2025年中考數(shù)學分類復習：直角三角形及應用（解析版）

4<12解直含三龜形及盛用

■

5年考情?探規(guī)律

考點五年考情（2020-2024）命題趨勢

考點1特殊角

2023?深圳卷：30。余弦值、坡角問題

三角形函數(shù)應

2023?廣州卷：30°正切值、方位角問題

用

考點2用三角2021?深圳卷:三角形的外角、等腰三角形的性質(zhì)、

函數(shù)值表示線解直角三角形

段長2020?深圳卷：直角三角形的應用-方向角問題

2021?廣州卷：角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函在中考幾何題中，經(jīng)常會涉及到線

數(shù)的概念并利用勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求段長度的有關(guān)計算，我們的處理方

考點3三角函

2020?深圳卷：相似三角形、三角函數(shù)定義、勾股法一般是利用勾股定理、相似性質(zhì)

數(shù)在幾何計算

定理及三角函數(shù)關(guān)系解直角三角形，近

中的應用

2021?廣東卷：線段垂直平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)年中考偏向于解決實際問題：仰角

的定義、勾股定理俯角問題、方位角問題、坡度坡比

2024,廣東卷：矩形的性質(zhì)、解直角三角形的實際問題及其他類型。

應用

考點4解直角2024,廣州卷：解直角三角形的應用一仰俯角問題

三角形的實際2023?廣東卷：等腰三角的性質(zhì)、解直角三角形的

應用應用

2022?廣州卷:相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形、

近似運算

5年真題?分點精準練

考點1特殊角三角形函數(shù)應用

1.（2023?廣東深圳?中考真題）爬坡時坡角與水平面夾角為a,則每爬1m耗能（LO25-cos0J,若某人爬了

1000m,該坡角為30。，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：6^1.732,72?1,414）（）

C.1025JD.1732J

【答案】B

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值計算求解.

【詳解】1000(1.025-cosa)=l000(1.025-cos30°)=1025-50073?1025-500x1.732=159

故選：B.

【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?廣東廣州,中考真題)如圖，海中有一小島A,在B點測得小島A在北偏東30。方向上，漁船從8

點出發(fā)由西向東航行10nmile到達C點，在C點測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離

為()nmile

I.B.C.20D.1073

33

【答案】D

【解析】

【分析】連接AC,此題易得NB4c=30。，BC^10^再利用三角函數(shù)定義計算AC即可?

【詳解】解：連接AC,

由已知得：ZACB=90°,CB=10

NR4c=30°

在RtZXABC中,BC(nmile),

AC==10A/3

tan30°

故選：D

考點2用三角函數(shù)值表示線段長

3.（2021?廣東深圳?中考真題）如圖，在點尸處，看建筑物頂端。的仰角為32。，向前走了15米到達點E即

E/=15米，在點E處看點。的仰角為64。，則C。的長用三角函數(shù)表示為（）

A.15sin32°B.15tan64°C.15sin64°D.15tan32°

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題目條件，利用外角的性質(zhì)，得出回。匹是等腰三角形，在R/SDEC中，利用SDEC的正

弦即可表示出C。的長度.

【詳解】0fflF=32°,EIDEC=64°,

^\DEF=1DEC?F32?,

^\DE=EF=15,

由題可知，團OCE為直角三角形，

CD

在Rt^\DEC中，sin?DEC-----

DE

CD

即：sin64?—,

15

團CD=15咨in64?,

故選：C

【點睛】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運算，解題關(guān)鍵是利用三角形的外

角得出等腰三角形.

4.（2020?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的尸、。兩

點分別測定對岸一棵樹丁的位置，T在尸的正北方向，且丁在。的北偏西70。方向，則河寬（尸丁的長）可

以表示為（）

一一?東

200w。山200w

A.200tan70°o米U/B.----------米C.200sin70°米D.----------米

tan70°sin70°

【答案】B

【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長，以及即QT的度數(shù)，進而得至靦PTQ的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即

可求得PT的長.

