重慶市縉云教育聯(lián)盟2022屆高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 附解析

重慶市2021-2022學(xué)年（下）2月月度質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)命題單位：重慶縉云教育聯(lián)盟注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式、對數(shù)不等式化簡集合A，B，再利用交集的定義計(jì)算作答.【詳解】解不等式得：，解不等式得：，于是得，，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)z滿足，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表示圓心為，半徑為1的圓上點(diǎn)，再表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離，即可確定最大值.【詳解】令，，則表示與距離為1的點(diǎn)集，即，此時，表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離，所以的最大值，即為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離，而圓心到原點(diǎn)距離為1，且半徑為1，所以圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最大為2.故選：B.3.王老師在課堂上與學(xué)生探究直線時，有四位同學(xué)分別給出了一個結(jié)論.甲：直線經(jīng)過點(diǎn).乙：直線經(jīng)過點(diǎn).丙：直線經(jīng)過點(diǎn).?。褐本€的斜率為整數(shù).如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學(xué)是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，，求出三條直線的斜率即得解.【詳解】設(shè)，，，則，，，易知，，三點(diǎn)不共線，所以甲乙丙不可能都正確，至少有一個是錯誤的，由于只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，所以丁同學(xué)的結(jié)論是正確的；而，，，丁同學(xué)的結(jié)論是正確的，所以只有可能是在這條直線上，不在這條直線上.故乙同學(xué)的結(jié)論是錯誤的.故選：B4.已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.【答案】D【解析】【分析】先讓與“1”比較大小，再確定的范圍，然后根據(jù)之間的關(guān)系，作差法比較之間的大小即可【詳解】由題意可得：，，故有：，故，又又，可得：則有：故有：綜上可得：故選：D5.2019年在阿塞拜疆舉行的聯(lián)合國教科文組織第43屆世界遺產(chǎn)大會上，隨著木槌落定，良渚古城遺址成功列人《世界遺產(chǎn)名錄》，這座見證了中華五千多年文明史的古城迎來了在世界文明舞臺上的“高光時刻”，標(biāo)志著良渚是實(shí)證中華五千多年文明史的圣地，得到了世界的廣泛認(rèn)同.2010年，考古學(xué)家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料（草裹泥）上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢查測出碳14的殘留量約為初始值的55.2%，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量y與生物死亡年數(shù)x之間符合，其中k為死亡生物碳14的初始量.據(jù)此推斷，此水壩大約是距2010年之前（）年建造的.參考數(shù)據(jù)∶A.4912 B.4930 C.4954 D.4966【答案】D【解析】【分析】由解方程，求得，由此求得正確選項(xiàng).【詳解】依題意，兩邊乘以得，兩邊取以為底的對數(shù)得，，，，.故選：D6.已知平面向量，滿足，，點(diǎn)D滿足，E為的外心，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積求得，以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得解.【詳解】，，，，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，垂直于OA所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)又，知，解得，又E為的外心，，，為等邊三角形，，∴，∴．故選：A7.已知三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為的垂心，若的面積為的面積為的面積為，滿足，當(dāng)?shù)拿娣e之和的最大值為8時，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角新的垂心，利用線線垂直與線面垂直的關(guān)系，證明兩兩垂直，從而可以將三棱錐的外接球問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€長方體的外接球問題求解.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接,因?yàn)闉榈拇剐?，所以，因?yàn)槠矫?，所以，?所以平面，所以，可得，因?yàn)?，即，所以，所以，所?又平面，平面，故，而,所以平面，平面，所以，同理可知，且，所以平面，所以，因此兩兩垂直，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，所以，解得，所以三棱錐外接球的體積為,故選:D.8.已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件探求出的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，再借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，則，由對稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為A，B，C，令點(diǎn)，如圖，由切線長定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②根據(jù)給定條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分．9.一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.事件M發(fā)生的概率為 B.事件M與事件N互斥C.事件M與事件N相互獨(dú)立 D.事件發(fā)生的概率為【答案】AC【解析】【分析】A應(yīng)用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定義，結(jié)合題設(shè)描述判斷；C判斷是否成立即可；D應(yīng)用對立事件的概率求法求發(fā)生的概率即可判斷.