2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：指、對、冪數(shù)比較大小問題【八大題型】（解析版）

重難點(diǎn)04指、對、塞數(shù)比較大小問題【八大題型】

【新高考專用】

從近幾年的高考情況來看，指、對、累數(shù)的大小比較是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點(diǎn)問題,

往往將幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進(jìn)行排序比較大小，主要涉及指數(shù)與對數(shù)的

互化、運(yùn)算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，一般以選擇題或填空題的形式

考查.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學(xué)會靈活的構(gòu)造函數(shù).

?知識梳理

【知識點(diǎn)1指、對、塞數(shù)比較大小的常用方法】

1.單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)募或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或累函數(shù)的函數(shù)

值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如小和產(chǎn),利用指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如尤;和甘，利用幕函數(shù)y=x〃單調(diào)性比較大??；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如log”再和log“無2，利用指數(shù)函數(shù)log“x單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者

其它能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的

判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大?。?/p>

(2)作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法:

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”

規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.

6.放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】

【例1】(2024?四川資陽?二模)已知。=4°汽b=30-4,c=ln2,則()

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【解題思路】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及基函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.

【解答過程】因為小°=43=64,b10=34=81,所以b>a>l.

又c=ln2<1,所以cVaVb.

故選：A.

2

【變式1-1](2024?天津河西?三模)若a=logM，b=(y/n)3,c=Q)"貝Ijb,c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的單調(diào)性，來判斷值的大小.

【解答過程】由函數(shù)y=log6是增函數(shù)，則a=log1TeVlognirnLa=logY>log6=0,所以0VaVL

由函數(shù)y=(F)”是增函數(shù)，則b=(VK)3>(Vrr)°=1,所以

由函數(shù)y=(￡f是減函數(shù)，貝i]c=(3卷>(，°=1,所以c>l,

由b=（訴）3=713,c=

111

由函數(shù)y=%￡是增函數(shù)，則伍〉而，即b>c,

故選：B.

【變式1-2](2024.寧夏石嘴山.模擬預(yù)測)已知a=log56,b=log2V8,c=Ve,則a,b,c大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【解題思路】由已知結(jié)合幕函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷a,b,c的范圍，即可比較a,b,c的大小.

【解答過程】因為c=Ve>E=：,b=log2V8=log222=

7422

a=log56=log5V36<log5V125=|,

所以a<b<c.

故選：A.

105

【變式1-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=2?]b=log215,c=5,則a,仇c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)y=2%與對數(shù)函數(shù)y=log2%的單調(diào)性比較a,b與中間值4的大小關(guān)系進(jìn)而得到a

與b的大小關(guān)系；利用嘉函數(shù)y=的單調(diào)性得到Q與c的大小關(guān)系，最終得到a,b,c的大小關(guān)系.

【解答過程】y=2%是R上的增函數(shù)，2.1>2,/.a=22-1>22=4.

y=log2%在(0,+8)上單調(diào)遞增，15<23

4

b=log215<log22=4,b<a,

21

vc=5105=(V5)\y=/。1?在(o,+8)上單調(diào)遞增，2<V5,

???a=221<(V5)21=c,:.b<a<c,

故選：A.

【題型2中間值法比較大小】

i

【例2】(2024?遼寧?模擬預(yù)測)設(shè)a=0.5§,b=log23,c=log611,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<^<b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值“1”、“I”即可比較大小.

【解答過程】a-0.55<0.5°—1,b—log23=|log29>|log28=|,

1=log66<c=log6ll<Iog66V6=|.

綜上，a<c<b.

故選：B.

i

【變式2-1](2024?陜西銅川?模擬預(yù)測)已知a=02/=log65,c=log56,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】取兩個中間值1和￡由a=粕>I，b<log66=1,1=logs5<c<|即可比較三者大小.

2

【解答過程】a=0=Ve>=I，b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a.

故選：C.

【變式2-2](2024.山東濰坊.二模)已知a=eT,b=Iga,c=e°,則()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合中間量。和1即可比較大小.

【解答過程】a=e-1G(0,1),b=Iga=Ige-1=—Ige<0,c=e0=1,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知a=0.53,，b=log0.3,c=logip則b,。的大小關(guān)系為()

0932

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值，,1”分析大小即可.

