2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖象中的分類討論提升訓(xùn)練 （含解析）

動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖象中的分類討論

1、如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,cosA=1，點(diǎn)P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以B4為半徑作。尸.

4

(1)若。.尸與AC邊的另一個(gè)交點(diǎn)為。，設(shè)AP=尤，APC。的面積為》求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

直接寫出函數(shù)的定義域；

(2)若。尸被直線8C和直線AC截得的弦長相等，求4尸的長；

(3)若。C的半徑等于1,且。P與。C的公共弦長為應(yīng)，求AP的長.

2、如圖1,在四邊形OA8C中，AB//OC,軸于點(diǎn)C,A(l,-1),8(3,—1),動(dòng)點(diǎn)尸從。出發(fā)，沿著x

軸正方向以每秒2個(gè)單位長度的速度移動(dòng).過點(diǎn)尸作P。垂直于直線。4,垂足為Q.設(shè)點(diǎn)尸移動(dòng)的時(shí)間為

f秒(0?2),AOP。與四邊形042c重疊部分的面積為S.

(1)求經(jīng)過。、A、8三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(2)用含f的代數(shù)式表示點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)；

(3)如果將AOP。繞著點(diǎn)尸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，是否存在3使得AOP。的頂點(diǎn)?；?。在拋物線

上？若存在，請(qǐng)求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(4)求出S與/的函數(shù)關(guān)系式.

3

3、如圖1,△A8C是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、。分別是一次函數(shù)y=—+3的圖像與y軸、x

軸的交點(diǎn)，點(diǎn)2在二次函數(shù)y=g/+笈+c的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點(diǎn)。使四邊形ABC。能

構(gòu)成平行四邊形.

(1)試求6、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式;

（2）動(dòng)點(diǎn)P從A到。，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問：

①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，由PQLAC?

②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PDCQ的面積最小？此時(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？

4、如圖1,拋物線？=2_/一3工一9與無軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)BC、AC.

22

（1）求A2和0C的長；

（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作BC的平行線交AC于

點(diǎn)。.設(shè)AE的長為機(jī)，AADE的面積為s,求s關(guān)于相的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量機(jī)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE,求ACDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與8C相切的

圓的面積（結(jié)果保留兀）.

5、如圖1,圖2,在AABC中，AB=13,8C=14,cosZABC=--

13

探究如圖1,AHL8C于點(diǎn)“，則A”=,AC=,A4BC的面積SAABC=.

拓展如圖2,點(diǎn)。在AC上（可與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C作直線8。的垂線，垂足為E、F.設(shè)

BD=x,AE=m,CF=n.（當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為SAABD=O）

（1）用含X,機(jī)或〃的代數(shù)式表示SxABD及SACBD；

（2）求（“z+”）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（"z+a）的最大值和最小值；

（3）對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)。，指出這樣的x的取值范圍.

發(fā)現(xiàn)請(qǐng)你確定一條直線，使得A、3、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這

個(gè)最小值.

AA

BH

6、如圖1,在RtA4BC中，ZC=90°,AC=8,8C=6,點(diǎn)尸在AB上，AP=2.點(diǎn)、E、E同時(shí)從點(diǎn)尸出發(fā)，

分別沿B4、以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A、8勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿A8向點(diǎn)

8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)E、尸運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作正方形EFGH,

使它與AABC在線段的同側(cè).設(shè)E、下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒Q>0),正方形E尸G8與AABC重疊部分的面積

為S.

(1)當(dāng)f=l時(shí)，正方形EFGH的邊長是；當(dāng)f=3時(shí)，正方形EFGH的邊長是；

(2)當(dāng)1<二2時(shí)，求S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

AEP

1.思路點(diǎn)撥

1.APCO的底邊C￡>上的高，就是弦A￡>對(duì)應(yīng)的弦心距.

2.若。尸被直線和直線AC截得的弦長相等，那么對(duì)應(yīng)的弦心距相等.