【詳解】解：在Rt回PQT中，

團團QPT=90°,[?]PQT=90o-70o=20o,

回團PTQ=70°,

團tan70°

PT

PQ200

BPT=

tan70°-tan70°

200米

即河寬

tan70°

故選：B.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角與正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

考點3三角函數(shù)在幾何計算中的應用

5.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖，在RMABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,將VA3C繞點A逆時針

旋轉(zhuǎn)得到AAEC,使點C'落在AB邊上，連結(jié)班'，貝Usin/M'C'的值為（）

A.-B.-C.@D.墳

5555

【答案】C

【分析】由勾股定理求出AB=10,并利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出AC'=AC=6,B'C=BC=8,ZAC'B'=ZC=90°,

則可求得BC'=4,再根據(jù)勾股定理求出BE=4百，最后由三角形函數(shù)的定義即可求得結(jié)果.

【詳解】解：在R/AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

由勾股定理得：AB=7AC2+BC2=762+82=10-

團VABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到^AB'C,

I3AC'=AC=6,B'C=BC=8,ZAC'3'=/C=90°.

=AB-AC=10-6=4.

El在RtABB'C中，由勾股定理得BB'=JBC"+B'C'2=A/42+82=46?

回sin/即=器BC=志邛.

故選：C.

【點睛】本題考查了求角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函數(shù)的概念并利用勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是解

題的關(guān)鍵.

6.（2020?廣東深圳?中考真題）如圖，已知四邊形ABC。，AC與3。相交于點。，SABC^DAC=90°,

tanZACB=-,—=~,則°AABD

2OD3Q4CBD

B

3

【答案】

【分析】過B點作BE〃AD交AC于點E,證明△ADOSASB。，得到A。=3OE,再證明NABE=ZACB,利用

BFAF1

tanZACB=冬=tanZABE=若=：,設?！?〃,利用三角形的面積公式可得答案.

CEBE2

【詳解】解：過B點作BE//AD交AC于點E,ADAC=90°,

BE0AD,

..^ADO^^EBO,

AODO

團---=---,

EOBO

BO_4

.OD~3

AODO3

0..----——,

EOBO4

3

...AO=-OE,

4

由tanZACB=；,

.BE_1

,,一，

CE2

CE=2BE,

VZABC=90°,BE±AC,

/ABE+ZCBE=90°=ZCBE+ZACB,

:.ZABE=NACB,

Ap1

?.tanZACB=tan/ABE==—,

BE2

:.BE=2AE,

:.CE=2BE=4AE,

「_°AOAB丁0AD

一一飛一百一

□△CBD"OCB丁U?CD

^AO?AD+^AO?BE_AO[AD+BE)_AO

-OC?AD+-OC?BEOC(AD+BE)oc

22

3

設。E=。，則AO=—a,

4

7

/.AE=AO+OE=-a,CE=la,OC=OE+CE=Sa.

4

3

SGBD=加二心二3

S^CBD℃8”32

3

故答案為：—

7.(2021?廣東?中考真題)如圖，在放A4BC中，NA=90。，作BC的垂直平分線交AC于點，延長AC至

點、E,使CE=AB.

(1)若A石=1,求的周長；

(2)若=求tan/ABC的值.

【答案】(1)1;(2)&

【分析】⑴作出BC的垂直平分線，連接8。,由垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到。慶。C,

由此即可求出EL48。的周長；

(2)設AD=x,BD=3x,進而求出AC=AT>+CD=4x,在Rt團ABD中使用勾股定理求得AB=20x，由此

即可求出tan/ABC的值.

【詳解】解：(1)如圖，連接80,設2C垂直平分線交BC于點E

回。廠為8C垂直平分線，

SBD=CD,

C=AB+AD+BD

AADRLn)

=AB+AD+DC=AB+AC

團AB=CE,

團CABD=AC+CE=AE=1.

(2)設AD=x,0BD=3x,

又團BD=CD，團AC=AD+CD=4x，

在RVABD中，AB=yjBD2-AD2=7(3x)2-x2=242x.