【解答過程】因為y=0.5,在R上單調(diào)遞減，則0.53」<0,5】=|,即。<今

又因為y=logo.9%在(0,+8)上單調(diào)遞減,則log09().3>log0,90.9=1,即1>1；

可得c=logi|=log32,且y=log3》在(0,+8)上單調(diào)遞增，

32

貝嚀=log3V3<log32<log33=1,即T<c<1；

綜上所述：a<c<b.

故選：D.

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)設(shè)a=logogOS,b=0.49-。汽c=0.6-?！?則a,b,c的大小關(guān)系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.

【解答過程】因為y=logos%在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以logo^lVlogosOEVlogo.sOS,即0VaV1.

因為y=X。6在（0,+00）上單調(diào)遞增，又0.49-03=0.7-0.6=（/）“，06-0.6=

又|>三>1,所以（|）°6>（三）°.6>1。巴故c>b>l,所以c>b>a.

故選：A.

【變式3-1]（2024.江西上饒.模擬預(yù)測）設(shè)（y=2,6=1086,。=（》.，則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助媒介數(shù)比較大小即得.

【解答過程】由6）。=2,得a=logi2<logil=0,b=logij=log23>log22V2=|,

333232

11q

c=23<22<-,且c>0,所以a<c<b,

故選：B.

i

【變式3-2]（2024?天津和平?一模）設(shè)G）=2,b=logi3—logi9,c=G））則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助特殊值0,可得a最小，再利用/得出b,c大小.

【解答過程】由0=2可得a=logi2<logil=0,

33

_11

3

b=logi3—logi9=logi|=log23>1,c=0=23=V2>0,

下面比較仇c,

因為32>（2]=8,所以3>2i,

所以b=log23>log222=I，

而c3=（德1=2<（I）=孑，故0<I，所以cvb,

綜上，b>c>a.

故選：B.

03

【變式3-3]（2024?天津和平?三模）設(shè)a=0.42,b=]Og043,c=4,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值比較大小即可.

【解答過程】因為y=log。./在定義域上單調(diào)遞減，所以b=log043<log04l=0,

又y=4乂在定義域上單調(diào)遞增，所以c=403>4。=1,

y=0.空在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a=0.42<0.4°=1,

所以b<a<c.

故選：B.

【題型4作差法、作商法比較大小】

【例4】(2024.湖南岳陽?二模)設(shè)a=log23,b=log35,c=log58,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出a>|,b<l，c<l，然后利用作差法比較b與c的大小關(guān)系即可.

【解答過程】因為32>23,所以10g232>10g223,即21嗚3>3,所以1嗝3>|,即a>|；

因為52<33,所以log352<log333,即210g36<3,所以Iog35<|,即b<|；

因為8?<53,所以k）g582<logs53,即210g58<3,所以log58<|,即c<|；

又因為b-c=log35-log58=焉-log58=1甯產(chǎn),

且2jlog53?log58<log53+log58=log524<log525=2,

所以log53?logs8<1,所以b-c〉0,所以b>c；

綜上所述，a>b>c.

故選：A.

【變式4-11（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）若a=0.3~5"=log312,c=log2&d=R,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【解題思路】由題意首先得0Va<<0,進(jìn)一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+

log23>2,從而我們只需要比較Iog34,log23的大小關(guān)系即可求解，兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即

可比較.

【解答過程】a=0.3115<0.31°=1,所以0<a<l,d=<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

/In4+ln2\2

又因為些1=吧1妝<<2=°n2偽<i,

2

log23In31n3In31n3（ln3）

所以b<c,即d<a<b<c.

故選：B.

【變式4-2](2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測)若a=(，b=號,c=詈，貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用作差法，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)y=Inx的單調(diào)性分別判斷a,b和a,c的大小關(guān)系，即可判斷出a也c

的大小關(guān)系.

【解答過程】因為b—。=詈ln221n3-31n2In9-ln8>0,所以b>a；

266

-r-fi-nln5ln221n5-51n2In25-ln32/八匚匚

又因為c-a=《——-=---=---<0,所以a>c；

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

【變式4-3]（2024.全國.模擬預(yù)測）若a=2。?4k=3&25,c=logo,70.5，則a,瓦c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷a,c范圍，比較它們的大小；利用作商法比

較a,b的大小，即可得答案.

