2025年人教版九年級數(shù)學下冊《 銳角三角函數(shù)》知識點練習題（含答案解析）

2025年人教版九年級數(shù)學下冊

銳角三角函數(shù)知識點練習題（含答案解析）

言【題型目錄】

題型一銳角三角函數(shù)與三角形壓軸

題型二銳角三角函數(shù)與四邊形壓軸

題型三銳角三角函數(shù)與圓壓軸

題型四銳角三角函數(shù)與一次函數(shù)壓軸

題型五銳角三角函數(shù)與二次函數(shù)壓軸

題型六銳角三角函數(shù)與相似壓軸

題型七銳角三角函數(shù)的最值訓練

題型八銳角三角函數(shù)的應用

題型九銳角三角函數(shù)的新定義問題

題型十銳角三角函數(shù)的綜合

畫經(jīng)典例題

j【經(jīng)典例題一銳角三角函數(shù)與三角形壓軸】

1.（24-25九年級上?重慶南岸?階段練習）已知：等邊點A和點。在直線8c的異側(cè)，且

ZBDC=60°,AE1,BC于點、E.

AAA

(1)如圖1,若DBLBC,AB=4,求4。的長;

（2）如圖2,取4。中點尸，連接E尸，試探究BD,CD,E尸三條線段的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論;

(3)如圖3,在(2)的條件下，當時最小時，在線段5C上取點G,在射線石尸上取點，，使BG=EH,

1S

連接HG,射線“G交/。延長線于點K.當3〃-不如最小時，請直接寫出芍”的值.

2、ABDC

［答案】⑴

3

⑵CD=BD+2EF,理由見解析

O6拒-8

(11

【分析】(1)過點尸作于點尸，易得四邊形如■■即為矩形，三線合一求出/E,8E的長，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出2。的長，進而求出。尸，勾股定理求出4。的長；

(2)倍長NE至點G,連接2G,DG,在CO上截取。8=,三角形的中位線定理，得到DG=2EF,中

垂線的判定和性質(zhì)，得到/8=3G,N/3C=NC8G=60。，證明A8Z>G之ABXC,得到CH=OG=2跖，再

根據(jù)CD=CH+。"，即可得出結(jié)論；

(3)定弦定角得到瓦三點共圓，圓周角定理得到/50C=120。，確定圓心。的位置，取49的中點

O',連接。'尸，得到點尸在以。'為圓心的圓上，進而得到當瓦￡。'三點共線時，火的值最小，進而得到

此時△5CD為以Z3為直角頂點的直角三角形，當臺〃=；明時，即：BH±BC,BH-^EH=0,最小,

過點K作利用銳角三角形函數(shù)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出兩個三角形的面積，即可得

出結(jié)果.

【詳解】(1)解：過點尸作/尸于點尸，

???等邊△Z5C,AE-LBC,

AB=AC=4,BE=—BC=2,

2

??.AE=CBE=25

vDF1BC,AE1BC,AF±DB,

???四邊形為矩形,

■.BF=AE=2?AF=BE=2,

在RtA￡)5C中，BC=4,ZBDC=60°,

BC=y[3BD=4,

3竽

■■DF=BD+BF,

3

■-AD=y/AF2+DF2=；

3

(2)CD=BD+2EF；理由如下:

延長4石至點G,使4E=EG,連接。G,5G,在CO上截取

???點/是4。的中點，

：.EF=-DG,

2

；DH=DB,Z.BDC=60°,

??.△BDH為等邊三角形,

.?.BD=BH,NDBH=60。，

???AE工BC,AE=EG,

AB=AG,/ABC=NGBC,

???AB=BC,ZABC=60°

BG=BC,ZGBC=60°,

??./DBG=ACBH=60°-/HBG,

又BG=BC,BD=BH,

ABDGaBHC,

CH=DG=2EF,

-CD=CH+DH,

：.CD=BD+2EF；

(3)設(shè)4B=BC=a,

VZBDC=60°,為定值，

???點民C,。三點共圓，設(shè)圓心為。，則圓心在線段5C的中垂線上，RZBOC=2ZBDC=120°f

???/石垂直平分3C,

???點。在射線/石上，

OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=30°,

.?./ABO=/ABC+ZOBC=90°,

?.?NABO=L/BAC=30。,

2

???4。=2OB,AB=?)B=a,

.CD百a2百

??OB=---,AO=------a,

33

a

；?OD=Ja,

3

取NO的中點O',連接。'尸，貝IJ：O'F//OD,o'F=-OD=—,OO'=—a,

263

???點尸在以點。'為圓心，夕為半徑的圓上，

6

連接05,貝hBF>O'B-O'F,

.??當昆尸,。'三點共線時，砥的值最小，

???OB=OO',ABOO'=|NBOC=60°,

:△08。為等邊三角形，

■■O'B^OB=—a,^OBO'=60°,AOC)B=60°?