\r

團tan/ABC=——

AB2v2x

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟練掌握垂直平分線上

的點到線段的兩個端點距離相等是解決本題的關(guān)鍵.

考點4解直角三角形的實際應用

8.(2024?廣東?中考真題)中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻.為滿足新

能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設了充電站，如圖是矩形尸QMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中

一個停車位.經(jīng)測量，ZA3Q=60。，AB=5Am,CE=l.6m,GHLCD,是另一個車位的寬，所有

車位的長寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)631.73)

⑴求PQ的長；

(2)該充電站有20個停車位，求PN的長.

【答案】⑴66m

(2)66.7m

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的實際應用：

(1)先由矩形的性質(zhì)得到NQ=NP=90。，再解RSAB。得到AQ=得1m,接著解直角三角形得到

BC二處m,進而求出=據(jù)此可得答案；

55

(2)解RUBCE得到3E=3.2m,解RMAB。得到3Q=2.7m,再根據(jù)有20個停車位計算出叫的長即可

得到答案.

【詳解】(1)解：回四邊形尸QMN是矩形，

0NQ=NP=90°,

在RMABQ中，ZABQ=60°,AB=5.4m,

^AQ=AB-sinZABQ=^^m,^QAB=30°,

團四邊形ABC。是矩形,

^AD=BC,ZBAD=ZBCD=ZABC=ZBCE=90°,

回/CB石=30。，

3—CE一工,

tanNCBE5

回?%;

回ZPAD=180°-30°-90°=60°,

^\AP=ADcosZPAD=^m,

5

SPQ=AP+AQ=^^^6.lm

在Rt^ABQ中，BQ=ABcos^ABQ=2.7m,

回該充電站有20個停車位，

SQM=QB+20BE=66.7m,

團四邊形A3C￡＞是矩形，

SPN=QM=66.1m.

9.（2024?廣東廣州?中考真題）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體“）

成功著陸在月球背面.某校綜合實踐小組制作了一個"著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模

擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到3點，再垂直下降到著陸點C,從3點測得地面。點的俯角為

36.87°,AD=17米，比＞=10米.

A

⑴求CD的長；

(2)若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到8點,求模擬裝置從A點下降到8點的時間.(參考數(shù)據(jù):

sin36.87°70.60,cos36.87°?0.80,tan36.87°?0.75)

【答案】⑴。的長約為8米；

(2)模擬裝置從A點下降到B點、的時間為4.5秒.

【分析】本題考查了解直角三角形的應用一一仰俯角問題，靈活運用銳角三角函數(shù)求邊長是解題關(guān)鍵.

(1)過點8作交AD于點E,根據(jù)余弦值求出的長即可；

(2)先由勾股定理，求出AC的長，再利用正弦值求出2C的長，進而得到AB的長，然后除以速度，即可

求出下降時間.

【詳解】(1)解：如圖，過點8作跳〃8交AD于點E,

由題意可知，ZDBE=36.87°,

.-.ZBDC=36.87°,

在△BCD中，ZC=90°,或>=10米，

CD

cosZBDC=—,

BD

CD=B￡>-cos36.87°210x0.80土8米，

即CD的長約為8米；

(2)解：QAD=17米，CD=8米,

AC=siAD2-CD2=15米，

在△BCD中，ZC=90°,瓦＞=10米,

sin/BDC=----,

BD

:.BC=BD-sin36.87°~10x0.6026米，

AB=AC-BC=15-6=9^:,

1/模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，

，模擬裝置從A點下降到B點的時間為9+2=4.5秒，

即模擬裝置從A點下降到8點的時間為4.5秒.

10.（2023?廣東?中考真題）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進

駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)，當兩臂AC=3C=10m,兩臂夾

角/ACB=100。時，求A,8兩點間的距離.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)$11150。。0.766,cos50°?0.643,

tan50°~1.192）

A

【答案】15.3m

【分析】連接48,作作由等腰三角形"三線合一"性質(zhì)可知，AB=2AD,

147）

ZACD=-ZACB=5Q°,在RtAACZ）中利用sinNACO=——求出AD,繼而求出43即可.

