2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型

近年來(lái)各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的

一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（加

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

目錄導(dǎo)航一

例題講模型

模型L豬蹄模型（M型與鋸齒型）............................................................2

模型2.鉛筆頭模型............................................................................8

模型3.牛角模型.............................................................................13

模型4.羊角模型.............................................................................19

模型5.蛇形模型（“5”字模型）..............................................................25

習(xí)題練模型'

.......................................................................................................................................................30

例題講模型］

模型1.豬蹄模型（V型與鋸齒型）

模型解讀

先說(shuō)說(shuō)這個(gè)名字的由來(lái)，為什么叫豬蹄模型呢？因?yàn)樗L(zhǎng)得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根

據(jù)外形來(lái)取的，只要你喜歡，叫什么都無(wú)所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。。

①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應(yīng)進(jìn)行拆分。

模型證明

條件：如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：ZAPB=ZA+ZB-,②條件：ZAPB=ZA+ZB,結(jié)論：AM//BN.

證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作

,JPQ//AM,AM//BN,J.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

條件：如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

證明：根據(jù)圖1中結(jié)論可得，ZA+ZB+ZP2=ZPi+ZPj,

條件:如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：ZP1+ZP3+...+ZP2n+l=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

證明：由圖2的規(guī)律得，ZA+ZB+ZP2+...+P2n=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2ll+l

模型運(yùn)用

例1.（2024?山西.二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束A3與DC平行射入接收天線,

經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)。處，若NABO=38°,ZDCO=45°,則的度數(shù)為（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

【答案】B

【分析】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，作OE〃四，則NBOE=NABO=38°,結(jié)合得出

AB//CD,推出NCOE=NDCO=45。，最后由=,即可得解.

【詳解】解：如圖，作則NBOE=NASO=38。，

VAB//CD,OE\\CD,ZCOE=ZDCO=45°,

?-,ZBOC=ZBOE+ZCOE=38°+45°=83°,故選：B.

例2.（2024九年級(jí)下?遼寧?學(xué)業(yè)考試）如圖，AB〃CD,45=所,44=25。,/石尸。=130。，則/C的度

【答案】80°/80度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)，作G尸〃CD可得鉆〃G尸〃CD；根據(jù)

ZAFC=ZAFG+ZCFG=NA+NC即可求解.

【詳解】解：作G/〃CD,如圖所示：AB〃G/〃CD

C

AE=EF,：.ZEFA=ZA=25°ZAFC=ZEFC-ZEFA=130°-25°=10：5°

ZAFC=ZAFG+ZCFG=ZA+ZC：.NC=ZAFC-ZA=80。故答案為：80°

例3.（2023春?河南駐馬店?九年級(jí)專題練習(xí)）已知鉆〃CD,ZEAF=--/EAB,/ECF=-ZECD,若

33

NE=66°,則//為（）

AB

A'

CD

A.23°B.33°C.■44°D.46°

【答案】c

【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差可得?EAB?ECD1AEC66°,同樣的方法

22

可得=再根據(jù)角的倍分可得ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECDf由此即可得出答案.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作則石

AB

CD

：.?AEGWAB,CEG=?ECD,\?EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66°,

同理可得：ZF=ZFAB+ZFCD,ZEAF=|ZEAB,ZECF=ZECD,

22

.??/FAB=-/EAB,ZFCD=-/ECD,

33

2222繇

\?F?FAB?FCD-1EAB-1ECD—QEAB?ECD）—?66第女44,故選：C.

3333

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例4.（2023?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛(ài)凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們

青少年，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)

滑雪場(chǎng)的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺(jué)，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB//CD,當(dāng)人腳與地面的夾角

NCDE=60。時(shí)，求出此時(shí)上身A3與水平線的夾角NR4F的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)AB交直線即于點(diǎn)利用平行線的性質(zhì)得出=/4=60。，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等即可得出結(jié)果.

【詳解】解：延長(zhǎng)交直線ED于點(diǎn)H,-AH//CD,ZCDE=ZDHA=6O°,

???根據(jù)題意得二//弘5=//?￡4=60。，故選：A.

