2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第5講橢圓分層演練理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第5講橢圓1．已知橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，則m等于()A．8 B．7C．6 D．5解析：選A.因?yàn)闄E圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的焦點(diǎn)在x軸上．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10－m>0，,m－2>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因?yàn)榻咕酁?，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.2．(2024·湖北武漢模擬)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是eq\f(3,4)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析：選B.因?yàn)閍＝4，e＝eq\f(3,4)，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因?yàn)榻裹c(diǎn)的位置不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1或eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,16)＝1.3．(2024·湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則eq\f(|PF2|,|PF1|)的值為()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,13)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)解析：選B.由題意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OM∥PF2，因?yàn)镺M⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3).又因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，所以eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,3)×eq\f(3,13)＝eq\f(5,13)，故選B.4．(2024·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1－eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D.eq\r(3)－1解析：選D.由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故選D.5．(2024·湖南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A.因?yàn)閳AO與直線BF相切，所以圓O的半徑為eq\f(bc,a)，即OC＝eq\f(bc,a)，因?yàn)樗倪呅蜦AMN是平行四邊形，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，代入橢圓方程得eq\f(（a＋c）2,4a2)＋eq\f(c2b2,a2b2)＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0<e<1，所以e＝eq\f(3,5).故選A.6．(2024·貴陽(yáng)模擬)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，短軸長(zhǎng)為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．解析：由題意可知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝2\r(3)，))所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝17．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PF1F2的面積為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.因?yàn)閨F1F2|＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×8×6＝24.答案：248．(2024·海南海口模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－c，0)，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，現(xiàn)過(guò)A點(diǎn)作直線F1B的垂線，垂足為T(mén)，若直線OT(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為－eq\f(3b,c)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．解析：因?yàn)闄E圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B和F1點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，(－c，0)，所以直線BF1的方程是y＝eq\f(b,c)x＋b，OT的方程是y＝－eq\f(3b,c)x.聯(lián)立解得T點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,4)，\f(3b,4)))，直線AT的斜率為－eq\f(3b,4a＋c).由AT⊥BF1得，－eq\f(3b,4a＋c)·eq\f(b,c)＝－1，因?yàn)閍2＝b2＋c2，e＝eq\f(c,a)，所以e＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．分別求出滿意下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－eq\r(3))；(2)已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5，3，過(guò)P且與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．解：(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t1或eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(2，－eq\r(3))，所以t1＝eq\f(22,4)＋eq\f(（－\r(3)）2,3)＝2，或t2＝eq\f(（－\r(3)）2,4)＋eq\f(22,3)＝eq\f(25,12).故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.(2)由于焦點(diǎn)的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.10．(2024·蘭州市診斷考試)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，1)，且離心率為eq\f(\r(2),2).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為－eq\f(1,2).若動(dòng)點(diǎn)P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，求點(diǎn)P的軌跡方程．解：(1)因?yàn)閑＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，1)，所以eq\f(2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))得x＝x1＋2x2，y＝y(tǒng)1＋2y2，因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上，所以xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，故x2＋2y2＝(xeq\o\al(2,1)＋4x1x2＋4xeq\o\al(2,2))＋2(yeq\o\al(2,1)＋4y1y2＋4yeq\o\al(2,2))＝(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1))＋4(xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．設(shè)kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，kOM·kON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20，故點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,10)＝1.1．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A、B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿意∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)解析：選A.依題意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),\r(m))≥tan\f(∠AMB,2),0<m<3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m),\r(3))≥tan\f(∠AMB,2),m>3))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),\r(m))≥tan60°,0<m<3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m),\r(3))≥tan60°,m>3))，解得0<m≤1或m≥9.故選A.2．已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)是肯定點(diǎn)．則|PA|＋|PF|的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．解析：如圖所示，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F1，則|PF|＋|PF1|＝6.所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立)．所以|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2).故|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2).答案：6＋eq\r(2)6－eq\r(2)3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)依據(jù)c＝eq\r(a2－b2)及題設(shè)知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(3,4)，2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0，2)是線段MF1的中點(diǎn)，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（－c－x1）＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9（a2－4a）,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).4．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為(0，2)，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→)).(1)求橢圓的方程；(2)求m的取值范圍．解：(1)由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由題意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，則b＝eq\r(2)，所以橢圓的方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2