【解答過程】因為函數(shù)y=2、在R上單調(diào)遞增，所以a=204<205=V2.

111

又”餐=(餐/°=(裁°=(IS)”>L所以b<a<V2.

因為OH=0.25<0.343,故0.5<V0343=0.72,y=log^x在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以logo.70.5>log070.75=I>V2,所以a<c,

所以實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為b<a<c,

故選：B.

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

b

【例5】（23-24高二下?云南玉溪?期中）已知實數(shù)a,b,c滿足2。+a=2,2+b-45,c=log163,貝！I（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得c<%構(gòu)造函數(shù)〃乃=2，+居由函數(shù)的單調(diào)性得|<a<b及,

即可得出判斷.

11

【解答過程】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，c=log163<log164=log16162=

構(gòu)造函數(shù)/(%)=2%+%,%€R,則/(a)=2。+a=2,f(b)=20+b=巡

因為y=2%和y=%單調(diào)遞增，所以/(%)單調(diào)遞增，

因為2V遍,即/(a)V/(b)，所以avb,

又/(》=2，+(=嚕<2,所以f(a)>f?，即a>5

所以c<a<b,

故選：A.

【變式5-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知。=Ing,b=ln7xln2,c=貝(！()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)0<ln2<1得到c的值最大，然后構(gòu)造函數(shù)/(%)=(1-ln2)lnx-ln2,根據(jù)/(%)的單調(diào)

性和/(8)<0得到Q<b.

【解答過程】因為0vln2<l,所以Q=ln7—ln2<ln7,b<ln7,c>ln7,故c的值最大.

下面比較。，/?的大小.

構(gòu)造函數(shù)/(%)=Inx—ln2—Inx-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

顯然/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因為/(8)=ln8—ln2—ln8-ln2=ln2(2—ln8)=ln2(lne2—ln8)<0,所以a—b=/(7)<f(8)<0,所

以a<b,所以a<b<c.

故選：C.

【變式5-2](2024.全國.模擬預(yù)測)設(shè)a=5"b=7,c=log45,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解題思路】利用常見函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】先比較。和b,構(gòu)造函數(shù)y=/在上(o,+8)單調(diào)遞增，

；(5丁=5>m=(1,.,焉>￡即a>b；

454

又?.?4b=5,4c=410g45=log45,>4=4X256>5=625,

45

4c=log45<log44=5=4b,:?b>c,

?\a>b>c.

故選：A.

c

【變式5-3](2024?河南?模擬預(yù)測)已知實數(shù)a,瓦c滿足a?+log2a=0,2023一匕=log2023^=log7V6,則

()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解題思路】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.

2

【解答過程】設(shè)/(%)=%4-log2x,/(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又fG)=-?<o,f(l)=1>0,所以|<a<l；

設(shè)9(")=(/)-1°82023萬，9(X)在(。,+8)上單調(diào)遞減，

又江1)=康>°，9(2023)=(康)-K0,所以1<bV2023,

因為c=log7V6<log7V7=j,所以c<

綜上可知，c<a<b.

故選：B.

【題型6數(shù)形結(jié)合比較大小】

【例6】(2024.河南?模擬預(yù)測)已知。=Imr,力=log3/r,c=V^ln2,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，基函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】e<3<7T,a=loge7r>log37r=b>log33=1,即a>b>1,

a=IHTT=c—低]口2=ln2而,

下面比較(6)2與2近的大小，構(gòu)造函數(shù)y=/與y=2%,

由指數(shù)函數(shù)y=2式與幕函數(shù)y=/的圖像與單調(diào)性可知，

當(dāng)汽G(0,2)時，X2<2，當(dāng)％G(2,4)時，x2>2X

由％=返€(0,2),故(VS)2<2近，故IrurVln2后，即a<c,

所以力<a<c9

故選：A.

【變式6-1](2024?江西贛州?二模)若log3%=log4y=logsz<-1,貝U()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3%D.5z<4y<3%

【解題思路】設(shè)log3%=log4y=logsz=mV-1,得到％=3Ty==5小，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到

答案.

mmm

【解答過程】令log3%=log4y=log5z=m<-1,則％=3,y=4,z=5,

3x=3m+\4y=4"i,5z=5m+1,其中TH+1<0,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=3x,y=4x,y=5X,

故5z<4y<3%

故選：D.