【點(diǎn)睛】題目考查平行線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例5.（23-24七年級(jí)下?廣東云浮.期末）小明學(xué)習(xí)了角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)后,

對(duì)角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.如圖，直線AB〃CD,直線AC是直線AB,CO的第三條截線，AK,CK

分別是/BAC,/OC4的平分線，并且相交于點(diǎn)K.

問(wèn)題解決:

圖3

（1）NBAC,NDC4的平分線AK,CK所夾的NK的度數(shù)為:

問(wèn)題探究：（2）如圖2,ZBAK,NOCK的平分線相交于點(diǎn)K-請(qǐng)寫出/A&C與NAKC之間的等量關(guān)系，

并說(shuō)明理由；

拓展延伸：（3）在圖3中作/BAK】,ZDCK,的平分線相交于點(diǎn)K,作ZBAK2,ZDCK2的平分線相交于點(diǎn)

K},依此類推，作/&4（儂，/OCK2023的平分線相交于點(diǎn)長(zhǎng)23，求出的度數(shù).

2024

【答案】(1)90°;(2)ZAKlC=^ZAKC,理由見(jiàn)解析；(3)Z^2024=(1)x90°

【分析】本題考查利用平行線的性質(zhì)和平行公理的推論探究角的關(guān)系(拐點(diǎn)問(wèn)題)，角平分線的相關(guān)計(jì)算等知

識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)證明過(guò)點(diǎn)K作〃/W,則KM〃A5〃CD,利用平行線的性

質(zhì)推出NWC+ZACD=18O。，繼而推出NBAK+NOCK=g/R4C+；ZACZ)=g(NR4C+ZACD)=90。，從

而得到NA7Q=ZAKM+NCKM=N54K+"CK=90。；(2)與(1)同理可得：

ZAK.C=ABAK,+ADCKX=(ABAC+ZDCA)=45°,繼而得解；(3)由(2)得N&=；NK,同理得

/&=：/&=沁,/(=；/(=(~)3ZK,繼而總結(jié)規(guī)律得ZK"=(；)"NK,從而得解.

【詳解】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)K作皿0〃M，則KM〃■“C￡),

ZAKM=NBAK,ZCKM=ZCDK,ABAC+ZAC￡>=180°

VAK,CK分別是一朋C,NDC4的平分線，并且相交于點(diǎn)K,二/助長(zhǎng)=」/84。,/￡>?=」/48,

22

NBAK+ZDCK=1ABAC+|zACD=1(ABAC+ZACD)=90°,

ZAKC=ZAKM+ZCKM=ZBAK+ZDCK=90°,故答案為：90°.

(2)ZAK1c=；NAKC.理由：如圖，過(guò)點(diǎn)叫作KJ〃AB.

-.?AB\\CD,KJ〃AB,K.J//CD,ZAKtJ=ZBAKt,ZJKXC=ZDCKt.

QZBAK,/OCK的平分線相交于點(diǎn)K，=；ZBAK,NDCK—NDCK,

:.ZAK,=NBA、+NDCK]=1(ZBAK+ZDCK)=(ZBAC+ZDCA)=lxl80°=45°.

由(1),知ZA7?C=90。，:.ZAK.C=-ZAKC.

2

(3)由(2),可知N&=；NK.同理，可得=：NK,

N&="=5/K,……ZKn=(f”NK.

當(dāng)〃=2024時(shí)，N024=(1)2024NK=(1)2024x90°.

例6.(2024?上海?八年級(jí)?？计谥?已知，直線A8〃C￡>。(1)如圖(1),點(diǎn)G為A8、CD間的一點(diǎn),

聯(lián)結(jié)AG、CG.若/A=140。，ZC=150°,則/AGC的度數(shù)是多少？

（2）如圖（2）,點(diǎn)G為48、。間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,則NAGC的度數(shù)是多少？

（3）如圖（3）,寫出/BAE、ZAEF,NEFG、/FGC、/GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)G作利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.（2）過(guò)點(diǎn)G作GP012,利用

平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.（3）過(guò)點(diǎn)E作過(guò)點(diǎn)尸作過(guò)點(diǎn)G作GQ〃C。，利用

平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系.

【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GE/幺2,

VZA=140°,AZAGE=40°.,：AB/7GE,AB//CD,：.GE//CD.

