2025年中考數(shù)學二輪復(fù)習：二次函數(shù) 壓軸解答題練習題（含答案解析）

2025年中考數(shù)學二輪復(fù)習：二次函數(shù)壓軸解答題練習題

—.解答題(共20小題)

1.(2024?楚雄州一模)網(wǎng)絡(luò)直播帶貨已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式.某水果生產(chǎn)商在一銷售平臺上直播

銷售枇杷，已知枇杷的成本價為20元/千克，每日銷售量y(千克)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)

關(guān)系，如下表記錄的是有關(guān)數(shù)據(jù)，出于營銷考慮，要求枇杷銷售單價不低于成本且不高于32元/千克.設(shè)

銷售枇杷的日獲利為w(元).

銷售單價x(元)2227

日銷量y(千克)200150

(1)求日銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當銷售單價定為多少時，銷售這種枇杷的日獲利w最大？最大利潤為多少元？

2.(2024?沈丘縣一模)如圖，拋物線：>=尤2+法+。的圖象與％軸交于A和B(-3,0)兩點，與y軸交于

C(0,-3),直線y=x+機經(jīng)過點且與y軸交于點與拋物線交于點E,與對稱軸交于點F.

(1)求拋物線的解析式和E點坐標；

(2)在y軸上是否存在點P,使得以。、E、P為頂點的三角形與△B。。相似，若存在，直接寫出點尸

的坐標；若不存在，試說明理由.

3.(2024?新泰市一模)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y

軸交于點C(0,2),且頂點尸的坐標為(-1,3).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,點D(-1,I),若點M是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線的上方，連接MC,MD.求

AMCD面積的最大值及此時點M的橫坐標；

(3)如圖2,設(shè)點。是拋物線對稱軸上的一點，且在點C的下方，連接QC,將線段QC繞點。逆時

針旋轉(zhuǎn)90°，點C的對應(yīng)點為凡直線尸尸交拋物線于點E（點E與點P不重合），判斷此時能否求出

4.（2024?雅安模擬）某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查，每天銷售量y（千克）與

銷售單價x（元/千克）之間的關(guān)系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元.

（1）直接寫出y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式：

（2）如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？

（3）設(shè)每天的總利潤為卬元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？

5.（2024?紅塔區(qū)三模）在二次函數(shù)y=/-2代+3（t>0）中，

（1）若它的圖象過點（2,1）,貝卜的值為多少？

（2）當04W3時，y的最小值為-2,求出/的值.

6.（2024?金鄉(xiāng)縣三模）某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具，進價為每件30元，物價部門規(guī)定每件兒童玩具的銷售

利潤不高于進價的50%.在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為35元時，每天可售出350件，若銷售單價

每提高5元，則每天銷售量減少50件.設(shè)銷售單價為x元（銷售單價不低于35元）

（1）當這種兒童玩具以每件最高價出售時，每天的銷售量為多少件？

（2）求這種兒童玩具每天獲得的利潤w（元）與銷售單價無（元）之間的函數(shù)表達式；

（3）當銷售單價為多少元時，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

7.（2024?德城區(qū)一模）以x為自變量的兩個函數(shù)y與g,令仁y-g,我們把函數(shù)〃稱為y與g的“相關(guān)

函數(shù)”例如：以無為自變量的函數(shù)y=/與g=2尤-1它們的"相關(guān)函數(shù)"為fi=y-g=W-2x+l.11=*

-2x+l=(x-1)22o恒成立，所以借助該“相關(guān)函數(shù)”可以證明：不論自變量尤取何值，y'g恒成

立.

(1)已知函數(shù)與函數(shù)g=4x+l相交于點(-1,-3)、(3,13),求函數(shù)y與g的"相關(guān)函

數(shù)”h；

(2)已知以x為自變量的函數(shù)y=3x+/■與g=_r-2,當尤>1時，對于x的每一個值，函數(shù)y與g的"相

關(guān)函數(shù)”〃>0恒成立，求t的取值范圍；

(3)已知以x為自變量的函數(shù)yu/+bx+c與g=-2fcv-c(a、6、c為常數(shù)且a>0,bWO),點4$,0)、

B(-2,口)、C(1,y2)是它們的“相關(guān)函數(shù)”h的圖象上的三個點，且滿足2c<y2<yi,求函數(shù)h

的圖象截x軸得到的線段長度的取值范圍.

