2025屆廣東省深圳市建文教育集團(tuán)兩學(xué)部高三下學(xué)期2月第一次模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市建文教育集團(tuán)兩學(xué)部2025屆高三下學(xué)期2月第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹?，所以，故選：B.2.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)余弦的倍角公式，可得.故選：C.3.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由對稱關(guān)系可得，解得.則點(diǎn)到直線：的距離為.故選：C.4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在處的切線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，則，即，解得，于是，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在處的切線的方程為：，即.故選：B.5已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得.故選：A.6.在平行六面體中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.7.設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓：可得，，，因?yàn)樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，則由為等腰三角形，則可得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積為：；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上，可得的面積為.故選：C.8.在正六棱柱中，，為棱中點(diǎn)，以為球心，為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以球不與側(cè)面及側(cè)面相交，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，則由題意可得，所以，所以球與側(cè)面交于點(diǎn)，與側(cè)面交于點(diǎn)，在正六邊形中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，且，所以，所以球與側(cè)面的交線是以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線是以為直徑的半圓，因?yàn)椋郧蚺c上下底面的交線均為個(gè)半徑為的圓，所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知點(diǎn)，，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動，則（）A.直線與圓相離 B.的面積的最小值為C.的最大值為 D.當(dāng)最小時(shí)，【答案】ACD【解析】對于A，已知點(diǎn),，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動，則圓心為，半徑為，直線的方程為即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；對于B，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，則面積的最小值為，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，當(dāng)最小時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)，故D正確．故選：ACD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線，則下列說法成立的是（）A.圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為 B.圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為C.圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為 D.圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】AD【解析】圓的圓心，半徑為，圓心到直線的距離為；又圓的半徑為，得圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，圓上有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，所以AD成立故選：AD.11.已知橢圓的長軸長為4，離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.是橢圓上一點(diǎn)，若，則D.若的內(nèi)切圓半徑分別為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)闄E圓的長軸長為，所以，又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以，所以橢圓，故A正確；對于B，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因方程組無解，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對于D，顯然直線斜率不為0，設(shè)直線，由，整理得：恒成立，所以，依題意有，得，所以，即，同理可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得，代入到，得，解得：，所以直線的斜率為：，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________；若，則________．【答案】或【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得（舍去）或；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上：或；故答案為：；或.13.已知集合，，若，且中恰有個(gè)整數(shù)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】集合或，設(shè)，則函數(shù)的圖象開口向上，而由知：對稱軸．因?yàn)橹星∮袀€(gè)整數(shù)元素，所以方程有實(shí)數(shù)根，令、是方程的兩根，則，所以（?。灾星∮袀€(gè)整數(shù)元素為，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和大于，則算過關(guān).則某人在這項(xiàng)游戲中最多能過_________關(guān)；他連過前三關(guān)的概率是___________.【答案】【解析】若每次拋擲一顆骰子都能得到最大點(diǎn)數(shù)點(diǎn)，則第關(guān)拋擲的點(diǎn)數(shù)和為，令，則，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；又，，，當(dāng)時(shí)，，則某人在這項(xiàng)游戲中最多能過關(guān)；該人第一關(guān)所有可能的結(jié)果為，則通過第一關(guān)的概率；該人第二關(guān)所有可能的結(jié)果有種，則不能過關(guān)的基本事件個(gè)數(shù)為的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，則有種，通過第二關(guān)的概率；該人第三關(guān)所有可能的結(jié)果有種，則不能過關(guān)的基本事件個(gè)數(shù)為的正整數(shù)解得個(gè)數(shù)，則有種，通過第三關(guān)的概率；連過前三關(guān)的概率.故答案：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在正三棱柱中，已知，、分別是、的中點(diǎn).（1）求正三棱柱的表面積；（2）求證：平面平面；（3）求證：直線平面.（1）解：正三棱柱的側(cè)面積為：，底面積為.所以正三棱柱的表面積為：.（2）證明：如圖：因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，故，又三棱柱為直三棱柱，故平面平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（3）證明：連接，交與點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，又平面,平面，所以平面.16.某單位組織名職工利用周末和節(jié)假日參加社會公益活動，活動內(nèi)容是：到各社區(qū)宣傳慰問，倡導(dǎo)文明新風(fēng)；到指定的社區(qū)、車站、碼頭做義工，幫助哪些需要幫助的人，各位職工根據(jù)各自的實(shí)際情況，選擇了不同的活動項(xiàng)目，相關(guān)系數(shù)據(jù)如下表所示：宣傳慰問義工救助總計(jì)至歲大于歲總

計(jì)（1）用分層抽樣的方法在做義工救助的職工中隨機(jī)抽取名，求在年齡大于歲的職工中，應(yīng)該抽取幾名？（2）在（1）中抽取的名職工中，任取名，求選到的職工的年齡大于歲的數(shù)學(xué)期望．解：（1）因?yàn)閰⒓恿x工救助的共有人，其中歲以上的共人，抽樣比為，故在做義工救助的職工中隨機(jī)抽取名，在年齡大于歲的職工中，應(yīng)該抽取名；（2）由（1）可得有三種可能，，則,,則隨機(jī)變量的分布列為：