.../C+NCGE=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

VZC=150°,AZCGE=30°./AGC=/AGE+NCGE=400+30°=70°.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)G作

?.,A2〃GK(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

'：AB/7GF,AB〃CD,:.GF〃CD.：.ZC=ZCGF.

：.ZAGC=ZAGF+ZCGF=ZA+ZC.'：ZA=x°,ZC=y°,：.ZAGC=(x+y)0.

（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作過(guò)點(diǎn)尸作過(guò)點(diǎn)G作GQ〃C￡>,

"：AB//CD,:.AB〃EM〃FN〃GQ〃CD.

：.ZBAE=ZAEM,ZMEF=ZEFN,ZNFG=ZFGQ,ZQGC=ZGCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

ZAEF=ZBAE+ZEFN,ZFGC=ZNFG+GCD.

'：ZEFN+ZNFG=ZEFG,：.ZBAE+ZEFG+ZGCD=ZAEF+ZFGC.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）

因?yàn)樗L(zhǎng)得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據(jù)外形來(lái)取的，叫什么都無(wú)所謂，掌握其中的核心才

是關(guān)鍵。

①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應(yīng)進(jìn)行拆分.

D口L

\N--------"FTPn》0----------

NNBN

圖1圖2圖3

條件：如圖1,已知：AM//BN,結(jié)論：Z/+Z2+Z3=360°；（該結(jié)論和條件互換結(jié)果任然成立）。

證明：在圖2中，過(guò)尸作AM■的平行線尸凡CD,：.PF//CD,

.*.Z1+ZAPF=18O°,Z3+ZCPF=180°,Zl+Z2+Z3=360°；

條件：如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

證明：在圖2中，過(guò)Pi作AM的平行線PiE,過(guò)點(diǎn)P2作AM的平行線P2R

O

'：AB//CD,：.PiE//BN//PiF,AZl+ZAPiE=180°,ZP2PIE+ZP1P2F=1S0,ZFP2B+Z4=180°,

Nl+/2+N3+N4=540°；

條件：如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：Z1+Z2+...+ZM=（H-1）180°.

證明：在圖3中，過(guò)各角的頂點(diǎn)依次作A8的平行線，

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：Nl+N2+N3+...+N"=（??-1）180°.

模型運(yùn)用

例1.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過(guò)凸透鏡的折射后，折射光線BE

和折射光線DF交主光軸于點(diǎn)P,若ZABE=155°,ZCDF=160°,則NFPE=°.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.此題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟

練掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：-.-ABWMNWCD,.-.ZABE+ZBPM^O0,CDF+ZDPM=180°,

又=ZCDF=160°,

ZBPM=1800-ZABE=180°-155°=25°,ZDPM=1800-NCDF=18O0-16O°=20°,

ZBPD=ABPM+ZDPM=25°+20°=45°,ZEPF=ZBPD=45°.故答案為：45.

例2.（2024?陜西咸陽(yáng)模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線乙〃/2〃/3，/1=25°,乙西7=73。，則/2的度數(shù)為（）

A.142°B.140°C.138°D.132°

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)4〃/2〃/3，Nl=25°,/ABC=73。，得出N4=40C—25。=48。，結(jié)

合/2+/4=180。，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：如圖：［4〃/2〃4，N1=25O,ZABC=73。

Z1=Z3=25°,N2+N4=180°則N4=ZABC—25°=73°—25°=48°

?.?N2+N4=180°；.N2=132°故選：D

例3.（2023下?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線A3〃C￡>,點(diǎn)E,尸分別是直線4瓦。上的兩點(diǎn),

點(diǎn)尸在直線AB和C。之間，連接EP,FP,NP￡B和/RED的平分線交于點(diǎn)。，下列等式正確的是（）

/4EB

CFD

A.NP+2/Q=360°B.2ZP+ZQ=360°C.NQ=2NPD.NP+/Q=180°

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)P作尸“〃AB,過(guò)點(diǎn)Q作紗〃48,可得尸M〃AB〃CD〃QN,從而得到