3一

："O'BE=60°-NOBC=30°,BF^O'B-O'FO'F,

6

VO'F//OD,

AO'OD=120°,

:.NO'OB+NDOB=120°,

：.ZBOD=60°,

OB=OD,

.?.△BOD為等邊三角形,

ABDO=60°=ABDC,BD-OB=—a,

3

三點共線，

??.CD為直徑，

NCBD=90°,

.<1_1V3V32

,,、ABDC=—BD,BC=—a----a=—a,

△2236

h

BF=O'B-O'F=—a=O'F

6

???/為。7的中點,

vABEA=9Q°,

：.EF=-O,B=BF,

2

/FEB=30°,

過點a作交BE于點、M,

：.HM=-EH,

2

/.BH--EH=BH-HM<BM

2

.??當河與點8重合時，BM=0,BH-的值最小,

/.BH=—EH=—BG,HBLBE,

22

.?.BH=-EH,BE=6BH=-,

22

h

-BH=—a，

6

h

???EH=2BE=Ja,

3

；.BG=巫,

3

???CG=BC-BG=^^~a,

3

過點K作KN_L3C,

???AELBC,

??.AE//KN,

ZCKN=ZCAE=-ZBAC=30°,

2

設(shè)CN=x,則：KN=CN-tan60。=&

.??GN=^^~a+x,

3

HTKNBH1

?/tanZ.KGN=tan/HGB=-----=------=—,

MGBG2

1__a+x=2A/3X，

3

...1__a+x=2y/3x

3

出」、

...X=a,

【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

圓周角定理，解直角三角形等知識點，合理添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（24-25九年級上?遼寧大連?期末）△4BC,5c于。，tanB=^,tanC=l,40=6,點E沿射線

。。方向一直運動，將點E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點尸（尸在射線D4上），點G與點E關(guān)于點。成中心

對稱（點G在射線OB上），連接GE、EF、尸G得到AGE戶.

AA

(1)求2。的長；

(2)在點E的運動過程中，設(shè)DE=x,AGE尸與△/8C的重疊部分面積為S,求S與尤的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1)18

x2(0<x<6)

1,

⑵底--x-+12x-18(6<x<12)

54(x2⑵

【分析】本題考查解直角三角形及二次函數(shù)與圖形動點問題，相似三角形的性質(zhì)與判定.

(1)解直角三角形求出3。，8即可解決問題；

(2)分三種情形：①如圖1中，當0<xW6時，重疊部分是AEFG；②如圖2中，當6<x<12時，重疊部

分是四邊形4CGW；③當尤212時，重疊部分是△N3C；分別求解即可解決問題.

【詳解】(1)解：VADLBC,

ZADB=NADC=90°,

tanZB=-,tanZC=1,AD=6,

2

:.CD=AD=6,BD=2AD=U,

BC=BD+CD=18；

(2)???將點E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點尸(下在射線上)，點G與點E關(guān)于點。成中心對稱(點G

在射線D8上)，

NEDF=ZGDF=90°,GD=ED=DF

&DEFQDFG是等腰直角三角形，則AGE尸是等腰直角三角形,

①如圖1中，當0<xW6時，重疊部分是△即G,S=^x2x-x=x2

重疊部分是四邊形/CGW；

作3K〃G尸交。尸的延長線于K,作W_LBC于H,

；?/FGC=/KBC=45。,則DK=肛

vtanB=—,AD=6,

2

BD=2AD=12

AB=6y[5,DB=DK=12,

??.AK=DK-AD=6,

?:FM〃BK,

,AFAM

,?而一下’

x-6AM

‘6"村

AM=4^>(X-6),

???MH//AD,

4BMHS^BAD

,MH_BM

一石一下’

MH_6下-下(x-6)

,,6=藤，

:.MH=n-x,

111?