【變式6-2](2024?江西?模擬預(yù)測)若ae。=b\nb(a>0),貝(j()

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

【解題思路】令碇。=加出)=k，k>0,構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)圖象，即可比大小.

【解答過程】因為。>0,

所以ae。>a>0,

因為ae°=blnb,

所以blnb>0,可得b>1,

令=blnb=fc,fc>0,

所以e。=Zlnb=：,

ab

設(shè)/'(x)=e,g(x)=In%,/i(x)=%

作出它們的圖象如圖：

由圖可知a<b.故選項A正確.

故選：A.

【變式6-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=g)=log。ha，=logic,則實數(shù)a,hc的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】由函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)存在性定理及畫出函數(shù)圖象，得到G(0,1),得到log?！?lt;1=logaa,

求出6>a,根據(jù)單調(diào)性得到c=Q)aC<Q)a=a,從而得到答案.

【解答過程】令以X)=G)"-％，其在R上單調(diào)遞減，

又/(0)=1>0,/"⑴=|-1--1<0,

由零點(diǎn)存在性定理得aG(0,1),

則y=loga%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

可以得到b6(0,1),

又為=在R上單調(diào)遞減，畫出丫2=產(chǎn)與=logy的函數(shù)圖象,

因為G)<(I)=1，故logab<1=logaa,故b>a,

因為a,c6(0,1),故為>a1=a,

由a，=log/得，c=G）<0=a-

綜上，c<a<b.

故選：D.

【題型7利用基本不等式比較大小】

【例7】（23-24高一下?湖南長沙?開學(xué)考試）已知a=log32,b=log43,c=log54,則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【解題思路】做差，利用換底公式，基本不等式，對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較.

ln3ln21/3-In21n4、ln23-(^^)_l2V9-ln2V8、

【解答過程】b-a=log3-log2-------=---------->=n>Un

43ln4ln3In31n4---------In31n4---------In31n4

ln4ln3ln24-In31n5In24-fln3+ln5)In2VB-同

>0

c-fa=log54-log43=---=>-----------------=

所以c>b>a.

故選：C.

【變式7-1]（2024?云南?模擬預(yù)測）已知a=logi69,b=log2516,c=e-2,則（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】a=log43,b=logs*作商三=譬]=log43?log45,利用基本不等式可得三<1,得aVb,

blogg4b

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a>c.

22

【解答過程】a=log169=log423=log43>0,b=log2516=log5z4=log54>0,

^log43+log5^2_(log415)2v(log416)2_^log42^2_

a_log4344

=log43-log451,

blog54

所以a<b,

-2

a=log43>log42=log222=|>e=c,

所以匕>a>c.

故選：A.

【變式7-2](2024.湖南?模擬預(yù)測)已知a=log32,b=log53,c=loggS,則下列結(jié)論正確的是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較〃、再根據(jù)基本不等式及換底公式比較。與c的大小關(guān)系，由此

可得出結(jié)論.

2?2______

【解答過程】因為log32=log3V8<log3V9=log333=-=log553=log5V25<log5V27=log53,

所以a<b.

ln3+ln822

因為In31n8<（）=（lnV24）<（ln5）,所以曾<粵，所以logs3<log85,所以b<c,所以a<b<c.

故選：A.

i

【變式7-3]（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知a=log35,6=2&>,c=31og72+log87,貝U（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式判斷即可.

【解答過程】因為a=log35=1log325<|log327=I，

；圖久（黑）豈蔭所以仁2討>|且6<2,

c=310g72+log87=log78+log87>2Vlog78-log87=2,

所以c>b>a.

故選：B.

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?四川樂山?三模）若a=log32,b=log43,c=e-2,則a,4c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

12

【解題思路】利用放縮法可得a>[6>jc<j利用作商比較法可得g=雪<、電警包進(jìn)而可得a<

222blgz3lgz3

b,可得結(jié)論.

-2

【解答過程】a=log32>log3V3==log43>log4V4=|,c=e<

所以則a>c,b>c,

又g_陶2_Ig21g4vE（lg2+lg4）]2=心8<lg2g=41g23_l

所以a<b,所以c<a<b.

故選：D.

【變式8-1]（23-24高二上?安徽?階段練習(xí)）已知a=g—Vl%b=64,c=log53—；log35,則（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到a<b<c.

