2025年新高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線與圓二十一大重點(diǎn)題型（解析版）

專題2-3直線與圓二十一大重點(diǎn)題型匯總

。常考題型目錄

題型1傾斜角與斜率..............................................................1

題型2直線與線段相交問(wèn)題........................................................5

題型3直線方程..................................................................9

題型4直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題...........................................................13

題型5直線的位置關(guān)系...........................................................18

題型6距離問(wèn)題.................................................................22

題型7與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題.....................................................25

題型8與直線有關(guān)的最值問(wèn)題.....................................................31

題型9圓的方程.................................................................38

題型10點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.......................................................44

題型11直線與圓的位置關(guān)系......................................................49

題型12位置關(guān)系與參數(shù)問(wèn)題......................................................53

題型13弦長(zhǎng)問(wèn)題................................................................57

題型14圓的切線與切線長(zhǎng)問(wèn)題....................................................63

題型15圓與圓的位置關(guān)系........................................................69

題型17圓的公共弦問(wèn)題..........................................................73

題型18圓的公切線問(wèn)題..........................................................77

題型19與圓有關(guān)的最值問(wèn)題......................................................81

題型20圓的軌跡問(wèn)題............................................................88

題型21反射光線問(wèn)題............................................................96

但題型分類

題型1傾斜角與斜率

【例題1](2022秋?山東聊城?高二山東聊城一中?？计谥?直線3x-巡y-2=0的傾斜

角a=()

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】確定直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得答案.

【詳解】由題意可得直線3x-Wy-2=。的斜率為四,

直線傾斜角為a,00<a<180°,則tana=V3,

故a=60°,

故選：B

【變式1-11（2022秋?浙江紹興?高二?？计谥校┤簟R,則直線y=xcos0-1的傾斜角a

的取值范圍為（）

A.[py]B.[05）嗚號(hào)

C.[0,JUD.[0,JU（=,^]

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦函數(shù)的值域求出直線斜率的范圍，再利用斜率的定義求解

作答.

【詳解】直線y=xcosd-1的斜率々=cos0G[-1,1],顯然此直線傾斜角aW1,

因此0<tana<1或一1<tana<0,解得0<a<或把<a<TT,

44

所以直線y=xcos0-1的傾斜角a的取值范圍為[0;U序砌

故選：C

【變式1-2】（2022秋福建福州?高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知傾斜角為6的直

線/與直線x+V3y-3=。的夾角為60。，則8的值為（）

A.30。或150。B.60?；?。C.90?；?0。D.60?；?80。

【答案】C

【分析】設(shè)直線的傾斜角為0,根據(jù)tans=-凈導(dǎo)到0=150°,根據(jù)夾角得到答案.

【詳解】x+V3y-3=0,即y=-yx+V3,

設(shè)直線的傾斜角為9,（Pe[o,n）,貝！ItanR=,（P=150。,

夾角為60。,故，=90?；?=30°.

故選：C.

【變式1-3X2022秋?安徽黃山?高二屯溪一中統(tǒng)考期末股直線，的斜率為k<fc<l,

則直線珀勺傾斜角的取值范圍為（）

unB

A-[°a）[y<）?[。,加（濘）

）D.[O,H）U[?

【答案】D

【分析】由斜率的定義及正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求得.

【詳解】設(shè)直線珀勺傾斜角為8,則eG[0,TT）

當(dāng)斜率-孚wk<1時(shí)，由斜率的定義及正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：

直線/的傾斜角的取值范圍為M）u臀,TT）.

故選：D

【變式1-4]（2022秋?安徽亳州?高二校聯(lián)考期末）過(guò)兩點(diǎn)力（韜-3即）、8（2成-1）的直線

的傾斜角為45。，則m的值為.

【答案】4

【分析】根據(jù)斜率公式得到題-=-^―=tan45。=1,解得答案.

TTL—ZTTI—3

m

【詳解】kAB=m2^_3=tan450=1,

解得m=4或m=-1（舍去）,

故m=4.

故答案為：4

【變式1-5]（2022秋?安徽亳州?高二安徽省亳州市第一中學(xué)?？计谀曋本€3x-V3y=0

繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到新直線的斜率是（）

A-TB.聾C.8D.-V3

【答案】B

【分析】由題意知直線的斜率為次,設(shè)其傾斜角為a,將直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得

到新直線的斜率為tan（a+90。），化簡(jiǎn)求值即可得到答案.