8.(2024?市中區(qū)校級一模)如圖，已知拋物線>=0?+灰+5與無軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點(點

A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(與點C,B不重合)，過點。作。下，無軸于點R交直

線8c于點E,連接8D直線BC能否把分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點。的

坐標；若不能，請說明理由.

(3)若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△AffiC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標.

9.(2024?武威二模)如圖，已知拋物線經(jīng)過原點。和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2與x軸交于點C,

直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點8(-2,加)，且與y軸、直線x=2分別交于點。、E,點D是BE

的中點.

(1)求機的值；

(2)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若尸(x,y)是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P,使得尸B=PE?若存在，試求出所

有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

y

E

某數(shù)學興趣小組對數(shù)學學習中有關(guān)汽車的剎車距離有疑惑，于是他們走進汽車研發(fā)中心考查,剎車距離.

【知識背景】“道路千萬條，安全第一條."剎車系統(tǒng)是車輛行駛安全的重要保障，由于慣性的作用，行

駛中的汽車在剎車后還要繼續(xù)向前行駛一段距離才能停止，這段距離稱為剎車距離.

【探究發(fā)現(xiàn)】汽車研發(fā)中心設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在模擬汽車在高速公路上以某一速度行駛時，對它

的剎車性能進行測試.興趣小組成員記錄其中一組數(shù)據(jù)如下：

剎車后行駛的時間0123

剎車后行駛的距離y0274863

發(fā)現(xiàn)：①開始剎車后行駛的距離y(單位：力)與剎車后行駛的時間/(單位：s)之間成二次函數(shù)關(guān)系；

②汽車剎車后行駛的距離隨剎車后行駛的時間r的增大而增大，當剎車后行駛的距離最遠時，汽車完全

停止.

【問題解決】請根據(jù)以上信息，完成下列問題：

(1)求y關(guān)于f的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)若汽車剎車4s后，行駛了多長距離；

(3)若汽車司機發(fā)現(xiàn)正前方80機處有一輛拋錨的車停在路面，立刻剎車，問該車在不變道的情況下是

否會撞到拋錨的車？試說明理由.

11.(2024?天長市二模)已知，在平面直角坐標系內(nèi)，拋物線y=a/+2x+c交x軸于A,8兩點，交y軸于

點C,且A(-1,0),B(3,0).

(1)求拋物線與直線AC的解析式;

(2)點尸在拋物線的對稱軸上，且使得|朋-PC|的值最大，過對稱軸上的另一點。任作與x軸不平行

的直線/,交拋物線于點N,若△產(chǎn)阿的內(nèi)心始終在拋物線的對稱軸上，求點。的坐標；

(3)在(2)的條件下，已知點。是線段AC上(不含端點A,C)的一個動點，過點。作直線。E48,

交直線/于點E,過點E作E凡LA8,垂足為點孔求線段。尸的最小值.

12.(2024?柳州一模)2023年8月5日，在成都舉行的第31屆世界大學生夏季運動會女子籃球金牌賽中，

中國隊以99比91戰(zhàn)勝日本隊，奪得冠軍，女籃最重要的球員之一韓旭在日常訓練中也迎難而上，勇往

直前.投籃時籃球以一定速度斜向上拋出，不計空氣阻力，在空中劃過的運動路線可以看作是拋物線的

一部分.建立平面直角坐標系xOy,籃球從出手到進入籃筐的過程中，它的豎直高度y(單位：加)與

水平距離單位：相)近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，籃筐中心距離地面的豎直高度是3根，韓旭進行了兩次

投籃訓練.

(1)第一次訓練時，韓旭投出的籃球的水平距離尤與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：

水平距離01234

豎直高度

①在平面直角坐標系xOy中，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并用平滑的曲線連接:

5

4

3

2

2345H

②結(jié)合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，求籃球運行的最高點距離地面的豎直高度；

③已知此時韓旭距籃筐中心的水平距離5〃z,韓旭第一次投籃練習是否成功，請說明理由.

(2)第二次訓練時，韓旭出手時籃球的豎直高度與第一次訓練相同，此時投出的籃球的豎直高度y與

水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x-3)2+4.25,若投籃成功，求此時韓旭距籃筐中心的水平距離d

的取值范圍.