NEPM=ZAEP,ZFPM=NCFP,Zl=ZEQN,Z2=ZFQN,NPEB+NEPM=180°,ZPFD+ZFPM=180°,

進(jìn)而得到NEQ尸=N1+N2,再由角平分線的定義可得/阻+/4。=2（/1+/2）=2/￡2f，即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸過(guò)點(diǎn)。作QN〃AB,

?/AB//CD,：.PM//AB//CD//QN,

：.ZEPM=NAEP,ZFPM=ZCFP,Zl=ZEQN,Z2=ZFQN,

ZPEB+NEPM=180°,ZPFD+/FPM=180°,；.ZEQF=Z1+Z2,

ZPEB和/巴刀的平分線交于點(diǎn)。，,NPEB=2N1,NPFD=2N2,

/.NPEB+NPFD=2（41+N2）=2（NEQN+NFQN）=2NEQF,

?/ZPEB+ZEPM=180°,ZPFD+NFPM=180°,

/.NEPF+2ZEQF=ZAEP+NCFP+ZPEB+ZPFD=360°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例4.（2023上?廣東廣州?八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖①所示，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片.如圖②所

示,將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀,剪出三個(gè)角（NBAE、/AEC、ZECD）,則/BAE+ZAEC+/ECD=（度）；

（1）如圖③所示，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（/BAE、NAEF、/EF、/FCD）,則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如圖④所示，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（NBAE、NAEF、/EFG、NFGC、NGCD）,

貝!+（度）；

（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪〃刀，剪出〃+1個(gè)角，那么這〃+1個(gè)角的和是（度）.

N、

M

圖①

【答案】360540720180〃

【分析】過(guò)點(diǎn)E作皿〃AB,再根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180。的2倍;

（1）分別過(guò)E、尸分別作鉆的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180。的

三倍；（2）分別過(guò)E、F、G分別作A2的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和

等于180。的四倍；（3）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪"刀，剪出"+1個(gè)角，那么這"+1個(gè)角的和是180幾度.

【詳解】過(guò)E作硝〃AB（如圖②）.

?.?原四邊形是長(zhǎng)方形，AB〃CD,

又,：EH〃AB,：,CD〃EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）.

'：EH//AB,^1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

?：CD//EH,^2+^￡>CE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

ZBAE+Nl+N2+NECD=360°,

又---N1+N2=/AEC,/BAE+ZAEC+/ECD=360°；

圖③

（1）分別過(guò)E、歹分別作A3的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得“4￡+/71￡尸+/￡77。+/7<1）=540。；

（2）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得/BAE+NAEF+NEFG+NFGC+NGCD=720°；

（3）由此可得一般規(guī)律：剪"刀，剪出"+1個(gè)角，那么這"+1個(gè)角的和是180〃度.

故答案為：360；540；720；180〃.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，

總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn).

例5.（2023下?江蘇南京?七年級(jí)統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

探索問(wèn)題的解.

B

E

D

（圖1）（圖2）（圖3）

（1）如圖1,AB//CD,點(diǎn)、E為AB、8之間的一點(diǎn).求證:Nl+NMEV+N2=360°.

（2汝口圖2,AB//CD,點(diǎn)、E、F、G、H為AB、8之間的四點(diǎn).貝|Nl+N2+N3+N4+N5+N6=

⑶如圖3,AB//CD,/1+N2+N3+…+4=

【答案】⑴證明見(jiàn)詳解；（2）900。；（3）180°（n|l）；

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作可得OE〃鉆〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得4+/MEO=180。，

/OEN+/2=180。，再計(jì)算角度和即可證明；（2）分別過(guò)點(diǎn)E、F、G、〃作的平行線，在兩相鄰平行

線間利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得兩角度和后，再將所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知

在A3、8之間每有一條線段便可求得一個(gè)180。角度和，結(jié)合圖3找出w和線段條數(shù)的關(guān)系便可解答；

【詳解】（1）證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)E作OE〃四,

O^

5O1-7

O2--

^

O3--4-

VAB//CD,OE^AB,：.OE\\CD,

根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得：Z1+ZMEO=180°,ZO￡2V+Z2=180°,