【詳解】由3x-V3y-0知斜率為g,設(shè)其傾斜角為a,則tana=W,

將直線3“一島=0繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

則tan(a+90°)sin(a+90°)_cosa1V3

cos(a+90°)-sinatana3

故新直線的斜率是-冬

故選：B.

【變式1-6]（2023春?河南南陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）直線a,b,c的斜率分別為2,1,-2,傾

斜角分別為a,￡,y,則（）

A.a>￡>yB.y>a>0C.y>0>aD.a>y〉0

【答案】B

【分析】由于k=tanx,xe[0,n）,由正切函數(shù)的圖像性質(zhì)可得傾斜角a,￡,逸大小關(guān)系.

【詳解】由于k=tanx,%e[0,n）,x中：,

由正切函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，當(dāng)xe（0,以時(shí)，k為增函數(shù)，且k>0,

由2>1,可知]>a>0>0；

當(dāng)x6aTT）時(shí)，k為增函數(shù)，且k<0,

-2<0,所以y>/

所以y>a>S,選項(xiàng)B正確.

故選：B

【變式1-7】（2023春?寧夏固原?高二?？计谥校┮阎本€y=3x+1的傾斜角為a,則

sin（a+1）=__.

【答案】噂

【分析】根據(jù)直線的斜率求出傾斜角的正切值，結(jié)合三角函數(shù)平方關(guān)系可得cosa,再利用誘

導(dǎo)公式可得答案.

【詳解】直線y=3x+1的斜率為3,所以tana=3>0,所以0<a<；,

.(-/io

(ozy_Sina_&cosa=------

由tanna—而-3解得io,

VIsi-nz2a+?cos2a=41si.na=3-V-1-。

l10

貝Hsin(a+1)=cosa=呼.

故答案為：曹.

【變式1-8](2023春?江西宜春?高二江西省豐城拖船中學(xué)?？计谀?已知4(4,8),B(2,4),

C(3,y)三點(diǎn)共線，貝物=.

【答案】6

【分析】利用%B=%?？傻贸鲫P(guān)于V的等式，由此可求得實(shí)數(shù)y的值.

【詳解】由于4(4,8)、8(2,4)、C(3,y)三點(diǎn)共線,則心=施c，

即分=衿，解得y=6.

故答案為：6.

題型2直線與線段相交問(wèn)題

【例題2](2023秋?新疆昌吉?高二奇臺(tái)縣第一中學(xué)校考期末)設(shè)點(diǎn)4(2,-3,-2),

若直線I過(guò)點(diǎn)P(l,l)且與線段AB相交，則直線I的斜率k的取值范圍是()

A.fc>|或k<-4B.fc>|或k<

C.-4<k<-D.--<fc<4

44

【答案】A

【分析】根據(jù)斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖所示：

依題意，kPA=41=-4,kPB=1=|,

要想直線I過(guò)點(diǎn)P(l,l)且與線段AB相交,

則k>:或k<-4,

故選：A

【變式2-1](2023秋?江西撫州?高二統(tǒng)考期末)已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)

71(-1,1),B(1,1),C(2,V3+1)，。為△ABC的邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率k的變化范圍是

()

A.[o,y]B.(-oo,0]U惇+8)

C.[y,Vs]D.(-oo,0]U[V3,4-00)

【答案】D

【分析】作出圖象，求出AB,BC的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】如圖所示,

k

AB=-=0,kBC==V3,

因?yàn)椤椤鰽BC的邊ac上一動(dòng)點(diǎn)，

所以直線8。斜率k的變化范圍是(-8,0]U[遮,+8).

故選：D.

【變式2-2](2023秋?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)已知2(2,-3)、3(2,1),若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(0,-l),且與線段AB有交點(diǎn)，則/的斜率的取值范圍為()

A.(—8,—2]U[2,+8)B.[—2,2]

C.(-00,-1]u[1,+oo)D.[—1,1]

【答案】D

【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合可得出直線珀勺斜率的取值范圍.

【詳解】過(guò)點(diǎn)P作PC1AB,垂足為點(diǎn)C,如圖所示：

設(shè)直線/交線段4B于點(diǎn)M,設(shè)直線/的斜率為k,且％==—1,gm=三=1,

u—zz—U

當(dāng)點(diǎn)M在從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c(不包括點(diǎn)c)時(shí)，直線/的傾斜角逐漸增大，

此時(shí)一1=kPA<k<0■,

當(dāng)點(diǎn)M在從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，直線/的傾斜角逐漸增大，此時(shí)0<k<kPB^l.

綜上所述，直線/的斜率的取值范圍是[-1,4

故選：D.