13.(2024?朝陽區(qū)校級三模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y—a^r+bx+c(a>0)的對稱軸為直線x

=7,點A(-3機)，B(2f,n),C(xo,yo)在拋物線上.

(1)當f=2時，直接寫出m與w的大小關(guān)系；

(2)若對于5<xo<6,都有機>yo>%求f的取值范圍.

14.(2024?喀什地區(qū)一模)如圖，在Rt^ABC,ZABC=90°,該三角形的三個頂點均在坐標軸上.二次

函數(shù)y=o?+6x+c過A(-1,0),B(0,2),C(4,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點尸為該二次函數(shù)第一象限上一點，當△2CP的面積最大時，求尸點的坐標；

(3)M為二次函數(shù)上一點，N為無軸上一點，當B、C、M.N成的四邊形是平行四邊形時，直接寫出

N的坐標.

15.(2024?電白區(qū)一模)在2024年元旦即將到來之際，學校準備開展“冬日情暖，喜迎元旦”活動，小

星同學對會場進行裝飾.如圖1所示，他在會場的兩墻A3、CD之間懸掛一條近似拋物線-表+3

的彩帶，如圖2所示，已知墻與CD等高，且AB、CD之間的水平距離8。為8米.

圖I圖2部

(1)如圖2,兩墻42,C。的高度是米，拋物線的頂點坐標為；

(2)為了使彩帶的造型美觀，小星把彩帶從點M處用一根細線吊在天花板上，如圖3所示，使得點M

到墻A8距離為3米，使拋物線人的最低點距墻A8的距離為2米，離地面2米，求點M到地面的距

離；

(3)為了盡量避免人的頭部接觸到彩帶，小星現(xiàn)將M到地面的距離提升為3米，通過適當調(diào)整M的

位置，使拋物線放對應(yīng)的二次函數(shù)的二次項系數(shù)始終為g若設(shè)點〃距墻AB的距離為加米，拋物線

/2的最低點到地面的距離為“米，探究”與相的關(guān)系式，當2Wn3上寸，求心的取值范圍.

16.(2024?中原區(qū)校級三模)水龍頭關(guān)閉不嚴會造成滴水.為了調(diào)查漏水量與漏水時間的關(guān)系，某興趣小

組進行以下試驗與探究：

試驗：在滴水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器量筒，每5根譏記錄一次容器中的水量，但由于操

作延誤，開始計時的時候量筒中已經(jīng)有少量水，因而得到如表中的一組數(shù)據(jù).

時間t/min510152025…

水量y/mZ,173247a77…

(1)探究：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，擬用下面三個函數(shù)模型模擬水量y與時間f的關(guān)系：①丫二^，②丫二

kt+b,?y=pt1+qt+r,你認為選用函數(shù)(填序號)模擬最合理(不必說明理由)，并求出相應(yīng)的

函數(shù)表達式和漏記的。值；

(2)應(yīng)用：

①興趣小組用100〃4量筒進行測量，請估計在第30分鐘量筒是否滴滿？

②成年人每天大約需飲水1600mL,請估算這個水龍頭一天的漏水量可供一位成年人飲用多少天？(結(jié)

果保留一位小數(shù))

17.(2024?萬山區(qū)一模)排球考試要求：墊球后，球在運動中離地面的最大高度至少為2米.某次模擬測

試中，某生在。處將球墊偏，之后又在4、8兩處先后墊球，球沿拋物線G-C2-C3運動(假設(shè)拋物

線。、C2、C3在同一平面內(nèi))，最終正好在。處墊住，。處離地面的距離為1米.如圖所示，以。為

坐標原點1米為單位長度建立直角坐標系，無軸平行于地面水平直線處已知點4(|,各，點8的橫坐

標為—拋物線Ci表達式為^二。%2-2ox和拋物線C3表達式為yuZaf+b尤(aNO).

(1)求拋物線Ci的函數(shù)表達式；

(2)第一次墊球后，球在運動中離地面的最大高度是否達到要求？請說明理由；

(3)為了使第三次墊球后，球在運動中離地面的最大高度達到要求，該生第三次墊球處2離地面的高

18.(2024?龍馬潭區(qū)二模)如圖，拋物線y=a/+5or+b經(jīng)過點￡>(-1,-5),且交x軸于A(-6,0),

8兩點(點A在點B的左側(cè))，交y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,過點。作。軸，垂足為點尸在直線下方拋物線上運動，過點P作PELAO,

PFA.DM,求VIPE+P尸的最大值，以及此時點P的坐標.