Z1+ZMEO+ZOEN+N2=360°,/.Z1+/MEN+N2=360°；

（2）解：如下圖，分別過(guò)點(diǎn)￡、F、G、H作O2F//AB,O3G//AB,O.H//AB,

結(jié)合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：NAME+NMEQ=180。,

NOiEP+NEFa=180°,ZO2FG+ZFGO3=180°,ZO3GH+ZGHO4=180°,

NOJIN+NHNC=180°,將所有角度相加可得：Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900°；

（3）解：由（2）解答可知在A3、8之間每有一條線段便可求得一個(gè)180。角度和，

由圖3可知：當(dāng)AB、8之間有2條線段時(shí)，?=3,當(dāng)45、8之間有3條線段時(shí)，〃=4,

當(dāng)A3、8之間有4條線段時(shí)，〃=5,當(dāng)AB、8之間有5條線段時(shí)，n=6,...?

當(dāng)A3、8之間有（"一1）條線段時(shí)，n=n,/.Zl+Z2+Z3+...+Zn=180°（n-l）；

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質(zhì)，歸納總結(jié)的解題思路，通過(guò)作輔助線將角度按組

計(jì)算是解題關(guān)鍵.

模型3.牛角模型

模型解讀

因?yàn)樗L(zhǎng)得像犀牛角，故取名牛角模型。

模型證明

E

條件：如圖1,已知：AB//CD,且NE=a,/ABE=0,NCDE=y,結(jié)論：/3=a+y.

證明：如圖，延長(zhǎng)AB交。E于點(diǎn)F,\'AB//CD,：.ZBFE=ZCDF=y,

尸E+/E（外角定理），:./ABE=NCDF+NE,：.J3=a+/；

條件：如圖2,已知：AB//CD,且NE=a,/ABE=/3,/CDE=y,結(jié)論：/?=?+180°-/.

證明：如圖，延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F

'：AB//CD,:.NBFD=/CDF=y,：.ZBFE=180°-ZBFZ）=180°-7,

（外角定理），；./ABE=/E+1800-NBFD,：.j8=a+180°-/；

模型運(yùn)用

例1.（2024?山西.模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如圖1是某同

學(xué)“抖空竹,,的一個(gè)瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)，已知AB〃CD,ZEBA=80°,ZE=25°,

則/即。的度數(shù)為（）

A.125°B.115°C.105°D.95°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，延長(zhǎng)cr）交的于凡根據(jù)兩直線平行，同位

角相等得到NEFC=ZEBA=80°,再由三角形外角的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)CO交BE于尸，

VAB//CD,ZEBA=80°,

：.ZEFC=ZEBA^80°,

,/NEDC=ZE+ZEFC,NE=25°,

/EDC=105°,

例2.（2023?安徽滁州?校聯(lián)考二模）如圖，若AB〃CD,則（）

A.Z1=Z2+Z3B.Zl+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

【答案】A

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)后作防〃/W,則AB〃CD〃￡F,由平行線的性質(zhì)得到

Z3+ZCEF=180°,Zl+ZA￡F=180°,進(jìn)一步推出/I=/2+N3.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作砂〃AB,

?；AB//CD,：.AB//CD//EF,：.Z3+ZCEF=180°,Zl+ZAEF=180°,

ZAEF=18O°-Z1,Z3=180°-ZCEF=180°-Z2-ZAEF,

：.Z3=180°-Z2-180°+Zl,AZ1=Z2+Z3,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022.湖北洪山?七年級(jí)期中）如圖，已知AB〃C。，P為直線AB,C￡＞外一點(diǎn)，B尸平分NABP,DE

平分/CDP,8尸的反向延長(zhǎng)線交。E于點(diǎn)E,若試用。表示/尸為.

E

D

【答案】ZP=360°-2a

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出N1=N2,N3=/4,平行線的性質(zhì)得出N1=N5,/6=NPDC=2/3,

進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出/5、/FED,再得到々和。的關(guān)系，然后即可用。表示

【詳解】解：延長(zhǎng)交尸。于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)H,

尸平分/A8P,DE平分/CDP,：.Z1=Z2,Z3=Z4,

,JAB//CD,.*.Z1=Z5,Z6=ZPDC=2Z3,

VZPBG=180°-2Z1,AZPBG=180°-2Z5,.\Z5=90°-ZPBG,

?:NFED=180。-NHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD+ZHED+Z3=180°,

A180°-Z5+1800-N尸E￡)+N3=180°,A180°-Z5+Z3,

：.ZFED=180°-(90°-ZPBG)+1Z6=90°+1(ZPBG+Z6)=90°+1(180°-ZP)=180°-1

/P,；/FED=a,二。=180°-；/尸；./尸=360°-2a.故答案為：NP=360°-2a.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認(rèn)真找出角的關(guān)

系是關(guān)鍵.