3.OC的半徑等于1,公共弦MN=0,那么ACMN是等腰直角三角形.在四邊形CMPN中，利用

勾股定理列關(guān)于x(。2的半徑)的方程.

滿分解答

(1)如圖2,在RtAABC中，AC=4,cosA=-,所以A8=16,BC=4715.

設(shè)弦AD對(duì)應(yīng)的弦心距為PE,那么AE=-AP=_x,PE=

所以y=SAPco=LcD.PE=L(4—'x)x^

2224

定義域是0<x<8.

(2)若。尸被直線BC和直線AC截得的弦長相等，那么對(duì)應(yīng)的弦心距尸b=PE.

因此四邊形AEP尸是正方形(如圖3),設(shè)正方形的邊長為江

由SAABC=SAACP+SABCP，得ACBC=m(AC+BC).所以m=4、彳妙=30-2后

4+4岳7

此時(shí)A￡="30.2詬=口叵二2,……8A-8

AP=4AE=-.....

777

(3)如圖4,設(shè)。C與。尸的公共弦為MMMN與CP交于點(diǎn)、G.

由于CM=CN=1,MN=也,所以ACMN是等腰直角三角形，CG=NG=—.

2

如圖5,作于〃，由AC=4,那么AH=1,CH2=15.

所以CP=dcH2”H2=J15+(x—1)2.因止匕/G=J15+(X-1)2—與(如圖4).

由勾股定理，得Y=“15+(x—?一與Y+(與丫.

如圖4,在RtAPNG中,

整理，得2f—64x+257=0.解得玉=%二手見，々=衛(wèi)苧邁(舍去).

2.思路點(diǎn)撥

1.AOP。在旋轉(zhuǎn)前后保持等腰直角三角形的形狀.

2.試探取不同位置的點(diǎn)尸，觀察重疊部分的形狀，要分三種情況討論.

滿分解答

(1)由A(l,—1)、8(3,—1),可知拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=1,點(diǎn)。關(guān)于直線r1的對(duì)稱點(diǎn)為(4,0).

于是可設(shè)拋物線的解析式為y=ox(x—4),代入點(diǎn)A(l,-1),得-3a=-1.

解得a=；.所以y=gx(x_4)=；(x—2)2.頂點(diǎn)Af的坐標(biāo)為(2,—：).

(2)AOPQ是等腰直角三角形，P(2t,0),

(3)旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)。，的坐標(biāo)為(2f,—2f),點(diǎn)。，的坐標(biāo)為(3f,—t).

將。'⑵,一2f)代入y=g尤(無-4),得-2f=gx2f⑵-4).解得r.

將0(3乙一。代入了=3尤(無-4),得T=；x3?3t-4).解得f=L

因此，當(dāng)f=g時(shí)，點(diǎn)。落在拋物線上(如圖2)；當(dāng)f=l時(shí)，點(diǎn)落在拋物線上(如圖3).

(4)①如圖4,當(dāng)0</1時(shí)，重疊部分是等腰直角三角形。尸。.此時(shí)S=P.

②如圖5,當(dāng)1〈云1.5時(shí)，重疊部分是等腰梯形OP朋.此時(shí)Ab=2f—2.

此時(shí)S=：(2t+2/-2)xl=2-l.

③如圖6,當(dāng)時(shí)，重疊部分是五邊形OCEFA.

此時(shí)CE=CP=2t—3.所以BE=BF=l-(2/-3)=4-2f.

所以S=；(3+2)xl-g(4-2。2=-2?+&-?.

圖6

3.思路點(diǎn)撥

1.求拋物線的解析式需要代入8、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)8的坐標(biāo)由點(diǎn)C的坐標(biāo)得到，點(diǎn)。的坐標(biāo)由AO

=BC可以得到.

2.設(shè)點(diǎn)產(chǎn)、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3用含有f的式子把線段AP、CQ、A。的長表示出來.