2AC

【詳解】解：連接A3,作CDLAB于，

團C。是邊AB邊上的中線，也是4cB的角平分線，

^AB=2AD,ZACD=-ZACB=50°,

2

AT）

在Rt^ACD中，AC=10m,ZACD=50°,smZACD=——

AC

0sin5O0=—,

10

回AD=lOsin50°a10x0.766=7.66

0AB=2ADx2x7.66=15.32?15,3（m）

答：A,8兩點間的距離為15.3m.

【點睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應用等知識，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?廣東廣州?中考真題)某數(shù)學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量旗桿的高度.如圖,

在某一時刻,旗桿的AB的影子為BC,與此同時在C處立一根標桿CD,標桿CD的影子為CE,CD=1.6m,

BC=5CD.

⑴求8c的長；

⑵從條件①、條件②這兩個條件中選擇1個作為已知，

求旗桿的高度.

條件①：CE=1.0/77；條件②：從。處看旗桿頂部A的仰角a為54.46。.

注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.參考數(shù)據(jù)：sin54.46°=0.81,cos54.46°=0.58,

tan54.46°=1.40.

【答案】(l)3C=8.0m；

⑵①AB=12.8m；②旗桿43高度約12.8m.

【分析】(1)根據(jù)BC=5CD,求解即可；

(2)①CE=1.0m時，連接￡>￡,則有HDECBaACB,根據(jù)相似的性質(zhì)求解即可；②當。=54.46。時，作點。

到A5的垂線段。死在尸中，——=tana,求出AF=O廣式曲。\8.0><1.40=11.20%，進一步可求出

DF

AB=AF+FB=11.20m+1.6m~12.8m.

【詳解】(1)解：BC=5CD=5xl.6m=8.0m.

(2)解：①CE=1.0m時，連接。E,則有EIDECEHACB,

DCAB

團-------，

CEBC

—DGBC1.6x8.0

回A3=----------=-----------=12.8m,

CE1.0

②當a=54.46。時，作點。到AB的垂線段。尸,

FD=BC=8.0rr\f

AF

Rt^ADF中，-----=tan6/,

DF

[?]AF=OF-tan8.0x1.40=11.20m.

[?lAB=AF+FB-11.20m+1.6m-12.8m.

團旗桿AB高度約12.8m.

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，近似運算.解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì),

解直角三角形.

1年模擬?精選?？碱}

12.（2024?廣東佛山?三模）如圖，網(wǎng)格中的點&、夙C、。都在小正方形頂點上，連接AB、CD交于點P,

則一的正切值是（）

【答案】A

【分析】本題考查了正切函數(shù)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等，連接BE、AE,ZBDC=ZDBE

=/BED=ZAED=45。,由平行線的性質(zhì)得NBPC=WE,由勾股定理求出AE、8E的長，由正切函數(shù)求

出tanNABE的值；掌握正切函數(shù)的定義，作出輔助線使得=構(gòu)建直角三角形求解是解題的關(guān)

鍵.

由正方形的性質(zhì)得:

ZBDC=NDBE=/BED=ZAED=45°,

：.BE//CD,ZAEB=90°,

:.ZBPC=ZABE,

AE=yJ^+22=2A/2，

BE=>/l2+l2=V2，

：MABE嚏嚀=2,

tanZ.BPC=2；

故選：A.

13.（2024?廣東深圳?三模）無人機在實際生活中的應用越來越廣泛.如圖所示，某人利用無人機測量某大樓

的高度BC,無人機在空中點P處，測得地面點A處的俯角為60。，且點尸到點A的距離為80米，同時測得

樓頂點C處的俯角為30。.己知點A與大樓的距曷為70米（點A,B,C,P在同一平面內(nèi)），則大樓的

高度BC為（）

A.51米B.29百米C.30石米D.（406-10）米

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，過尸作尸尸，AB,延長BC交DP的延長線于E,由三角函數(shù)得

PFPAsinZPAF,AFPA-cosZPAF,CE=PE-tan/CPE,即可求解；掌握解直角三角形的解法是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過尸作尸尸J_AB,延長BC交。P的延長線于E,