.e.S—S八ARC-SABMG=2、6義18-2x(12-x)(l2-x)-—x+12x-18；

③當x212時，重疊部分是△4BC,S=54,

x2(0<x<6)

1,

綜上所述，5=--X2+12X-18(6<X<12).

54(x>12)

3.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）【問題提出】

(1)如圖1,在△ABC中，ABAC=90°,40是它的一條中線，則/C。/與的數(shù)量關(guān)系式是:

【問題探究】

(2)如圖2,在△48C中，乙4=60。,8。=6,。6_1./8于點6,21/，/C于點”,O為3c邊上一點，且OG=03,

連接G〃，求的長；

【問題解決】

(3)如圖3,有一塊四邊形草地/BCD,規(guī)劃部門計劃在這塊空地內(nèi)種植花卉，計劃在邊2C、C。上分別

取點￡、尸，利用小路4E、4月把這塊草地分割開，在四邊形/ECF內(nèi)種植郁金香，其他區(qū)域種植草坪，EF

為觀賞長廊.已知〃BC,AB=80血m,/D=100m,5C=140m,ZB=45°.設(shè)計師認為當tanNEAF=2時,

規(guī)劃更美觀.

請幫助規(guī)劃部門解決問題：

①求出觀賞長廊E尸長度的最小值；

②當觀賞長廊E尸最小時，種植郁金香區(qū)域的面積為.

圖3

【答案】(1)NCOA=2NB(2)3(3)@40V5m@4400m2

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得解；

(2)證明8,C,G,"四點共圓，再證明△GW是等邊三角形，即可得解；

(3)①過點/作垂足為“，過點C作CN，/。，垂足為N,證明/E4F+/BCO=180。，即可

證明4瓦C,b四點共圓，設(shè)/C中點為K,過K點作/L/C,垂足為K,則圓心。在直線/上，由

OA>AK,得，250,由三角函數(shù)和勾股定理可求斯=逑廠，則當r=50時，所取得最小值，最小值為

5

￥*50=40晶②當r=50時，圓心。與K點重合，/C為圓。直徑，再分別求出又郎和治<“即可得解.