例4.(2023春?廣東深圳?九年級(jí)校?？计谥?已知直線AB〃CD,點(diǎn)P為直線A3,。所確定的平面內(nèi)

的一點(diǎn)，(1)問(wèn)題提出：如圖1,ZA=120°,ZC=130°.求/APC的度數(shù)：

(2)問(wèn)題遷移：如圖2,寫出NAPC,-A,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(3)問(wèn)題應(yīng)用：如圖3,ZEAH,ZHAB=1:3,NECH=20°,ZDCH=60°,求且的值.

E

H

3

【答案】(1)110°(2)ZAPC=ZA-ZC,理由見(jiàn)解析(3)：

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)尸作尸?！ˋB,易得相〃PQ〃C。，由平行線的性質(zhì)可得/APQ=60。，ACPQ=50°,

即可求出/APC；(2)過(guò)點(diǎn)P作PQ〃AB,易得AB〃尸Q〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAPC=NA-NC；

(3)過(guò)點(diǎn)石作￡似〃過(guò)點(diǎn)H作例〃AB,易得EM||CD,HN//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZCEA=ZBAE-Z.DCE,ZCHA=ZBAH-Z.DCH,再由已知等量代換，即可求得久的值.

ZE

【詳解】(1)解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)尸作尸?！ˋB,ZA+ZAPQ=180。，

.?ZA=120°,ZAP2=180o-ZA=180°-120o=60°,/AB//CD,■-PQ//CD,ZC+ZCPQ=180°.

;-ZC=130°,ZCPQ=180°-ZC=180°-130°-50°,/.ZAPC=ZAPQ+ZCPQ=60°+50°=110°；

(2)解：ZAPC=ZA-ZC,理由如下:

如圖2,過(guò)點(diǎn)P作尸?！ˋ3,ZAPg=180°-ZA,AB//CD,PQ//CD,NCPQ=180?！?。,

ZAPC=ZCPQ-ZAPQ,ZAPC=180°-ZC-(180°-ZA)=ZA-ZC；

(3)解：如圖3,過(guò)點(diǎn)E作HW〃的，過(guò)點(diǎn)H作附〃AB,

■.AB//CD,:.EM\\CD,HN//CD,

ACEA=ZCEM-ZAEM=180?！狽DCE-(180°-NBAE)=ZBAE-ZDCE,

ZCHA=ZCHN-ZAHN=180°-ZDCH-(180°-ZBAH)=ZBAH-ZDCH,

ZEAH:ZHAB=1:3,ZECH=20°,ZDCH=60°,

ZCEA=ZBAE-NDCE=4ZEAH一80°,ZCHA=ZBAH-ZDCH=3ZEAH-60°,

/CHA_3NEAH-6。。_3（3E48-20。）_3

"ZCEA_4ZEAH-80°~4（ZEAH-20°）-4'

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

例5.（2023下?遼寧大連?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ZABE+ZBED=ZCDE.

（D如圖1,求證AB〃CD；（2汝口圖2,點(diǎn)尸在A3上，NCDP=NEDP,BF平分/ABE,交尸D于點(diǎn)歹，探

先ZBFP,/血>的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，如圖3,交磯>延長(zhǎng)線于點(diǎn)

Q,ZDPQ=2ZAPQ,NPQD=80。,求NCDE的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）NB￡D=2N3EP,見(jiàn)解析（3）120°