3.四邊形PDC。的面積最小，就是AAP。的面積最大.

滿分解答

(1)由y=—工》+3,得A(0,3),C(4,0).

-4

由于2、C關(guān)于OA對(duì)稱，所以3(—4,0),BC=8.

因?yàn)锳D//BC,AD=BC,所以。(8,3).

將3(—4,0)、。.(8,3)分另1]代入)=—X2+以+°,得4

-8[8+8b+c=3.

解得6=-工，c=—3.所以該二次函數(shù)的解析式為>=工/—Lx—3.

4-84

(2)①設(shè)點(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

4

如圖2,在AAP。中，AP=t,AQ=AC~CQ=5~t,cosZPAQ=cosZACO=-.

當(dāng)PQLAC時(shí)，蛋=3.所以解得AP=，=空.

AP5t59

圖2圖3

②如圖3,過點(diǎn)。作QHLAO,垂足為H.

111333

由于SA”°=——AP-AQsin/PAQ=—f(5—t)x—=——t2+-t，

2225102

SAACD=—AD-OA=—x8x3=12>

22

所以S四邊形P?C2=SAAC?—SAAP2=12—(——Z2+—Z)=—(Z——)2+—?

1021028

所以當(dāng)AP=|■時(shí)，四邊形POC。的最小值是￡.

4.思路點(diǎn)撥

1.A4￡)E與AACB相似，面積比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方.

2.ACDE與AAOE是同高三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比.

滿分解答

1Q1

(1)由丫=±/—士》一9=上(》+3)(》一6)，得4一3,0)、8(6,0)、C(0,—9).

,222

所以AB=9,OC=9.

(2)如圖2,因?yàn)镈EHCB，所以△AOES/XACB.

所以黑些=(絲)2.

SAACBAB

1QI

而SAACB=5A3OC=5,AE=m,

所以S=S2DE=(若fX5MCB=(￡)2X?=；加2?

AnyZZ

m的取值范圍是0〈根<9.

(3)如圖2,因?yàn)镺E7/C8,所以02=殷='二生.

ADAEm

因?yàn)锳CDE與AADE是同高三角形，所以&些=烏="”.

SgDEA°JTl

grpic9—m121291,9281

nTTASArnP=----------x—m=——m+—m=——(m——)-1----------

△CDEm222228

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，△CDE的面積最大，最大值為以.

28

此時(shí)E是AB的中點(diǎn)，BE=上

2

如圖3,作EHLCB,垂足為

在R3B0C中，0B=6,。。=9,所以sinB=-J==^l

V1313

在RtAB即中，EH=BE-sinB=?=?屈.

21326

當(dāng)。E與3c相切時(shí)，r=EH.所以s=yr/=%萬.

52

6.答案探究AH=12,AC=15>SAABC~84.

拓展(1)S^ABD=_mx，S^CBD=—nx-

22

(2)由SAABC=SAAB￡>+SACBO,W—mx+—=84?所以m+〃=

22x

由于AC邊上的高3G=史，所以x的取值范圍是變裝14.

55

所以(/〃+〃)的最大值為15,最小值為12.

(3)尤的取值范圍是尤=色或13c爛14.

5

發(fā)現(xiàn)A、B、C三點(diǎn)到直線AC的距離之和最小，最小值為變.

5

6.思路點(diǎn)撥

1.全程運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8秒，最好的建議就是在每秒鐘選擇一個(gè)位置畫8個(gè)圖形，這叫做磨刀不誤砍柴工.

2.這道題目的運(yùn)算太繁瑣了，如果你的思路是對(duì)的，就堅(jiān)定地、仔細(xì)地運(yùn)算，否則放棄也是一種好的

選擇.

滿分解答

(1)當(dāng)￡=1時(shí)，EF=2；當(dāng)/=3時(shí)，EF=4.

(2