【詳解】(1)解：???/￡4c=90。，49是它的一條中線，

：.OA=OB=-BC,

2

ZOAB=AB,

NCOA=ZOAB+ZB=2ZB；

（2）解：VBHLAC,CGLAB,

NBGC=ZBHC=ZAHB=90°,

：.B,C,G,H四點共圓，且BC為直徑,

如圖，連接OH,

ZOBG=ZOGB,

???ABGC=90°,

ZOBG+ZOCG=ZOGB+ZOGC=90°,

/.ZOCG=ZOGC,

OB=OG=OC,

o為圓心，

：,OG=OH=；BC=3,4GOH=2ZGBH=2（90°-ZA）=60°,

.?.AGHO是等邊三角形，

GH=OG=3；

（3）解：①如下圖，

過點/作垂足為過點C作。V_L4D,垂足為N,貝1|乙4MC=NNNC=N4MB=90°,

AD\\BC,

ZAMC=AMAN=NANC=90°,

四邊形4WCN為矩形,

AN=MC,AM=NCf

'：ZAMB=90o,ZB=45°,

ZBAM=ZABM=45°f

，BM=AM,

在中，BM=AM=AB-sinABAM=8072x—=80m,

2

/.AfC==140-80=60m,CN=80m,

AN=60m,

DN=AD—AN=100—60=40m,

在Rt^ACM中，/c=yjAM2+MC2=>/802+602=100m，

CN2A

tan/EAF=2,tanZZ)=—=—=2,

DN40

/.tanZ.EAF=tanND,

/.ZEAF=ZD,

vAD\\BC,

NO+N8CZ)=1800,

/EAF+/BCD=T80。,

4E,C,尸四點共圓，

設(shè)NC中點為K,過K點作U/C,垂足為K,則圓心O在直線/上，AK=^AC=50m,

如下圖所示，連接。4。瓦。尸，過點。作。打工昉，垂足為〃，設(shè)圓O半徑為％則。/=OE=OE=r,

/.OA>AK,

r>50,

?：OHLEF,

EH=HF,

?;OE=OF,

ZEOH=ZFOH=1/EOF,

2

ZEAF=-ZEOF,

2

/.NEAF=ZFOH,

FH

tanZ.FOH==tanZ.EAF=2,

OH

:.OH=-FH,

2

-：OH2+FH~=OF2,

+FH2=r2,

:.FH=^-r,

5

EF=2FH=述r,

5

r>50,

當r=50時，石尸取得最小值，最小值為2^x50=40V^m,

②當r二50時，圓心。與K點重合，4c為圓。直徑，

/.ZAEC=ZAFC=90°,AE=AM=80m,CE=CM=60m,

11

?.S"。=產(chǎn).=2x80x60=2400m29,

tanZ.D==2,

DF

AF=2DF,

在△ZDF中，AF2+DF2=AD2,

.'.（2DF）2+r?F2=1002,

AF=4oV5m,DF=20\/5m,

■：AC=AD=\Wm,

：.CF=DF=20V5m,

S'.=^AF-FC=^x4075x2075=2000m2,

2

???SmECF=邑血+S.”c=2400+2000=4400m,

故答案為：4400m2.

【點睛】本題目考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì),

四點共圓，圓周角定理等知識點，等邊三角形的性質(zhì)和判定，判斷出E尸如何取得最小值是解題的關(guān)鍵.

4.（24-25九年級上?河南駐馬店?階段練習）【問題探索】

(1)如圖1,在△ABC中，AC=BC,。是48邊上一點，尸是8C邊上一點，NCDF=NA.求證：

ACBF^AD-BD；

【類比應用】

(2)如圖2,在四邊形48尸C中，點。是4B邊的中點，/A=NB=NCDF=45。,若ZC=4.5,BF=4,

求線段C廠的長；

【拓展提升】

(3)如圖3,在△ABC中，AB=5①，/8=45。，以A為直角頂點作等腰直角三角形4DE,點。在2c

上，點E在NC上，若CE=2屈,直接寫出CO的長.

【答案】(1)見解析；(2)2.5；(3)12

【分析】(1)先證出尸=NZC。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得48=NN,然后證出AAD尸SA/C。,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)延長尸，交于點T,先證出AAD尸sans,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得4。=3近，從而可得

AB=6亞,再解直角三角形可得=6,最后利用勾股定理求解即可得；

(3)過點E作E尸交3C于點尸，使得ZD尸￡=45。，先證出,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出

DF=10,再證出AC/ESACED,利用相似三角形的性質(zhì)可求出C尸=2,由此即可得.

【詳解】證明：(1)???/CD尸=//,ZCDF+ZADC+ZBDF=180°=ZA+ZADC+ZACD,

ZBDF=ZACD,

-：AC=BC,

NB=ZA,

在△AD尸和△4CZ）中,

jZBDF=ZACD

\ZB=ZA

：.ABDFS“CD,

BF_BD

~AD~^C

；.ACBF=ADBD.

（2）如圖，延長/。，瓦"交于點T,

.?.TA=TB,NT=90。,

-ZCDB=/CDF+ZBDF=ZA+NACD,

ABDF=/ACD,

在△5。/和△/C。中，

[AB=AA

[ZBDF=ZACD'

???△BDFs公ACD,

BD_BF

"AC~ADf

???點。是Z5邊的中點，

AD=BD,

-AC=4.5,BF=4,

4。_4

"T?一茄’

解得40=3近或40=-3正＜0（不符合題意，舍去）,

???AB=1AD=6收，

在RtA4BT中，TA=TB=AB-sinA=6,

:.TC=TA-AC=L5,TF=TB-BF=2,

■CF=yjTC2+TF2=71.52+22=2.5.

（3）如圖，過點￡作E尸交BC于點尸，使得乙DE&=45。,

???RtA4D￡是等腰三角形,

/.AD=AE,/ADE=45。,

?-DE=y/AD2+AE2=亞AD，

VZ5=45°,

'-ZDFE=ZB,

???ZADF=/B+/BAD=/ADE+ZFDE,

；./BAD=AFDE,

在△8/。和AFDE中,

//B=/DFE

[ZBAD=ZFDE，

，小BADS^FDE,

AB_ADHn5>/2_AD

,'DF~'DE，'~DF~42ADf

解得。尸=10,

???NADE=45。=/DFE,

??./CFE=/CED=135。,

在△（??可和△CEO中，

jZCFE=ZCED

[zc=zc

.??4CFEs^CED,

CFCECEanCF276

CECDDF+CF27610+CF

解得CF=2或CF=-12<0（不符合題意，舍去）,

經(jīng)檢驗，C尸=2是所列分式方程的解，

.-.CD=DF+CF=1Q+2=12.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的應

用、解直角三角形等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.（24-25九年級上?重慶開州?階段練習）在△48C中，/C48=60。，。為4B邊上的中點，連接CD.

ccc

(1)如圖1,若48=45。時，48=3+6，求△3。的面積；

(2)如圖2,NACB=90。，E為BC上一點,將DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得線段。G,作4F，2G交3G的延

長線于點尸，如果。G=G尸，求證：AG=41DE.