V5

(3)將原拋物線沿射線C4方向平移］■個單位長度，在平移后的拋物線上存在點G,使得/CAG=45°,

請寫出所有符合條件的點G的橫坐標，并寫出其中一個的求解過程.

備用圖

19.(2024?重慶模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=+6*+c與％軸交于a*，0)、8(-

2,0)兩點，與y軸交于點C,連接AC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖1,直線交彳軸于點。(2,0),點尸為線段AC下方拋物線上的一點，過點尸作

軸交直線CD于點H,在直線CD上取點Q,連接PQ,使得HQ=PQ,求2PQ-卓的最大值及此時

P點的坐標；

(3)連接BC,把原拋物線y=4/+族+￡：沿射線2。方向平移2有個單位長度，點M是平移后新拋

物線上的一點，過點M作MN垂直x軸于點M連接AM,直接寫出所有使得的點M

的橫坐標.

20.（2024?臨沂一模）乒乓球被譽為中國國球.2023年的世界乒乓球錦標賽中，中國隊包攬了五個項目的

冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術(shù)分析是分不開的.如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，

一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度OA為28.75c機的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，

乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分.乒乓球到球臺的豎直高度記為y（單位：cm）,乒乓球運行

的水平距離記為無（單位：cm）.測得如下數(shù)據(jù)：

水平距離x/cm0105090130170230

豎直高度ylem28.7533454945330

（1）①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是cm,當乒乓球落在對面球臺上時，到

起始點的水平距離是cm；

②求滿足條件的拋物線解析式；

（2）技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度OA,乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能

過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練.如圖②.乒乓球臺

長OB為274cm,球網(wǎng)高CD為15.25c〃z.現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度OA的值約為

1.27cm.請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的OA值（乒乓球大小忽略不計）.

圖①圖②

參考答案與試題解析

—.解答題（共20小題）

1.（2024?楚雄州一模）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式.某水果生產(chǎn)商在一銷售平臺上直播

銷售枇杷，已知枇杷的成本價為20元/千克，每日銷售量y（千克）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)

關(guān)系，如下表記錄的是有關(guān)數(shù)據(jù)，出于營銷考慮，要求枇杷銷售單價不低于成本且不高于32元/千克.設(shè)

銷售枇杷的日獲利為卬（元）.

銷售單價元（元）2227

日銷量y（千克）200150

（1）求日銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當銷售單價定為多少時，銷售這種枇杷的日獲利w最大？最大利潤為多少元？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運算能力.

【答案】（1）y=-10x+420；

（2）當銷售單價定為31元時，銷售這種枇杷的日獲利w最大，最大利潤為1210元.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可得；

（2）先根據(jù)利潤=銷售量X（銷售單價-成本價）求出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性

質(zhì)求解即可得.

【解答】解：（1）設(shè)日銷售量y與銷售單價尤的函數(shù)關(guān)系式為y=fcc+b（20）,

由題意得:｛露M瑞

解得仁深

則日銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式為y=-lOx+420；

（2）由題意得：w=（-10.r+420）（x-20）

=-10^+620%-8400

=-10（x-31）2+1210,

：20WxW32,-10<0,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x=31時，w取得最大值，最大值為1210,

答：當銷售單價定為31元時，銷售這種枇杷的日獲利w最大，最大利潤為1210元.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

2.(2024?沈丘縣一模)如圖，拋物線：y=/+6x+c的圖象與x軸交于A和8(-3,0)兩點，與y軸交于

C(0,-3),直線》=無+初經(jīng)過點3,且與y軸交于點。，與拋物線交于點E,與對稱軸交于點f

(1)求拋物線的解析式和E點坐標；

(2)在y軸上是否存在點P,使得以。、E、尸為頂點的三角形與△BO。相似，若存在，直接寫出點產(chǎn)

的坐標；若不存在，試說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=/+2x-3,點E的坐標為(2,5)；

(2)點尸的坐標為(0,7)或(0,5).