221

【解答過程】因為Q=9一g=V19+V17<V16+V16一,

4

一二1、1111111

b€）4=4/----->4/-----=—,4/-------<4/-----=-，故be

V216V2564V216V8134‘3.

C=log53-|log35=|log527-|log325>|log525-|log327=|一；%

所以Q<b<c.

故選：A.

【變式8-2]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a=logzii,b=ln4,c=0.6-15,貝！J（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及放縮法對a,b,c進(jìn)行估值即可判斷.

【解答過程】a=log2n<log24=2,且a=log2n>log22V2=1.5,故aG（1.5,2）,

b=ln4=1+In-<1+In—=1+lnl.6=1+lnV2.56<1+InVe=1.5,即b<1.5.

e2.5

由c=0.6-15可得02=o,6-3=>4,又c>0,故c>2.則b<a<c.

0.216

故選：c.

1

【變式8-3］（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知a=log35,b=2c=31og72+log87,貝!J（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式判斷即可.

【解答過程】因為Q=log35=ilog325<|log327=|,

*（短）\（聶；前所以6=2（，>翅<2，

c=310g72+log87=log78+log87>271og78-log87=2,

所以c>b>a.

故選：B.

?課后提升練（19題

一、單選題

1.（2024?福建泉州?一模）若實數(shù)a>b>0,則下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3a<0.30B.Iga>IgbC.—-<-~~-D.yfa.>Vb

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,利用特殊值判斷C,根據(jù)暴函數(shù)的

性質(zhì)判斷D.

【解答過程】因為y=0.3%在定義域R上單調(diào)遞減且Q>b>0,所以0.3。<0.3萬，故A正確；

因為y=1g%在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增且。>b>0,所以Iga>Igb,故B正確；

當(dāng)a>1>b>0時，——>0>——，故C不正確；

a-lb-1

因為y=?在定義域［0,+8）上單調(diào)遞增且a>b>0,所以6>逐，故D正確.

故選：C.

0,40

2.（2024?四川眉山?一模）若a=log39ii,b=log050.2,c=4,則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【解題思路】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得a=2.2,b=log25,c<2,進(jìn)而分析比較22-2與5的大小,

進(jìn)而比較2區(qū)與55的大小，進(jìn)而判斷即可.

1

1:l04005

【解答過程】a=log39=1.1-log39=2.2,c=4<4=0=2,

b=log0.50-2=logij=log25>log24=2,

2b

則a>c,b>c,下面比較a與b的大小，

即比較2.2=log2222與log25的大小,

即比較22n與5的大小，

即比較2區(qū)與55的大小，而211=2048<55=3125,

則a<b,所以b>a>c.

故選：B.

3.（2024?寧夏吳忠?一模）已知a=。啰,匕=3°?,c=logo??,則（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【解題思路】借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性借助中間量比較即可得.

302

【解答過程】a=0.2<0.2°=1,b=3->3°=1,c=log0_23<log0_2l=0,

故b>l>a>0>c,故b>a>c.

故選：C.

4.（2024?四川宜賓?一模）已知a=|,b=?c=出誓，貝U（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【解題思路】根據(jù)a?<爐得到a<b,根據(jù)log32>Iog3V3=與導(dǎo)到c=號必>%由:〉次得到c>b.

【解答過程】a2=^<3=b2,a<b,

3+1g32

???log32>log3V3=I，???c=°>%

2

...(r\=^>3,...C=21^>Z>V3=/?,

\471624

???C>b>a.

故選：D.

5.(2024.四川雅安.一模)下列不等式成立的是()

23

34

A.(I)<Q)B.log25<log412C.log73>yD.>3.9

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出結(jié)果.

23

【解答過程】對于A,因為底數(shù)q<1,所以隨著指數(shù)的增大而減小，又|<(所以cy>cr，故選項A

錯誤；

對于B,10g412=|log212=Iog2V12=10g22V3,因為底數(shù)2>1,所以隨著真數(shù)位置的增大而增大，又5>

2V3,所以logz5>log412,故選項B錯誤；

對于C,因為10g73>log7?=}|=^>y,所以10g73>f,故選項C正確；

對于D,因為［(/廣9『=239,(3.9)2,函數(shù)4,*2有兩個交點(diǎn)，分別是當(dāng)X=2,X=4,

2支增長速度比增長速度快,在(0,2)上2H>x2,在(2,4)上2*<%2,

_OQ

在(4,+8)上2X>/,所以239<(3.9)2,即(魚廠<3.9,故選項D錯誤.