尸

。

一

一

一

7￡

口

口

口

口

口:.ZAPD=60°,

口

口

口

4口

BI

F

ZCPE=30°,

PA=80,

四邊形PR即是矩形,

:.BE=PF,

PE=BF,

DE//AB,

:.APAF=Gd°,

ZPEC=90°,

PFPA-sinZPAF

=80x3

2

=406，

AF=PA-cosZPAF

=80x-

2

=40,

,\PE=BF

=AB-AF

=70—40

=30,

:.CE=PE?tan/CPE

an上

=30x——

3

=10石，

:.BC=BE-CE

=40^-10A/3

=30-\/3（米）,

故選：C.

14.（2024?廣東佛山,三模）下表是小亮填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容：設樹頂?shù)降孛娴母叨?。C=x米,

根據(jù)以上條件，可以列出求樹高的方程為（）

題目測量樹頂?shù)降孛娴木嚯x

DD

測量目標示意圖

.______._

ABCABc

相關(guān)數(shù)據(jù)AB=30米，Na=28°,N￡=45°

A.x=(x-30)tan28°B.x=(30+x)tan280

C.%+30=xtan28°D.x-30=xtan28°

【答案】B

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，先表示出8。=1C下D=x,AC=」C一D二^x,再根據(jù)AB=30

tan尸tan尸tanatana

即可列等式，問題隨之得解.

CD

【詳解】在RtZ\3CD中，tanp=tanZCBD=——,

在RtAACZ)中，tanor=tanACAD=----,

CDx

即AC=

tanatana

團AB=30米，Za=28°,N￡=45°,

QAB=AC-BC=-.....—=-----------=30,

tanatan13tan28°tan45°

即：x-tan28°x=30tan28°,

貝U有：x=（30+x）tan28°,

故選：B.

15.（2024?廣東河源?二模）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的"趙爽弦圖"如圖所示，它是由

四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形面積為136,小正方形面積為

16,則tan。的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查正方形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理.根據(jù)題意先求得大正方形邊長的平方為136,再

求得小正方形邊長為4,再利用三角函數(shù)正切值等于該角的對邊與鄰邊的比值即可得到本題答案.

【詳解】解：回大正方形面積為136,小正方形面積為16,

回大正方形邊長的平方為136,小正方形邊長為4,

回設一個直角三角形短直角邊為X,則長直角邊為x+4,

團在一個直角三角形中應用勾股定理：尤2+（*+4）2="6,

解得%=6或x=—10（舍去）

團長直角長為10,短直角邊長為6,

…八105

0tan0=——=—,

63

故選：A.

16.（2024?廣東深圳?三模）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是16米的旗桿ED,從辦公樓頂端A測

得旗桿頂端后的俯角。是45。，旗桿底端。到大樓前梯坎底邊的距離。。是20米，梯坎坡長5c是12米，梯

坎坡度i=l：g,則大樓A3的高度約為（）（精確到01米，參考數(shù)據(jù)：應“41，V3-1.73,46~2.45）

\E

A.39.4B.40.4C.39.7D.37.9

【答案】B

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題，仰角俯角問題，過點E作初于則

ZAME=90°,ZAEM=Nct=45。,MN=ED=16米,AM=EM=DN,由梯坎坡度7=1：6可得/83=30。，

解直角三角形可得BN=BCsin30。=6米，CV=3CCOS30OQ：10.4米，進而得MB=10米，DN=3Q4米，即

得40=30.4米，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點E作曰于則ZAME=90。，ZAEM=Za=45°,MN=ED=16米,

SAM=EM=DN,

在Rt^BOV中，回梯坎坡度，=1：出，

StanZBCN=4==—>

石3

0ZfiGV=3O°,

E!8N=BCsin30°=12x：=6米，CN=BCcos30°=12x且=6A/5210.4米，

22

團加8=16-6=10米，DN=10.4+20=30.4米，

回AM=30.4米，

團AB=30.4+10=40.4米，

故選：B.