(3)如圖3,ZACB=90°,E為2c上一點，將DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得線段。G,當CG最小時，M為平

s

面內(nèi)一點，將△MCE沿CN翻折得AMCE',當EE最大時，直接寫出《巫的值.

'△CEG

【答案】(1)9+36

4

(2)見解析

(3)6

【分析】(1)過點C作于點女，得出AH=@-=2cH,HB=-^-=CH,根據(jù)/8=3+百

tanA3tan5

得出c〃=6,進而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；

(2)連接/G,AE,利用等邊三角形的判斷方法判定出為等邊三角形，借助等邊三角形的性質(zhì)證

出AEDC包GD/(SAS),AGAC^AGAD(SAS),由全等的性質(zhì)得到CG=CF,利用4B,C,尸四點共圓，證

出△C—G為等邊三角形，借助等邊三角形的性質(zhì)證出AFU絲AGCD(SAS),由全等的性質(zhì)得到“尸G為等

腰直角三角形后即可解答；

(3)同(2)可得，AEDC之AGZM(SAS)得出G在/C48的角平分線上運動，根據(jù)CE=CE,當C在EE，

「，，113

上時，EE，最大,進而得出心CEG=7sAem=[SAW,S“DE，=SABDE=3SABDE=二S"BC，即可求解.

2o4

【詳解】(1)解：如圖所示，過點C作C//_L45于點H,

圖1

-ZCAB=6Q09

.-.AH=-^-=—CH，

tanA3

vZ5=45°,

tanB

???/8=3+g,

；.AH+HB=—+1CH=3+6

3

：.CH=3

???。為ZB邊上的中點,

1_11AALT1GW\o_9+3^3

Vc7f

^BCD=3S"BC=萬義萬義p+)x3=---

乙乙乙乙乙?

（2）證明：如圖所示，連接CRCG,

???//CB=90。，。為48邊上的中點,

；.CD=AD

vZC^5=60°,

??.△4OC為等邊三角形，

??.ZCDA=ZDCA=60°,

??.ZECD=ZACB-ZACD=30°

???將DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60。得線段DG,

/EDG=60o,DE=DG,

ZCDA=ZEDG

："EDC=ZGDA

在△E7)C,ziGD4中，

ED=GD

</EDC=NGDA

CD=AD

&△GZ)/(SAS)

???ZGAD=/ECD=30°

ZCAG=ZCAD-ZGAD=30°

在△GZC/G/。中，

'AC=AD

</CAG=NDAG

AG=AG

.-.AGAC^AGAD(SAS)

GD=CG

???已知DG=GF

，CG=GF

又???N/C5=90。，AF±BG

ZAFB=ZACB=90°

??.4SC,尸四點共圓,

??.ZCFB=ZCAB=60°

.?.△CFG是等邊三角形，

ZFCG=ZACD=60°

??.ZFCA=ZGCD

在△bCZQGC。中，

FC=GC

<ZFCA=ZGCD

AC=DC

.-.△FG4^AGCZ)(SAS)

GD=AF

又?:GD=FG

.?.AF=FG

vAF1BG

「.△Z尸G是等腰直角三角形，

???AG=41FG=6DE

(3)解：???將。E繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得線段DG,

:.DG=DE,ZGDE=60°,

.?.△DEG是等邊三角形

如圖所示，同(2)可得，AEDC取AGZM(SAS)

ZGAD=ZECD=30°

，.G在NC4B的角平分線上運動,

；.G在C。上，CG=GD

NBCD=30°,ADEG是等邊三角形

ZDEC=180°-30°-60°=90°,

又???NABC=90°-NCAB=30°

/.DC=DB

"DE1BC

CE=EB,

.C_C—J_V_J_Q

,?U&BDE~JCDE—20ACDB~ABC

vCG=GD

.c_J_c_j_c

,,U^CEG-2ACED~8口AABC

???將叢MCE沿CM翻折得小MCE，,

:,CE=CE',當C在七夕上時，EE，最大

?.?。為4B邊上的中點,

.C—V

,?°AADE'一°ABDE'