故選：C.

6.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知a,6為實數(shù)，則使得“a>b>0”成立的一個必要不充分條件為()

11

A.—>—B.ln(a+1)〉ln(b+1)

C.a3>/?3>0D.yja—1>7b—\

【解題思路】利用不等式的性質(zhì)、結(jié)合對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)單調(diào)性，充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解答過程】對于A,工>L不能推出a>6>0,如2j反之a(chǎn)>6>0,則有工<

ab-3-2ab

即工>：是a>b>0的既不充分也不必要條件，A錯誤；

ab

對于B,由ln(a+1)>ln(Z)+1),得a+1>/?+1>0,即a>b>—1,

不能推出a>b>0,反之a(chǎn)>b>0,則a>b>—1,

因此ln(a+1)>ln(6+1)是。>b>0的必要不充分條件，B正確；

對于C,a3>63>0?a>b>0,a3>b3>0是a>b>0的充分必要條件，C錯誤;

對于D,由—1>y/b—1,得a>/?>1>0,反之a(chǎn)>b>0不能推出a>b>1,

因此忻GAVFHI是a>b>0的充分不必要條件，D錯誤.

故選：B.

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=e-—2%,記Q=/Qog32),b=/(logs?)?c=/(log75),則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解題思路】應(yīng)用介值法比較Iog32,log53,log75的大小，再應(yīng)用/(%)=e--2%的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】解：因為Iog32=|log38<|log39=I，logs3=|log527>|logs25=|,

所以log32<logs3；

又因為log53=ilog581<ilog5125=|,log75=^log7625>ilog7343=1

所以log32<log53<log75<1,

又因為f(x)=ex2-2x=e(，T)2T在(—8,1)上單調(diào)遞減，

所以c<b<a,

故選：D.

8.(2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測)已知偶函數(shù)f(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，。=/⑺菖)/=，(_］og25),c=

/(log2|),則()

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【解題思路】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出ir-2<log23<log25的大小關(guān)系，然后根據(jù)奇偶函數(shù)的單調(diào)性,

即可得到結(jié)果.

【解答過程】???偶函數(shù)f(x)在(-8刈上遞增，

???y(x)在［o,+8)上遞減，

b=f(-log25)=/(log25),c=f(log2g=f(log23),

因為log22<log23<log24<log25,即1<log23<2<log25,而TT-e(0,1),

所以TT-2<log??<log25,則f(n-2)>f(log??)>/Qog25),即a>c>b.

故選：C.

二、多選題

9.(2024?河南洛陽?模擬預(yù)測)下列正確的是()

-001-0001

A.2>2,B.log2V3>log2n—1

01

c.logli85<log175D.log33.01>e-°-

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,C；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得log33.01>1,

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得e-aoi<1,即可判斷.

【解答過程】解：對于A,因為一0.01<-0.001,所以2-。。1<2-。,。。1,所以A錯誤；

對于B,因為logzV5>log2^=Iog2P-1，所以B正確；

對于C,因為log"5>0,logL75>0,所以logi,85=罌<黑=logi.75,所以C正確；

im.oin±./

-001-001

對于D,因為log33.01>log33=1,e<e°=1,tUlog33.01>e,所以D正確.

故選：BCD.

10.(2024.貴州.模擬預(yù)測)已知0<aVb<l,?n〉l,貝!J()

A.am<bmB.ma>mb

C.logma>\ogmbD.logam>\ogbm

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式性質(zhì)逐項分析即可.

【解答過程】對于A,根據(jù)y=在(0,+8)單調(diào)遞增，結(jié)合0<aVbvl,知(2血<：6小，A正確.

對于B,根據(jù)y=TH%在(0,+8)單調(diào)遞增，結(jié)合0<aVb<l,知B錯誤.

對于C,根據(jù)y=logs%在(0,+8)單調(diào)遞增，結(jié)合0<aVb<l,知log-Vlog/,C錯誤.

對于D,根據(jù)loga?n=「J—Jogb/n=「二，結(jié)合0VaVbV>1,

logm。logm》

知log^a<logm。<0,則念；>Sv即log^a>logmb,D