17.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖是跳臺滑雪比賽的某段賽道的示意圖，某運動員從離水平地面100m高

的A點出發(fā)（A8=100m）,沿俯角為30。的方向先滑行一定距離到達。點，然后再沿俯角為60。的方向滑行

到地面的C處.若AD=140m,則該運動員滑行的水平距離BC為（）米？

70^/3

【答案】B

【分析】過點。作DESAB于點E,小,臺。于點P,證明四邊形DE3F是矩形，再計算

DE=BF=ADcos30°=70^（m）,AE=ADsin30°=70（m）,結(jié)合tan6（T="二結(jié)合

CF

5C=5F+CF=80^（m）,解答即可.

本題考查了俯角的計算，構(gòu)造輔助線，選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】過點。作于點E,DF,3c于點P,

SBC1AB,

回四邊形DE砥是矩形,

團DE=BF,DF=BE,

團AD=140m,ZADE=30°f

@DE=BF=ADcos30°=7073（m）,AE=ADsin30°=70（m）,

團AB=100m,

^DF=BE=AB-AE=30（m）f

BF

團NDCF=60°,tan60°=——

CF

BF

tan60°

05C=BF+CF=8OA/3（m）,

故選B.

18.（2024?廣東廣州?三模）如圖，C,。分別表示的是一個湖泊的南、北兩端A和8正東方向的兩個村莊,

村莊。位于村莊C的北偏東30。方向上.若C￡>=8km,則該湖泊南北兩端的距離AB為1______km（結(jié)果保

留根號）.

【答案】4>/3

【分析】此題考查了解直角三角形的應用一一方向角問題，矩形的判定與性質(zhì)，過C作即于E,根據(jù)

題意及三角函數(shù)可求得CE的長，從而得到48的長，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再運用三

角函數(shù)定義求解.

【詳解】如圖，過C作CE_L8D于E,

團四邊形ABEC是矩形，

BCE=AB,

在RtACEZ）中，NECD=30°,8=8km,

貝CE=Cr>xcos300=8XB=473,

2

EIA8=46km,

故答案為：4A/3.

3

19.（2024?廣東廣州?三模）如圖，VABC中，AB=AC=5,cos/ABC=1，點尸為邊AC上一點，則線段

長的范圍是.

A

【分析】本題主要考查解直角三角形、勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，過點A作AD上3c交于點。，

則有ZABC=ZACB,BD=DC,求得03=3和3C=6,過點8作BE，AC交AC于點E,利用余弦求得CE,

利用勾股定理求得班，結(jié)合線段長最短為點B到AC的距離BE,最長為BC即可得到答案.

【詳解】解：過點A作AD2BC交BC于點。，如圖，

3

0AB=AC-5,cosZABC=-,

BD3

SiZABC=ZACB,BD=DC,cosZABC=—=-,

AB5

0DB=3,BC=6,

過點8作BE，AC交AC于點E,

貝I]COSNACB=COS/ABC=3=7,解得CE=電，

5CB5

i-------------24

在RM5EC中，BE=^BC2-EC2=—

團線段成長最短為點5到AC的距離3石，最長為5C,

24

24

故答案為：—BP<6.

20.（2024?廣東東莞?模擬預測）某?！〝?shù)學〃小組的同學想要測量校園內(nèi)文化長廊（如圖1）的最高點到地面

的高度.如圖2是其測量示意圖，點A,B,C,D,E在同一豎直平面內(nèi)，斯垂直平分垂足為REF

垂直平分CD,與CD交于點G.經(jīng)測量，可知AB=3.0m,CD=5.0m,ZABD^135°,ZBDE=92°,則文

化長廊的最高點到地面的高度EF約為m.（結(jié)果保留一位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin47°。0.73,cos47°?0.68,

tan47°?1.07,72?1.41）

【答案】3.7

【分析】本題考查了解直角三角形的應用、矩形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，過點3作府，8

于點H,證明四邊形GFB"為矩形，得出G"=Bb=L5m,NFBH=90。,求出ND3H=45。，得到

BH=DH=GF=lm,求出NEDG=47。，再解直角三角形得出EG的長，再由EF=EG+GF計算即可得出

答案.

