴當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí),的值是.

'

127??2??2

39292??=7??7

6.2-2解析:如圖,作△ABC的外接圓,圓心為點(diǎn)M,連接AM,BM,CM,過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作

BN⊥1A3B,交BP的垂直平分線于點(diǎn)N,連接AN,BN,PN,以點(diǎn)N為圓心,BN(PN)的長(zhǎng)為半徑作圓.∵∠ACB=60°,點(diǎn)M

°-

為△ABC的外接圓的圓心,∴∠AMB=2∠ACB=120°,AM=BM.∴∠MAB=∠MBA==30°.∴MD=AM.∵

180∠???1

22

MD⊥AB,∴AD=AB=2.在Rt△ADM中,∵AM2=MD2+AD2,∴AM2=AM2+(2)2.

11

∴AM=4,即AM=2BM=CM3=4.由作圖可知BN⊥AB,點(diǎn)N在BP的垂直平2分線上,∴∠3PBN=∠BPN=90°-∠ABC.∴

∠PNB=180°-(∠PBN+∠BPN)=2∠ABC.又∵點(diǎn)M為△ABC的外接圓的圓心,∴∠AMC=2∠ABC.∴∠AMC=∠

PNB.∵,∴△AMC∽△PNB.∴.∵BP=AC,∴=2,即BN=CM=2.∴PN=BN=2.在Rt△ABN

????????1????1

??=????=??2??=??2

中,AN=()=2.由AP≥AN-PN=2-2,得AP的最小值為2-2.

2222

??+??=43+2131313

7.解:(1)證明:∵四邊形CDEF是正方形,

∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°,

∴∠ACF=∠BCD,

∵AC=BC,∴△FCA≌△DCB(SAS).

(2)如圖,取AC的中點(diǎn)M,連接DM,BM.

∵CD=,CA=2,CM=1,

∴CD2=C2M·CA,

∴,

????

????

∵∠D=CM=∠ACD,

∴△DCM∽△ACD,

∴,

????2

??=??=2

∴DM=AD,

2

2

∴BD+AD=BD+DM≥BM,

2

2

∴BD+AD的最小值為BM的長(zhǎng),

2

∵BM=2,

2222

∴BD+?A?D的+最??小值=為2+.1=5

2

25能力提升

1.2+2解析:如圖,點(diǎn)P即為所求.

210

∵A(2,4),C(4,2),C'(4,-2),

∴AC==2,AC'==2,

2222

∴△PAC2的+周2長(zhǎng)的最2小值=A2C++A6P+PC=1A0C+AP+PC'=AC+AC'=2+2.

2.解:(1)點(diǎn)M,N距離的最大值為3,最小值為1.210

(2)如圖,連接MC,過(guò)點(diǎn)N作NP⊥MC,交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

∵△CDE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,

∴∠BCE=120°.

∵∠BCN=∠ECM=45°,

∴∠MCN=(∠BCE+∠ECM)-

∠BCN=∠BCE=120°.

∴∠NCP=180°-∠MCN=60°.

∴∠CNP=90°-∠NCP=30°.

∴CP=CN=1.

1

2

在Rt△CNP中,NP=-=.

22

在Rt△MNP中,MP=M?C?+C?P?=1+1=32,

∴MN=.

22

3.解:(1)如?圖?1+,過(guò)?點(diǎn)?A=作3AE+⊥4x=軸于7點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,則∠AEC=∠CDB=90°.

圖1

∵點(diǎn)C(3,0),B(6,m),

∴OC=3,OD=6,BD=m.

∴CD=OD-OC=3.

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠ACB=90°,AC=BC.

∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°,∴∠ACE=∠CBD.

∴△ACE≌△CBD(AAS).

∴AE=CD=3,CE=BD=m.

∴OE=OC-EC=3-m.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3-m,3).

∵點(diǎn)A,B(6,m)恰好落在反比例函數(shù)y=第一象限的圖象上,

?

?

∴3(3-m)=6m.解得m=1.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,1).∴k=6m=6.

∴反比例函數(shù)的解析式是y=.

6

?

設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為y=px+q.

把點(diǎn)A(2,3),B(6,1)代入,

,

得解得-,

.1.

2?+?=3?=2

∴直6?線+A?B=所1對(duì)應(yīng)的一?=次4函數(shù)的解析式為y=-x+4.

1