【分析】(1)把B(-3,0),C(0,-3)代入y=f+6x+c,求出拋物線解析式，把B(-3,0)代入

y^x+m,求出直線的解析式，聯(lián)立拋物線和直線的解析式求出點E的坐標；

(2)通過坐標求出OE和BD的長,利用分類討論思想分和兩種情況，

從而求出點P的坐標.

【解答】解：(1)把8(-3,0),C(0,-3)代入y=f+bx+c,

得e二學解得已二、

拋物線的解析式為y=/+2x-3,

把8(-3,0)代入y=x+m,

直線BE的解析式為丫=尤+3,

2+2X33

{y：x+3--?＜：5＜：0(點8的坐標，舍去),

.?.點E的坐標為(2,5)；

(2)把x=0代入y=x+3,得y=3,

.?.點。的坐標為(0,3),

:點E的坐標為(2,5),點8的坐標為(-3,0),

：.DE=2V2,BD=3V2,

由于點尸在y軸上，設(shè)P(0,a),則P￡)=a-3,

①若ABODSAPED,

,ODBD口“33V2

得=,即-尸=---，

DEPD2V2PD

解得PD=4,

.?.點P的坐標為(0,7),

②若ABODs^EPD,

BDOP3V23

得--=---,即-，

DEPD242F=P--D--

解得尸。=2,

.,.點P的坐標為＜0,5),

綜上所述，點尸的坐標為(0,7)或(0,5).

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，求兩函數(shù)交點的坐標，相似三角形的

性質(zhì)，第(2)題的難點在于利用分類討論思想求出點P的坐標.

3.(2024?新泰市一模)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=a?+及+c的圖象與x軸交于A、8兩點，與y

軸交于點C(0,2),且頂點P的坐標為(-1,3).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,點。(-|,1),若點“是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線C。的上方，連接MC,MD.求

△MCD面積的最大值及此時點M的橫坐標；

(3)如圖2,設(shè)點。是拋物線對稱軸上的一點，且在點C的下方，連接QC,將線段QC繞點。逆時

針旋轉(zhuǎn)90°,點C的對應(yīng)點為F,直線PF交拋物線于點E(點E與點P不重合)，判斷此時能否求出

點E的坐標，如能，求出點E的坐標，不能，說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；分類討論；圖形的全等；推理能力.

【答案】(1)y=~x2-2x+2；

r125

(2)點M的橫坐標為：時，面積的最大值為一；

464

(3)能求出點E的坐標，點E的坐標為(-2,2).

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)由AMCD面積=SAMHD+S^MHC,即可求解；

(3)證明(A4S),得到CG=2-t=QN,QH=\=FN,則點F(L3,什1),求出直

線尸尸的表達式，進而求解.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線的表達式為：y="(x-h)2+k=a(x+1)2+3,

當x=0時，y=a(0+1)2+3=2,

解得：a=-1,

則拋物線的表達式為：y=-(x+1)2+3=-X2-2X+2；

(2)如圖1,過點加作"“〃,軸交于點”，

由點C、D的坐標得，直線CD的表達式為：y=3+2,

1

設(shè)點M(m,-m2-2m+2),點、H(m,—m+2),

則△MCZ)=S/\MHD+S/\MHC=(XC-XD)=ix[(-m2-2m+2)-(m+2)]xf=—7(m2+5m),

ZZZ4,Z

<0,故函數(shù)由最大值，

r125

當m=一9時，AMCD面積的最大值為~7??；

464

(3)能求出點E的坐標，理由：

設(shè)點。(-1,力,如圖2,

①當點。在點C的下方時，

過點Q作x軸的平行線交y軸于點H,交過點尸與y軸的平行線于點N,

VZFQN+ZQFN=90°,ZFQN+ZCQH=90°,

：.ZFNQ=ZQCH,

；/N=NCHQ=90°,CQ=QF,

：.AQNF^/\CHQ(44S),

CH=2-t=QN,QH=1=FN,

點尸(f-3,t+1),

由點尸、尸的坐標得，直線尸尸的表達式為：y=x+4②，

聯(lián)立①②得：x+4=-7-2尤+2,

解得：x=-2(不合題意的值已舍去)，

即點￡(-2,2).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)和旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利用三角形全等的知識解決線段相等的問題；會解一元二次方程；理解坐標與圖形性質(zhì).