【詳解】解：過點B作于點H,如解圖所示.

回EF垂直平分A5,垂足為尸，跖垂直平分C。，與CD交于點G.BHLCD,

⑦NBFG=NFGH=NBHG=90。，DG=-CD=2.5m,BF=-AB=1.5m

22

團四邊形GF3H為矩形，

回GH=5產(chǎn)=1.5m,ZFBH=90°.

BDH=DG-GH=lm.

團ZABD=135。

國NDBH=45。.

團△漫＞是等腰直角三角形

^BH=DH=GF=lm.

⑦NBDE=92。，

^ZEDG=47°.

在RtAEGD中，tanZEDG=——

DG

0EG-DG-tan47°?2.5x1.07?2.68（m）.

SEF=EG+GF-2.68+1~3.7（m）.

即文化長廊的最高點離地面的高度斯約為3.7m.

故答案為3.7.

21.（2024?廣東?三模）人民公園是當?shù)厝嗣裣矚g的休閑景區(qū)之一,里面的秋千深受孩子們的喜愛.如圖所示，

秋千靜止時，秋千鏈子02與支柱重合，秋千鏈子O3=6m,將座板推至點C處，此時秋千鏈子與支柱

夾角為45。，松開后座板擺動至點。處，此時秋千鏈子與支柱夾角為30。，則座板從點C處擺動至點。處的

水平距離為—m.（結(jié)果保留根號）

【答案】（3+3立）

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.分別過點C,

。作。4的垂線，垂足分別為E,F,利用三角函數(shù)分別求得小、CE的長度，即可求得答案.

【詳解】解：如圖，分別過點C,。作的垂線，垂足分別為E,F,

由題意，得ZAOC=45。，ZAOD=30°,OB=OC=OD=6,

0C￡=§ina5°%>C=^OC=『,DF=^-OD=3,

22

團座板從C處擺動至。處的水平距離為。尸+CE=（3+30）m.

故答案為：（3+30b

22.（2024?廣東河源,二模）如圖，皿均為等邊三角形，點O、A、3、C在同一條直線上,

【答案】6

[分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，過點2作B于8,先求出AB=2,3C=3,

再由等邊三角形的性質(zhì)得到CF=3C=3,ZC=60°,解直角三角形得到8〃=華叵，貝I]

2

SABCF=*F-BH=當,證明腐〃CF,則S梯形BCFE==；CJBH=苧，可得

S&BEF=S梯形BCFE-S^BCF；同理可得入物='g-gX2X若=^，則以般一$"￡)￡=6,

【詳解】解：如圖所示，過點2作于H,

回。4=1,05=3,OC=6,

團AB=2,BC=3,

團V5c廠是等邊三角形，

回CF=BC=3,ZC=60°,

SBH=BCsinC=—,

2

racD?_l23若_9右

△BCF2224

團AABE是等邊三角形，

團NABE=60°=NC,BE=AB=2,

^\BE//CF,

向cBE+CFRW_2+3373_15A/3

U3梯形BCFE--BH-—―-4

15A/39A/33A/3

UdABEF_3梯形BCfE-dABCF--~

同理可得S4ADE=x百一；*2乂百=與，

回S/\BEF-^AADE=，

故答案為：

F

E

弋

OABC

23.（2024?廣東廣州?二模）某校數(shù)學實踐小組利用所學數(shù)學知識測量某塔的高度.下面是兩個方案及測量數(shù)

據(jù)：

方案一：借助太陽光線，測量：標桿長CD=1.6m,影長￡E>=L2m,塔影長。B=39m.

方案二：測量：距離CD=35m,仰角a=37。，仰角4=26.5。.

方案一方案二

請你選擇一個方案，求出塔的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,

sin26.5°?0.45,cos26.5°?0.89,tan26.5°?0.50）

【答案】塔AB的高度為52米

【分析】本題主要考查了相似三角形的應用和解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形函數(shù)定

義和相似三角形的判定方法.