【分析】（1）證明：延長(zhǎng)CL）交BE于點(diǎn)H,則NCDE=ZDHE+ZBED,結(jié)合己知即可得出ZDHE=Z4BE,

據(jù)此即可得出結(jié)論；⑵設(shè)NEBF=a,4CDP=0,由角平分線的定義得ZEBF=ZABF=a,ZPBE=2a,

由（1）可知AB〃CD,貝!!NDP8=NCr>P=尸，ZAPD=180°-,然后由41PD=Z/4B尸+ZBFP得

ZBFP=180°-（a+J3）,再四邊形的內(nèi)角和等于360。得ZBfD+NEDP+ZDPB+NPaE'nSeO。，即

NBEO=360。-2（c+0,據(jù)此可得出NfiFP,N3E。的數(shù)量關(guān)系；

（3）設(shè)/4尸。=<9,貝l|NQPQ=2e,ZAPD=30,由A3〃CO得/。8=180。一3。，而

ZEDP=ZPQD+ZDPQ=80°+23,然后根據(jù)NCDP=NEDP得180。-3。=80。+2。，據(jù)此可求出。=20°,貝!]

ZCDP=ZEDP=120°,最后根據(jù)周角的定義可求出NCDE的度數(shù).

【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)、H,：.NCDE=ZDHE+ZBED,

■-ZABE+ZBED=ZCDE,:.ZDHE=ZABE,AB//CD.

(2)解：ZBFP,NBED的數(shù)量關(guān)系是：ZBED=2ZBFP,理由如下：

設(shè)/EBF=a,ZCDP=刀，BF平分/ABE,NCDP=NEDP,

:.ZEBF=ZABF=a,NCDP=NEDP=)3,Z.PBE=2ZEBF=2a,

由(1)可知：AB//CD,：.ZDPB=ZCDP=fi,ZAPD=180°-ZDPB=180°-,

ZAPD=ZABF+ZBFP,：A80°-j3=a+ZBFP,ZBFP=180°-(a+J3),

由四邊形的內(nèi)角和等于360°得：ZBED+ZEDP+ZDPB+ZPBE=360°,

即：N8EO+尸+月+2。=360。，；.NBED=360。-2(。+/)，.-.ZBED=2ZBFP.

(3)解：設(shè)ZAPQ=6,..ZDPQ=2ZAPQ=20,

ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=36,由(1)可知：AB//CD,

.-.ZCDP+ZAPD=180°,ZCDP=180°-ZAPD=180°-30,

ZPQD=80°,ZEDP=ZPQD+ZDPQ=800+20,

■.ZCDP=ZEDP,.?.180°-36>=80°+26>,解得：0=20°,

ZCDP=1800-30=120°,ZEDP=800+20=120°,根據(jù)周角的定義得：NCDE+NCDP+ZEDP=360。,

ZCDE=360°-(ZCDP+ZEDP)=360°-(120°+120°)=120°.

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行

線的判定及性質(zhì)：兩直線平行O同位角相等，兩直線平行=內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行O同旁內(nèi)角互補(bǔ).

模型4.羊角模型

模型解讀

因長(zhǎng)像酷似山羊角，故取名羊角模型。

模型證明

BB

E

圖1圖2

條件：如圖1,已知：AB//DE,且/C=a,ZB=p,/D=y,結(jié)論：y=a+/3.

證明：'：AB//DE,：.ZAFC=ZD=y,

?.,/AFC=/8+/C（外角定理），ZD=ZB+ZC,：.y=a+j3；

條件：如圖2,已知：AB//DE,且NC=a,/B=0,/￡）=/,結(jié)論:180°-/=a+/?.

證明：'：AB//CD,：.ZBFD+ZD^180°ZBF￡>=180°-ZZ）=180°-7,

,.?/8Fr>=NB+NC（外角定理），：A80°-ZD^ZB+ZC,/.180°-/=a+/?；

模型運(yùn)用

例1.（2024?重慶江津?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知NCDE=110。，MAC//DE,AC=BC,那么的度數(shù)

為.

【答案】35°/35度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NACD=70。，再根據(jù)等邊對(duì)等角以及外角定理即可求解.

［詳解］解：AC//DE,：.ZCDE+ZACD=180°,

VZCDE=110°,：,ZACD=10°,VAC=BC,：.ZA=AB,

VZACD=ZA+ZB,：.ZB=-x70°=35°,故答案為：35°.