???CE=CE'=EB,

3

S“DE'=SABDE，~3S.DE~4S“BC

,工

.SADAE，_4"BC_6

c1

?△CEG_C

8^^ABC

【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換、折疊性

質(zhì)、圓周角定理等知識點，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

31經(jīng)典例題二銳角三角函數(shù)與四邊形壓軸】

6.(24-25九年級上?四川成都?階段練習)在矩形/BCD中，—=4,￡是邊上異于/,。的一個動點.

￡)C2

⑴如圖1,將沿BE折疊，點N的對應點4落在8邊上，求tan/WED；

(2)如圖2,點/，N分別是邊2C,。的中點，將四邊形沿"E折疊，得到四邊形45'兒化，連接

A'N.若AB=6,直接寫出線段HN的長度的取值范圍.

(3)如圖3,將沿BE折疊，點/的對應點4落在矩形外，A'E,H8分別與CD交于點尸，Q,連接44'

交CD于點R,已知黑=|",求黑的值.

JED

【答案】(1)竽

(2)2麗-舊W/W<5

(3)3

Afi3

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證明"8=N8,NBA'C=/A'ED,再結(jié)合>=彳及勾股定

JDC2

理表示出HC,最后求出tan/A4'C=^,即可求出tan/4ED；

AC

(2)根據(jù)翻折的性質(zhì)，可知4的軌跡為以“為圓心，以為半徑的圓弧行，當M、N、4共線時，A'N

長度最小，當4在N時，HN長度最大，再結(jié)合矩形的性質(zhì)、中點的定義及勾股定理分別算出/M、MN、

NN的長度，即可得出HN的長度的取值范圍：

(3)過R作RHL4Q交于點H,先根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明/的=/胡'/,以及ARQ?是等

PR2

腰三角，即。尺=。4',再根據(jù)>和勾股定理，設(shè)依=2x,則可表示出尺。、PQ、H。、PH的長度,

然后根據(jù)ARQHSAPQH可求出、HQ、A'H,進而可求得tan/A4'/=tan/2￡>l,再據(jù)此找出4E與48

AR%AP

的數(shù)量關(guān)系，同時根據(jù)卷==以及即九找到灰)與的數(shù)量關(guān)系，即可求得受的值.

BC2ED

【詳解】(1)解：???四邊形是矩形，且

z>C2

.-.^AB=CD=3,x,AD=BC=2x,ZC=ZD=90°,

由翻折的性質(zhì)可得：A'B=AB=3x,NBA'E=NA=90。,

在RUA'BC中，A'C=\IA'B2-BC2=J(3x『-(2x『=屈，

■:NC=ND=ZBA'E=90°

ZEA'D+ZBA'C=90°,/DEA'+ZA'ED=90°,

NBA'C=ZA'ED,

lx2A/5

tanZA'ED=tanZBA'C=—-

A'C限5

Q

(2)???四邊形/3CO是矩形，且。=彳，

nC2

AB=CD=6,AD=BC=4,

???點加，N分別是邊5C,CD的中點，連接力〃，AN,

BM=MC=2,CN=ND=3,

MN=VMC2+CN1=V22+33=V13，

AM=ylAB2+BM2=762+22=2而，

AN=^AD2+ND2=A/42+32=5，

???四邊形沿KE折疊，得到四邊形48%/E,E為線段上的動點,

??.4的軌跡為以“為圓心，以的長度為半徑的圓弧傘，如圖：

當Af、N、W共線時，HN長度最小，

此時A'N=A'M-MN=AM-MN=2而一而,

當H在/時，長度最大，A'N=AN=5,

???￡是邊40上異于4,。的一個動點，

???2麗-巫W/W<5.

(3)如圖，過我作4。交于點〃：

由翻折的性質(zhì)得NBAE=ZBA'E=90°,ZBAA'=ZBA'A,且AA'±BE,

.-.ZBEA+ZEAA'=90°,

由矩形的性質(zhì)得48〃CO,/BAD=/BAA'+/EAA'=90。,AD=BC,

ZBAA'=ZQRA',ZBEA=NBAA'=NBA'A,

.-.ZQRA'=BA'A,

.-.QR=QA',

PR2.