4.(2024?雅安模擬)某超市銷售一種商品，成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查，每天銷售量y(千克)與

銷售單價x(元/千克)之間的關(guān)系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元.

(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

(2)如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為多少元？

(3)設(shè)每天的總利潤為卬元，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？

y(千克)

150--------

100--------匚一-二

?

?

?

__?.

ol3080X(元/千克)

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)設(shè)y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式為>=丘+6(左N0),由待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用總利潤等于每千克的利潤乘以銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式并根據(jù)問題實際得出自變量的取值范

圍，并根據(jù)每天所獲利潤為3600元，建立方程，求解即可；

(3)將w關(guān)于x的二次函數(shù)寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍可得答案.

【解答】解：(1)設(shè)y與龍之間的函數(shù)關(guān)系式為>=丘+6(ZWO),

將(30,150)；(80,100)分別代入得：

(30k+b=150

l80fc+b=100'

解得：K=

S=180

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+180；

(2)設(shè)利潤為卬元，

由題意得：

w=(x-30)(-x+180)

=-7+210x-5400,

；.w=-^+21Ox-5400(30WxW80)；

令-7+21Ox-5400=3600,

解得x=60或x=150(舍)，

如果該超市銷售這種商品每天獲得3600元的利潤，那么該商品的銷售單價為60元；

(3)由(2)知，w=-(%-105)2+5625,

V-1<0,

當尤W105時，w隨x的增大而增大，

：30。（80,

.?.當尤=80時，w最大，最大為5000元.

當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是5000元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?紅塔區(qū)三模）在二次函數(shù)了=/-2我+3（?>0）中，

（1）若它的圖象過點（2,1）,貝h的值為多少？

（2）當0WxW3時，y的最小值為-2,求出，的值.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識.

3

【答案】（1）

2

（2）t=V5.

【分析】（1）將點坐標代入解析式，求解；

（2）分情況討論：①時，對稱軸在直線x=3右側(cè)或與x=3重合，②Y3時，分別確定自變量取

值范圍內(nèi)的函數(shù)極值，建立方程求解.

【解答】解：（1）圖象經(jīng)過點（2,1）,

/.4-4/+3=1,解得t=去

（2）y=J?-2fx+3=（x-f）2+3-F,

時，y謾，僮=3—產(chǎn)

①時，對稱軸在直線x=3右側(cè)或與尤=3重合，

y最小值=32-2tx3+3=-6t+12=-2,解得t=（（舍去）；

②<3時，對稱軸在直線尤=3左側(cè)，

丫最小值=3一仔=_?，解得t=一有（舍去）或^=有；

綜上，t=小.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)自變量取值范圍確定函數(shù)極值是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?金鄉(xiāng)縣三模）某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具，進價為每件30元，物價部門規(guī)定每件兒童玩具的銷售

利潤不高于進價的50%.在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為35元時，每天可售出350件，若銷售單價

每提高5元，則每天銷售量減少50件.設(shè)銷售單價為x元（銷售單價不低于35元）

（1）當這種兒童玩具以每件最高價出售時，每天的銷售量為多少件？

(2)求這種兒童玩具每天獲得的利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)表達式；

(3)當銷售單價為多少元時，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)兒童玩具進價為每件30元，每件兒童玩具的銷售利潤不高于進價的50%,求出尤的

取值范圍；

(2)根據(jù)總利潤=每件利潤X銷售量列出函數(shù)解析式；

(3)根據(jù)(2)中解析式，由函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍求出最大值.

【解答】解：(1)：xW30X(1+50%)=45,

；.xW45,

當x=45時，每天的銷售量為350-50x坦薩=250(件)，

當這種兒童玩具以每件最高價出售時，每天的銷售量為250件；

(2)根據(jù)題意得，w=(350—^^x50)(x-30)=(-10x+700)(尤-30)=-10x2+1000x-21000,

...這種兒童玩具每天獲得的利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)表達式為w=-10?+1000x-

21000；

(3)Vw=-10?+1000x-21000=-10(x-50)2+4000,

'：a=-10<0,對稱軸x=50,

,.”W45,

.?.當x=45時，w最大=-10X(45-50)2+4000=3750,

答：當銷售單價為45時，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是3750元.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

7.(2024?德城區(qū)一模)以x為自變量的兩個函數(shù)y與g,令h=y-g,我們把函數(shù)/i稱為y與g的“相關(guān)

函數(shù)”例如：以尤為自變量的函數(shù)y=/與g=2x-1它們的"相關(guān)函數(shù)"為h=y-g=7-2x+l.仁？

-2x+l=(x-1)22。恒成立，所以借助該“相關(guān)函數(shù)”可以證明：不論自變量尤取何值，恒成

立.