按照方案一，證明AABDSACDE,得嚼%代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可;

AnAri

按照方案二，根據(jù)三角函數(shù)定義得出=加mCD=BD-BC=35,得出

ABAB

=35,求出A8即可.

tan26.5°tan37°

【詳解】（方案一）解：如圖,

由題意可知。石〃AD,ZCDE=ZABE=90°,

.../CED=ZADB,

.'.AABD^ACDE,

ABCD

而一而

391.2

解得AB=52,

答：塔43的高度為52米;

（方案二）解：如圖,

AB

,在RtZVIBC中,tana=----

BC

cAB

???在RtaABD中,tanB=----

BD

BD=—

tan26.5°

?.?CD=BD—BC=35,

ABABcu

-----------------------=35,

tan26.5°tan37°

4

即2A5-§A5=35.

二.AB=52.5米

答：塔ZB的高度為52.5米.

24.（2024?廣東河源?一模）無人機在實際生活中的應用越來越廣泛.如圖所示，某人利用無人機測量大樓的

高度2C,無人機在空中點P處，測得點P距地面上A點100米，同時測得點P距樓頂C點30米，點A處的

俯角為60。，樓頂C點處的俯角為30。.求大樓的高度3c（結(jié)果保留根號）.

【答案】（5?！?15）米

【分析】本題主要考查矩形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，過點尸作尸XLAB于點過點C作

于點。，證明四邊形CQHB是矩形，得到。H=8C,利用銳角三角函數(shù)得到尸”，PQ的數(shù)值，即可求得答

案.

【詳解】如圖所示：

過點尸作尸a，A5于點H,過點C作CQ1PH于點Q.

0ZCQH=ZQHB=NHBC=90°,

回四邊形CQ//B是矩形.

^QH=BC.

團”=100米，PC=30米，ZPCQ=30°,ZPAH=6D°,

0PH=APsinZPAH=100x^=50V3^,PQ=PCsinZPCQ=30x1=15.

22

團BC==PH-PQ=（50必-15）米.

25.（2024?廣東東莞?三模）【綜合與實踐】

要測量學校旗桿C。的高度，三個數(shù)學研究小組設計了不同的方案，測量方案與數(shù)據(jù)如表:

課

測量學校旗桿的高度

題

測

測量角度的儀器，皮尺，小鏡子，直角三角形紙板等

量

工

具

測

量

第一小組第二小組第三小組

小

組

測

c

量

方上

4M

案L￡

A0Z)

示EJ

zL)

AD

圖

先測量觀測臺的高，再

在觀測點E處測得旗桿頂利用直角三角形紙板的直角邊AE保

利用鏡子反射測量旗桿的高度，

說端C點的仰角/CEF,旗持水平，并且邊AE與點M在同一直線

點。為鏡子，眼睛B看到鏡子中

明桿底端。點的俯角上，直角三角板的斜邊AF與旗桿頂端

的旗桿頂端C.

NO跖.(其中EF1CD于C在同一直線上.

F)

測

量EA=2.2m,ZCEF=60°,

AO=1.5m,AT)=16.5m.AE=0.4m,EF=0.2m,AB=1.8m.

數(shù)ZDEF=30°.

據(jù)

⑴根據(jù)測量數(shù)據(jù)，無法計算學校旗桿的高度的小組有第小組和第小組;

(2)請選擇其中一個可計算的方案及運用其數(shù)據(jù)求學校旗桿的高度.

【答案】(1)一；三

(2)選擇方案二，旗桿的高度為8.8m

【分析】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，相似三角形的應用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握仰

角俯角定義.

(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識，可作出判斷；

（2）對方案二，先求出跖，進而求出FC,即可求出DC.

【詳解】（1）解：第一，第三小組的數(shù)據(jù)無法算出大樓高度，

4RAn

理由：第一小組是利用AABOSSCO進行計算的，即利用而=需求CD,但只測量了AO=1.5m,

AD=16.5m,沒有測量A3長度，所以第一小組的數(shù)據(jù)無法算出大樓高度，