【詳解】由題設(shè)知：，A正確；由：“第一次向下的數(shù)字為3或4”與：“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，而發(fā)生同時也有可能發(fā)生，故不是互斥事件，B錯誤；因?yàn)?，而，故，即事件M與事件N相互獨(dú)立，C正確；，表示“第一次向下的數(shù)字為1或2”且“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，故，所以，D錯誤.故選：AC.10.已知圓，直線，則（）A.圓心M坐標(biāo)為（2，1） B.圓M的半徑為3C.直線l與圓M相交 D.圓M上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為【答案】BCD【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可判斷A,B的正誤，求出圓心到直線l的距離即可判斷C,D的正誤.【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，故圓心為,半徑，故A錯，B對；圓心為到直線的距離為：，故直線和圓相交，故C正確；由圓心為到直線的距離為：知，圓M上的點(diǎn)到直線l的距離最大值為，故D正確，故選：BCD11.已知兩個正四棱錐，它們的所有棱長均為2，下列說法中正確的是（）A.若將這兩個正四棱錐的底面完全重合，得到的幾何體的頂點(diǎn)都在半徑為的球面上B.若將這兩個正四棱錐的底面完全重合，得到的幾何體中有6對棱互相平行C.若將這兩個正四棱錐的一個側(cè)面完全重合，則兩個棱錐的底面互相垂直D.若將這兩個正四棱錐的一個側(cè)面完全重合，得到的幾何體的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖形求出個頂點(diǎn)到O距離可判斷A，由平面直線平行的判斷可確定B，根據(jù)二面角的平面角的大小可判斷C，由多面體的表面積計(jì)算可判斷D.【詳解】對于A，如圖所示，由于，故幾何體的頂點(diǎn)都在半徑為的球面上正確；對于B，由上圖易知，，可得，故，同理：，故B正確；對于C，如圖所示，對于C：在中，由于，所以，所以，同理，所以；由于、，所以為平面和平面所成的二面角的平面角，故兩個四棱錐的底面不互相垂直，故C錯誤；對于D，由圖可知，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，令，則（）A.當(dāng)，恒成立 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.a，b，c中最大的是c D.a，b，c中最小的是a【答案】AC【解析】【分析】由，判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系判斷CD.【詳解】當(dāng)時，，，所以恒成立，故A正確；，令，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；因?yàn)?，所以，且，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，而，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較大小問題一般是借助函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若數(shù)列滿足，令，則__________.【答案】【解析】【分析】由遞推公式，列舉出n從1到19的代數(shù)式，整體累加分別表示出S、T，即可求出.【詳解】列舉法，，，，，，，，即，又，，，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】數(shù)列中，常見的處理方法：①列舉后找規(guī)律；②通項(xiàng)公式法；③等差、等比利用基本量代換.14.若不等式的一個充分條件為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)含絕對值不等式的解法，求解不等式的解集，結(jié)合充分條件，列出關(guān)系式，即可求解.【詳解】由不等式，當(dāng)時，不等式的解集為空集，顯然不成立；當(dāng)時，不等式，可得，要使得不等式的一個充分條件為，則滿足，所以，即∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.15.我們知道：相當(dāng)于從兩個不同的角度考察組合數(shù)：①從n個不同的元素中選出m個元素并成一組的選法種數(shù)是；②對n個元素中的某個元素A，若A必選，有種選法，若A不選，有種選法，兩者結(jié)果相同，從而得到上述等式.根據(jù)這個思想考察從n個不同的元素中選出m個元素并成一組的選法種數(shù)，若對其中的某（，且）個元素分別選或不選，你能得到的等式是___________.【答案】，（，且）【解析】【分析】根據(jù)題意，分某（，且）個元素中選取的個數(shù)為討論求解即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，從n個不同的元素中選出m個元素并成一組的選法種數(shù)是，若對其中的某（，且）個元素分別選或不選，則某（，且）個元素一個都沒有選，有種選法；有一元素被選取，有種選法；有兩個元素被選取，有種選法；有三個元素被選取，有種選法；……有個元素被選取，有種選法；所以有，（，且）故答案為：，（，且）16.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)最小時，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義表示出，將用表示，并逐步轉(zhuǎn)化為一個基本不等式形式，從而求出取最小值時的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線的定義及離心率的公式求值.【詳解】由題意可得，，，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，由拋物線的定義可知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，設(shè)以為焦點(diǎn)的雙曲線方程為，則，即，又，，所以離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將的坐標(biāo)表達(dá)式逐漸轉(zhuǎn)化為一個可以用基本不等式求最值的式子，從而找出取最小值時的點(diǎn)的坐標(biāo).四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①成等比數(shù)列，且；②且這兩個條件中任選一個填入下面的橫線上并解答.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若_______.注.