(1)已知函數(shù)與函數(shù)g=4x+l相交于點(7,-3)、(3,13),求函數(shù)y與g的“相關(guān)函

數(shù)”h；

(2)已知以尤為自變量的函數(shù)y=3x+f與g=x-2,當x>l時，對于x的每一個值，函數(shù)y與g的“相

關(guān)函數(shù)”/7>0恒成立，求r的取值范圍；

(3)已知以x為自變量的函數(shù)>=/+云+。與g=-2bx-c(a、6、c為常數(shù)且a>0,bWO),點0)、

8(-2,V1),C(1,”)是它們的“相關(guān)函數(shù)”h的圖象上的三個點，且滿足2c<y2<yi,求函數(shù)h

的圖象截x軸得到的線段長度的取值范圍.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】(1)2x-3；

(2)/2-4；

(3)函數(shù)w的圖象截x軸得到的線段長度的取值范圍大于0小于2且不等于1.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求得y=/+2x-2,進而得至4=y-g=(x2+2x-2)-(4x+l)=x2-2x

-3；

(2))首先推導出相關(guān)函數(shù)〃=y-g=2x+什2,進而得到當x〉l時，對于％的每一個值，函數(shù)y與g的

“相關(guān)函數(shù)”h>0恒成立，h=2x+t+2>0(x>l)恒成立，當x=l時，卬=什4,當x>l時，什420

恒成立，所以濕-4；

(3),函數(shù)y=cu?+bx+c與g=-2bx-c,推導出h=aW+3bx+2c,進一步解得yi=4〃-6A+2c,y2=

,121h

q+3Z?+2c,從而得到c=—ga—由2c<y2<yi9推導了出2c<a+3b+2c<4a-6b+2c,得到一不<-<

ib__________________

可且lH0,最后求得函數(shù)h的圖象截x軸得到的線段長度為：|%i-J(久1+%2尸—4/％2=

2

零—§￡=匡_8(一齊￥]U+a2+6afo=|a+3b|=|1+3t|)進而得到—￡vtv/且fWO.

、aa、aa33

【解答】解：⑴???已知函數(shù)尸/+如+〃與函數(shù)g=4x+l相交于點(7,-3)、(3,13),代入得：

[(—1)2—m+n=—3

I32+3m+n=13

解得｛根=2

l幾=—2

函數(shù)y=x2+2x-2,

?\h=y-g=(X2+2X-2)-(4x+l)=/-2x-3；

(2)?函數(shù)y=3x+/與g=x-2,

???相關(guān)函數(shù)h=y-g=2x+/+2,

??,當x>l時，對于x的每一個值，函數(shù)y與g的“相關(guān)函數(shù)”力>0恒成立，

：.h=2x+t+2>0(x>l)恒成立，

當x=l時，w=2X1+/+2=/+4,

當x>l時，什420恒成立，所以/2-4；

(3)*.*函數(shù)y=ax*1+bx+c與g=-2bx-c,

h=aj?+3bx+2c,

將點0),5(-2,yi),C(1,>2)代入解析式得:

13

-a+-b+2c=0,

42

yi=4〃-6b+2c,”=〃+3/?+2。，

c=—oa--rh,

*.*2c<yi<y\,

2C<4Z+3Z?+2C<4<2-6b+2c,

解不等式得：-V且2豐0)

5asa

All

令t——,則一且/WO,

設(shè)函數(shù)/l與X軸交于(XI,0),(X2,0),

.*.xiX2是方程?x2+3ta+2c=0的兩根，

3b2c

??X1+%2=一-----Xi■%2=-------

a1za

9后8c

二?函數(shù)h的圖象截X軸得到的線段長度為：|%1-％2I=J（%1+第2）2-4%1%2=

a2a

22

9b28（一患一挈）9b+a+6ah,a+3b.M,o+l

、百CL--a-=、-----“次----=I-一1=|1+34‘

11

—2<t<可且rWO,

；.0<|1+3|<2且|l+3r|Wl,即0<|xi-X2|<2且田-X2|W1,

函數(shù)w的圖象截無軸得到的線段長度的取值范圍大于0小于2且不等于1.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，

理解“相關(guān)函數(shù)”的定義.