則

17.已知的展開式中共有9項(xiàng).（1）求的值；（2）求展開式中的系數(shù)；（3）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：（1）由題意得，解得.（2）由（1）可知展開式的通項(xiàng)為.令，解得，則.故展開式中的系數(shù)為112.（3）根據(jù)題意可得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.18.設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，且.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，所以，由余弦定理得，所以由正弦定理可?因?yàn)椋?，所以，?（2）由余弦定理得因?yàn)?，所?故.19.已知，其中.（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若在上的最大值是0，求的取值范圍．解：（1）由題意得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，即；（2）令，①當(dāng)時(shí)，與的變化情況如下表：000減增減∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是，②當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；③當(dāng)時(shí)，，與的變化情況如下表：000減增減的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)，在的最大值是，但，所以不合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，可得在上的最大值為，符合題意，∴在上的最大值為0時(shí)，的取值范圍是．廣東省深圳市建文教育集團(tuán)兩學(xué)部2025屆高三下學(xué)期2月第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹?，所以，故選：B.2.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)余弦的倍角公式，可得.故選：C.3.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由對稱關(guān)系可得，解得.則點(diǎn)到直線：的距離為.故選：C.4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在處的切線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，則，即，解得，于是，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在處的切線的方程為：，即.故選：B.5已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得.故選：A.6.在平行六面體中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.7.設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓：可得，，，因?yàn)樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，則由為等腰三角形，則可得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積為：；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上，可得的面積為.故選：C.8.在正六棱柱中，，為棱中點(diǎn)，以為球心，為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以球不與側(cè)面及側(cè)面相交，設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，則由題意可得，所以，所以球與側(cè)面交于點(diǎn)，與側(cè)面交于點(diǎn)，在正六邊形中，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，且，所以，所以球與側(cè)面的交線是以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線是以為直徑的半圓，因?yàn)?，所以球與上下底面的交線均為個(gè)半徑為的圓，所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知點(diǎn)，，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動，則（）A.直線與圓相離 B.的面積的最小值為C.的最大值為 D.當(dāng)最小時(shí)，【答案】ACD【解析】對于A，已知點(diǎn),，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動，則圓心為，半徑為，直線的方程為即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；對于B，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，則面積的最小值為，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，當(dāng)最小時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)，故D正確．故選：ACD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線，則下列說法成立的是（）A.圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為 B.圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為C.圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為 D.圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】AD【解析】圓的圓心，半徑為，圓心到直線的距離為；又圓的半徑為，得圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，圓上有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，所以AD成立故選：AD.11.已知橢圓的長軸長為4，離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.是橢圓上一點(diǎn)，若，則D.若的內(nèi)切圓半徑分別為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)闄E圓的長軸長為，所以，又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以，所以橢圓，故A正確；對于B，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在圓上，又因方程組無解，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對于D，顯然直線斜率不為0，設(shè)直線，由，整理得：恒成立，所以，依題意有，得，所以，即，同理可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕獾?，代入到，得，解得：，所以直線的斜率為：，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________；若，則________．【答案】或【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得（舍去）或；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上：或；故答案為：；或.13.已知集合，，若，且中恰有個(gè)整數(shù)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】集合或，設(shè)，則函數(shù)的圖象開口向上，而由知：對稱軸．因?yàn)橹星∮袀€(gè)整數(shù)元素，所以方程有實(shí)數(shù)根，令、是方程的兩根，則，所以（?。?，所以中恰有個(gè)整數(shù)元素為，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和大于，則算過關(guān).則某人在這項(xiàng)游戲中最多能過_________關(guān)；他連過前三關(guān)的概率是___________.【答案】【解析】若每次拋擲一顆骰子都能得到最大點(diǎn)數(shù)點(diǎn)，則第關(guān)拋擲的點(diǎn)數(shù)和為，令，則，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；又，，，當(dāng)時(shí)，，則某人在這項(xiàng)游戲中最多能過關(guān)；該人第一關(guān)所有可能的結(jié)果為，則通過第一關(guān)的概率；該人第二關(guān)所有可能的結(jié)果有種，則不能過關(guān)的基本事件個(gè)數(shù)為的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，則有種，通過第二關(guān)的概率；該人第三關(guān)所有可能的結(jié)果有種，則不能過關(guān)的基本事件個(gè)數(shù)為的正整數(shù)解得個(gè)數(shù)，則有種，通過第三關(guān)的概率；連過前三關(guān)的概率.故答案：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在正三棱柱中，已知，、分別是、的中點(diǎn).（1）求正三棱柱的表面積；（2）求證：平面平面；（3）求證：直線平面.（1）解：正三棱柱的側(cè)面積為：，底面積為.所以正三棱柱的表面積為：.（2）證明：如圖：因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，故，又三棱柱為直三棱柱，故平面平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（3）證明：連接，交與點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，又平面,平面，所以平面.16.某單位組織名職工利用周末和節(jié)假日參加社會公益活動，活動內(nèi)容是：到各社區(qū)宣傳慰問，倡導(dǎo)文明新風(fēng)；到指定的社區(qū)、車站、碼頭做義工，幫助哪些需要幫助的人，各位職工根據(jù)各自的實(shí)際情況，選擇了不同的活動項(xiàng)目，相關(guān)系數(shù)據(jù)如下表所示：宣傳慰問義工救助總計(jì)至歲大于歲總

計(jì)（1）用分層抽樣的方法在做義工救助的職工中隨機(jī)抽取名，求在年齡大于歲的職工中，應(yīng)該抽取幾名？（2）在（1）中抽取的名