‘蔽一“

???設(shè)PR=2x,貝！JRQ=H。=3x,PQ=5x,

在RMPQ?中，PA'=ylPQ2-A'Q2=4x,

RH140,

.-.ZQHR=ZBA'E=90°,

ZRQH=ZPQA',

...ARQHSAPQA,

RH_RQHQ

??西一歷一數(shù)'

RQ,3x.12RQ,3x,9

.-.7?//=--P^=--4x=—x,HQ=-A'Q=3x=-x,

PQ5x5PQ5x5

96

r

/.AH=A'Q—HQ=3x——x=—xf

12

tanNBAA=%-==2

A'H6

——X

5

tanABEA=tan=2,

AU1

???在中，AE=——-——=—AB,

tanNBEA2

43_3

.菸_/，

...BC=AD=-AB,

3

：.ED=AD-AE=-AB--AB=-AB,

326

AE_\AB,3

EDLAB'

6

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)正切值、等腰三角形的判定、相

似三角形、點與圓上一點的最值問題等，熟練掌握并靈活應用各個知識點是解題的關(guān)鍵.

7.（24-25九年級上?內(nèi)蒙古包頭?階段練習）在矩形/5CD的邊上取一點E,將ABCE沿8E翻折，使點C恰

好落在4D邊上點尸處.

(1)如圖，若BC=2BA,求NC3E的度數(shù).

(2)如圖，當/8=5時，且4F-FD=10時，求2c的長.

(3)如圖，延長斯，與乙48廠的角平分線交于點M,BM交AD于■點、N,當NF=AN+FD時,求『的值.

BC

【答案】(1)15。

(2)375

(3)1

【分析】(1)先根據(jù)矩形性質(zhì)得到ZC=90°,再根據(jù)折疊性質(zhì)得到BC=BF,ZFBE=ZEBC,

/C=/BFE=90°,禾U用銳角三角函數(shù)得到44所=30。，利用平行線的性質(zhì)求得NNEB=NC2/=30。，進

而可求解；

(2)證明廠得到月尸.。尸=/8.。石，結(jié)合已知得到。石=2,則CE=EF=3,利用勾股定理求

得。尸=退，進而求得4歹=2否即可求解；

(3)過點N作NG，BF于點、G,先根據(jù)已知和折疊性質(zhì)得到NF=gBF,證明ANFG^^BFA得到

2

嚓NG=凳FG=妥NF=：}，設(shè)NN=x,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到4N=NG=x,

ABArDr2

4in

AB=BG=2x,設(shè)尸G=y,則4/=2歹，利用勾股定理求得歹,進而求得==即可求解.

【詳解】⑴解：???四邊形/5S是矩形，

/.ZC=90°,

???將△5C￡沿班翻折，使點C恰好落在邊上點方處，

；,BC=BF,ZFBE=ZEBC,/C=NBFE=90。,

???BC=2AB,

BF=2AB,

Ag1

???sinZAFB==—,則/AFB=30°,

BF2

???四邊形/5CD是矩形,

AD〃BC,

.?.ZAFB=ZCBF=30°,

，NCBE=L/FBC=15。；

2

(2)解：???將△5C￡沿郎翻折，使點。恰好落在4D邊上點方處,

/.ABFE=AC=90°,CE=EF,

又?.?矩形45CZ)中，ZA=ZD=90°,

;./AFB+NDFE=90。,/DEF+/DFE=90°,

/.ZAFB=ZDEF,

???/\FABs叢EDF,

AFAB

,?面一于'

???AF?DF=AB?DE,

vAFDF=10,AB=5,

**-DE=2,

,?,在矩形ABCD中，CD=AB=5,

：.CE=DC-DE=5-2=3,

：.EF=3,

■?-DF=ylEF2-DE2=打-*=下，

■:AF^FD=\Q,即退//=10,

二"尸啜=26,

BC=AD=AF+DF=2y[5+45=345-,

(3)解：過點N作NGJ_AF于點G,

M

.-.NF=-AD=-BC,

22

???BC=BF,

：.NF=-BF,

2

???/NFG=/AFB,/NGF=/BAF=90。,

△TVFGs/\BFA,

NG_FGNF

"AB"IF-BF"2?