2

例2.（2024.山東濟(jì)南.中考真題）如圖，已知/|〃4,VABC是等腰直角三角形，ABAC=90°,頂點(diǎn)AB分

別在/|，4上，當(dāng)/1=70。時(shí)，Z2=

【答案】65。/65度

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到/3=/1,等邊對(duì)等角，得

到/ASC=45。，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出N2的度數(shù)即可.

【詳解】解：是等腰直角三角形，ABAC=90°,：,ZABC=ZACB=45°,

/.Z3=Z1=7O°,Z2=180°-Z3-ZABC=65°；故答案為：65°.

例3.（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，已知/ABC=150。，ZCDE=15°,則的度數(shù)為（）

DE

AB\

A

A.55°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF〃A3,則AB〃1）E〃CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到/3Cb=NABC=150。，

ZDCF=180°-ZCDE=105°,即可求得=/BCF-NDCT=45。.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作C尸〃AB,ZDCF+ZCDE=180°

DE

VAB//DE,CF//AB,：.AB//DE//CF.

：.ZBCF=ZABC=150°,.

???ZCDE=75°,：.ZDCF=180°-75o=105°.

ZBCD=ZBCF-ZDCF=150°-105°=45°.故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例4.（23-24七年級(jí)下?湖北武漢?期末）如圖，AB//CD,的角平分線3尸交的角平分線的反

向延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，直線尸3交CO于點(diǎn)N,若NHCD-24NC=24。，則NP+NH=°

D

【答案】36

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的

性質(zhì)定理，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)和NHCD-2NBNC=24?？傻肗DCQ-NBNC=12。,再根據(jù)三角形的外角定理分別求出

ZP,NH,進(jìn)而可求解

【詳解】解：如圖所示：PQ交HM于點(diǎn)E,

D

由題意可知：8P平分CQ平分NHCD,

NABP=ZMBP=|NABM,ZHCQ=ZDCQ=|NHCD,

ZHCD-2ZBNC=24°,/.2ZDCQ-2NBNC=24°,即ZDCQ-NBNC=12°,

■.■ZDCQ=ZBNC+ZP,.?.ZP=12°,■：AB\\CDZBNC=ZABP=ZMBP

尸是ABPE的一個(gè)外角，NBEP=NMBP-NP=NBNC—12。

ZHEC=ZBEP=ZBNC-12°NHCQ是^HCE的一個(gè)外角，

ZH=ZHCQ-ZHEC=ZDCQ-(ZBNC-12°)=ZDCQ-ZBNC+12°=12°+12°=24°

二/尸+/"=12。+24。=36。,故答案為：36

例5.(2023七年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí))已知

⑵若尸為直線MN、AB之間的一點(diǎn)，ZE=^-ZEFB,18G平分交MN于點(diǎn)G,EF交MN于點(diǎn)、C.

4

①如圖2,若NN=57。，且BG〃EN,求ZE的度數(shù)；②如圖3,若點(diǎn)K在射線3G上，且滿足

ZKNM=-ZENM,若ZNKB=NEFB,ZE=Z,FBD,直接寫出一E的度數(shù).

4

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵①4=41。；②22.5?；?8°

【分析】（1）過(guò)E作EH〃MN,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行解答即可；（2）①過(guò)尸作EP〃6V,

交MN于H點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)尸作。尸〃AB,則BG〃EN〃FP,"N〃。尸〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZCHF=Z.CGB=ZABG=57°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合NE=JZEFB,從而得出

ZMHF+ZHFB+ZABF=360°,進(jìn)而得出答案；②過(guò)點(diǎn)尸作尸尸〃AD,設(shè)/E=a=/FBD,貝i」NPFB=（z,

NEFP=3a,所以/硒M=2cr,ZKNM=~,然后分當(dāng)K在BG上；當(dāng)K在BG延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行解

答即可.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)E作EH〃MN,：.ZN=NHEN,

EE

XVMN//AB,：.EH//AB//MN,：.ZB^ZHEB,BPZB=ZHEN+ZNEB=ZN+ZBEN；

(2)①如圖，過(guò)尸作FP〃9V,交MN于H點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)尸作。尸〃AB,則BG〃硒〃FP,MN//QF//AB,

Z2V=57。，Z.CHF=Z.CGB=ZABG=ZBGC=4N=57°,ZMHF=180