如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（2）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為，其前n項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)m，使得，求q的值.【答案】（1）選①②結(jié)果相同，（2）選①②結(jié)果相同，q的值為或【解析】【分析】（1）選①：利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算求出公差，求出通項(xiàng)公式，利用與的關(guān)系求出再使用錯位相減法求和，選②：利用等比數(shù)列求和公式基本量計(jì)算求出通項(xiàng)公式，利用與的關(guān)系求出再使用錯位相減法求和；（2）由（1）知，選①②結(jié)果相同，利用得到，利用得到，結(jié)合為正整數(shù)，得到或，從而求出q的值為或.【小問1詳解】選①：成等比數(shù)列，且設(shè)等差數(shù)列公差為d，由成等比數(shù)列，則，解得：或0（舍去）；則當(dāng)時，，解得：，因?yàn)棰伲?dāng)時，②，兩式相減，，其中經(jīng)檢驗(yàn)，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故則，則①，②，兩式相減得：，所以；選②：且因?yàn)椋?，解得：?（舍去），則當(dāng)?shù)茫海?dāng)時，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合，綜上：的通項(xiàng)公式為：則，則①，②，兩式相減得：，所以；【小問2詳解】由（1）可得，選①②結(jié)果一樣，已知，由，得，所以，因?yàn)?，所以，即由于，所以或，?dāng)時，解得：（舍負(fù)），當(dāng)時，，解得：（舍負(fù)），所以q的值為或.18.已知對任意，，都有：，若的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.，且.（1）求c；（2）若，過點(diǎn)C作，垂足為H，若，求的面積S.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題給恒等式和正弦定理，即可順利解得三角形邊長c；（2）數(shù)形結(jié)合列方程解得邊長a后，即可求得的面積S.【小問1詳解】由對任意，，都有：，可得，設(shè)的外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理，有：，故：，所以：由，故，則，所以，，即【小問2詳解】如圖所示：，，，由，，得，又所以，，則，解得，故有：所以的面積故的面積為3.19.如圖在三棱錐中，，且．（1）求證：平面平面（2）若為中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理證明線線垂直，進(jìn)而證明平面，然后再通過線面垂直證明平面與平面垂直；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出相關(guān)向量，然后求出兩個平面的法向量，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積公式求得二面角的余弦值【小問1詳解】

證明：如圖所示，取AC中點(diǎn)D，連接OD、BD，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，所以，所以，所以．又，、BD平面ABC，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】

由（1）可得DO、DA、DB兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，分別以DA、DB、DO為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．可得：，，，，則有：，設(shè)為平面的法向量，則．令，則，所以是平面EAB的一個法向量由（1）知為平面ABC的一個法向量，設(shè)平面ABC與平面EAB所成角為，且易知，則故平面ABC與平面EAB夾角余弦值為.20.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)為曲線C上的一點(diǎn).（1）設(shè)曲線C上的點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率為k，求曲線C（除去點(diǎn)A）的參數(shù)方程（k為參數(shù)）；（2）若直線與曲線C交于異于點(diǎn)A的兩個點(diǎn)、，且，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）(k參數(shù))（2）【解析】【分析】(1)設(shè)曲線上除去A點(diǎn)的任意點(diǎn)為P，則直線PA斜率為k，聯(lián)立PA方程與曲線C的方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；(2)聯(lián)立直線l與曲線C的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求取兩根之和和兩根之積，代入由得到的關(guān)系式即可求出a的取值.【小問1詳解】將曲線C的極坐標(biāo)方程中的替換為，替換為x，即可得曲線C的直角坐標(biāo)方程：，設(shè)A為，即＝(1,0)，設(shè)曲線C上去掉A點(diǎn)后的任意點(diǎn)為，則直線PA的方程為，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程化簡整理得：，則，，∴曲線C(除去點(diǎn)A)的參數(shù)方程為(k為參數(shù))；小問2詳解】∵∴∴即即①又時，，此時代入①得：化簡得：，則或a＝－1，a＝－1時，直線l過A點(diǎn)，故舍去，∴.21.縉云媒體公司為了解重慶市觀眾對年北京冬奧會系列體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該系列體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該系列體育節(jié)目時間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有名女性．（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，據(jù)此資料你是否有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?請說明理由；非體育迷體育迷合計(jì)男女合計(jì)（2）將日均收看該系列體育節(jié)目不低于分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有名女性.若從“超級體育迷”中任意選取人，求至少有名女性觀眾的概率．附：，其中．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出體育迷的總?cè)藬?shù)，從而可填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（2