設(shè)ZN=x,

,；BN平%/ABF,AN1AB,NGLBF,

AN=NG=x,又BN=BN,

.?.RbZ5NgRSG5N（HL）,

AB=BG=2x,

設(shè)尸G=y,則4月=2y,

AB2+AF2=BF2，

???（2x）2+（2y）2-（2x+j）2,

4

解得y=§x，

410

;.BF=BG+GF=2x+—x=—x,

33

ABAB_2x_3

???茲一而一訶-

—x

3

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等

知識，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

8.（24-25九年級上?上海楊浦?階段練習）如圖，已知矩形/BCD中，AB=9,8c=12,E是BC邊上一點

（不與8、C重合），過點E作E4E交4C、C。于點"、F,過點B作3GJ./C,垂足為G,BG交

備用圖

⑴求證：AABHSAECM；

(2)設(shè)3￡=x,---=y,求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

(3)當△出花1為等腰三角形時，求3E的長.

【答案】(1)見解析

4X

(2)y=~~―,定義域為0<x<12

36-3x

92721

⑶5或彳或W

【分析】(1)先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得//8C=90。，再根據(jù)8GL/C、直角三角形的性質(zhì)可得

ZABH=ZECM,同樣的方法可得=NCEM,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證;

274x

(2)延長5G交/。于K,先證明求得4K=彳，再證明△，用CS/HB得到即=方./77,

4HQFH

再由得到前—仁,再代入“由求解即可;

(3)先根據(jù)等腰三角形的定義分①出/=帥，②=麻和③口=石〃三種情況，再利用等腰三角形的

判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、解直角三角形求解即可得.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是矩形,

NABC=90°,

：.ZABH+ZCBG=90°,NBAH+NAEB=9?！?/p>

BGLAC,

AECM+ACBG=90°,

AABH=ZECM,

EF±AE9

；./CEM+ZAEB=9。。,

/BAH=/CEM,

/ABH=ZECM

在和AECM中,

NBAH=ZCEM

:AABHSAECM；

(2)解：延長BG交/。于K,如圖,

?;/ABG=/ACB,ZBAK=ZCBA=90°,

AABKS^BCA,

AK_AB

~AB~^C

vAB=9,=12,

AK927

解得/長二7,

~9~

???矩形45CQ中，AD//BC,

MAHKS八EHB,

AKAH.“

---=----,又BE=x,

BEEH

??-EH=/AH=MH

4HARQ

由（1）結(jié)論，"BHSAECM得大=有二^—，

EMCE12-x

?--E-H---4-x-,-A--H------4-x---=-4-x----

EM27EM3（12-x）36-3-

4V

即,定義域為0cx<12；

36-3x

(3)解：由題意，當△射為等腰三角形時，分以下三種情況:

①當=成時，△瓦加為等腰三角形,

:.ZBHE=ZBEH,

???/BHE=/AHG,

??./BEH=AAHG,

???/ABE=ZAGH=90°,

ABEH+ABAE=ZAHG+/HAG=90°,

ZBAE=ZHAG,即/E是NA4C的平分線,

過E作于。，如圖，

AD

則￡。=5￡,CE=12-BE,

sinZACB=,AC7AB?+BC?=正+⑵=15，

TiCCIS

9_BE

.,記―12-BE，

9

解得=

②當HB=HE時,為等腰三角形，

???ZHBE=ZHEB,

???/ABE=ABGC=90°,

???/HEB+/BAE=ZHBE+ZACB=90°,

/BAE=NACB,

tanZBAE=tanZACB,

BEAB口口BE9

???——=——，即——=——，

ABBC912

27

解得8E=不；

4

③當E5=￡"時，△瓦汨為等腰三角形，

ZEHB=AEBH,又/EHB=/AHG,

：.ZEBH=/AHG,

???ZEBH+/BCG=/AHG+/HAG=90°,

/BCG=AHAG,

.?.AE=CE=n-BE,

在RtAABE中，由4"+BE2=Z爐得9?+BE?=(12—BE『,

解得=k

o

綜上，旌為等腰三角形時，班的值為/9或一27或2?1.

248

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、

角平分線的性質(zhì)等知識點，較難的是題(3),正確分三種情況討論，并熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

9.(24-25九年級上?山東荷澤?階段練習)【問題呈現(xiàn)】

如圖1,△45。和△/￡)石都是等邊三角形，連接3Z),