8.（2024?市中區(qū)校級一模）如圖，已知拋物線>=0?+桁+5與無軸交于A（-1,0）,B（5,0）兩點（點

A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

(2)點。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(與點C,8不重合)，過點。作。尸，x軸于點F,交直

線8C于點E,連接直線BC能否把△B。尸分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請求出點D的

坐標；若不能，請說明理由.

(3)若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△KBC為直角三角形，請直接寫出點〃的坐標.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；函數(shù)的綜合應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得；

(2)利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y=-x+5,設(shè)。(x,-/+4x+5),則E(尤，-x+5),F

(x,0),(0<x<5),貝-7+5尤，EF=-x+5,利用三角形的面積公式進行討論：當DE：EF=2：

3時，SABDE：SABEF=2：3；當DE：EF=3：2時，S^BDE：S&BEF=3：2,從而可得到關(guān)于x的方程，

然后解方程求出尤就看得到對應(yīng)的D點坐標；

(3)先確定拋物線的對稱軸，如圖，設(shè)M(2,力，利用兩點間的距離公式得到8c2=50,-

lOr+29,MB2=r+9,利用勾股定理的逆定理分類討論：當8。2+林外=加#時，△方皿為直角三角形，

則50+r-10什29=尸+9；當BC2+MB2^MC2時，ABCM為直角三角形，則50+?+9=?-10Z+29；當

MC2+MB2=BC2時，為直角三角形，則於-10什29+及+9=50,然后分別解關(guān)于f的方程，從而

可得到滿足條件的"點坐標.

【解答】解：(1)將A(-1,0),B(5,0)代入>=0?+陵+5,

彳日-b+5=5

何：l25a+5Z)+5=0，

解得￡=；i,

3=4

則拋物線解析式為y=-7+4尤+5；

(2)能.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,

把C（0,5）,B（5,0）代入得［譽：5

15k+m=0

解得g

=5

所以直線BC的解析式為y=-尤+5,

設(shè)。（尤，-X2+4X+5）,則E（X,-X+5）,F（x,0）,（0＜尤＜5）,

DE=-X2+4X+5-（-尤+5）=-X2+5X,EF—-x+5,

當DE：EF=2：3時，S^BDE：SMEF=2：3,即（-7+5無）：（-尤+5）=2：3,

整理得3/-17x+10=0,

*2265

解得％1=5，X2=5（舍去），此時。點坐標為（-，一）；

339

當DE：EF=3：2時，S/^BDE：SABEF=3：2,即（-x2+5x）：（-x+5）=3：2,

整理得27-13x+15=0,

0335

解得Xl=5，X2=5（舍去），此時。點坐標為（-，一）；

/24

綜上所述，當點。的坐標為（馬—）或（三，—）時，直線BC把△8。廠分成面積之比為2：3的兩部

3924

分；

（3）拋物線的對稱軸為直線尤=2,如圖,

設(shè)M(2,力，

,：B(5,0),C(0,5),

.,.BC2=52+52=50,MC2=22+(/-5)2=?-10/+29,MB2=(2-5)2+?=?+9,

當BC2+MC2=A/#時，△BCM為直角三角形，ZBCM=90°,即50+於-10什29=尸+9,解得r=7,此

時M點的坐標為(2,7)；

當8。2+知22=減呼時，ABCM為直角三角形，ZCBM=90°,即50+Z+9=P-10/+29,解得r=-3,

此時M點的坐標為(2,-3)；

當MC2+M82=BC2時，△8CM為直角三角形，ZCMB=9Q°,即r2-10/+29+尸+9=50,解得fi=6,ti

=-1,此時M點的坐標為(2,6)或(2,-1),

綜上所述，滿足條件的M點的坐標為(2,7),(2,-3),(2,6),(2,-1).

【點