【變式2-3](2023秋?安徽六安?高二六安一中?？计谀?已知直線--y-k-1=。和以

M(-3,1),N(3,2)為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A.-i<fc<-B.-2</c<-

223

C.k<-3或k>jD.fc<-2或k>|

【答案】C

1

【分析】根據(jù)直線方程依-y-k-l=。得到恒過(guò)定點(diǎn)4(1,-1)，利用坐標(biāo)得到弓斗

2

直線kx—y—k—1=。怛過(guò)定點(diǎn)4(1,—1),且=—|=|，由圖可知,kW—1或k2|-

故選：C.

【變式2-4](2023秋?湖北武漢?高二統(tǒng)考期末)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,-1)作直線I,且直線I與連接

點(diǎn)4(1,-2),B(2,l)的線段總有公共點(diǎn),則直線I的傾斜角a的取值范圍是

【答案】[0,=]U的)

【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合能求出使直線[與線段4B有公共點(diǎn)的直線珀勺斜率的范圍

與傾斜角的范圍.

【詳解】解：如圖，

???4(1,一2),,P(0,-l),

1

2Jo°=T'kpB=竟='

則使直線/與線段48有公共點(diǎn)的直線/的斜率k的范圍為ke[-1,1],

又直線傾斜角的范圍是：[0,n),且k=tana

???直線I的傾斜角的范圍為ae[0用U的).

故答案為:[o,2u耳,n).

題型3直線方程

【例題3](2023春?湖北恩施?高二校考期末)過(guò)點(diǎn)4(2,3)且平行于直線2x+y-5=。的直

線方程為()

A.x—2y+4=0B.2x+y-7=0C.x—2y+3=0D.%—2y+5=0

【答案】B

【分析】由平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再根據(jù)過(guò)點(diǎn)4(2,3),可得到答案.

【詳解】???所求直線與直線2*+y-5=0平行，

二可設(shè)所求直線方程為2x+y+c=0(c*-5),

又過(guò)點(diǎn)2(2,3),貝[|4+3+c=0,解得c=-7,

???所求直線方程為2x+y-7=0.

故選：B.

【變式3-1](2021秋?安徽合肥?高二安徽省肥東縣第二中學(xué)校考期末)直線1過(guò)點(diǎn)(-1,2)目

與直線2%-3y+4=。垂直，則/的方程是()

A.2%—3y+5=0B.3%+2y+7=0

C.3%+2y—1=0D.2%—3y+8=0

【答案】C

【分析】求出直線/的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出直線珀勺方程，化為一般式可得出答案.

【詳解】直線2X-3y+4=。的斜率為|,則直線/的斜率為-|,

因此，直線珀勺方程為y-2=—|(x+1),即3x+2y-1=0.

故選：C.

【變式3-2](2022春湖南衡陽(yáng)?高二衡陽(yáng)市一中?？计谀?下列說(shuō)法中，正確的是()

A.過(guò)點(diǎn)P(l,l)且在軸截距相等的直線方程為久+y-2=。

B.直線y=3x-1在y軸上的截距為-1

C.直線x++1=。的傾斜角為60°

D.過(guò)點(diǎn)(1,4)并且傾斜角為90。的直線方程為y-4=0

【答案】B

【分析】根據(jù)直線截距的概念、傾斜角與斜率之間的關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,過(guò)點(diǎn)且在軸截距相等的直線方程為x+y-2=0或x-y=0,

故A不正確；

對(duì)于B,y=3x-1,令x=0,可得y=-1,所以在y軸上的截距為-1,故B正確；

對(duì)于C,%-V3y+1=0=>y=yx+y,則直線的斜率k=tana=y,所以直線的傾斜

角為30。，故C不正確.

對(duì)于D,過(guò)點(diǎn)(1,4)并且傾斜角為90。的直線方程為x-1=0,故D不正確.

故選：B.

【變式3-3](2023秋?廣東廣州?高二廣州市天河中學(xué)校考期末)已知直線Z：(2m+l)x+

(m+l)y+m=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P,直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且/'的方向向量2=(3,2),則直線1的方程

為()

A.2%—3y+5=0B.2%—3y—5=0

C.3%—2y+5=0D.3%—2y—5=0

【答案】A

【分析】直線/方程變?yōu)閄+y+m(2x+y+1)=0,可得定點(diǎn)P(-1,1).根據(jù)1的方向向量

a=(3,2),可得斜率為|，代入點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)為一般式即可.

【詳解】(2m+l)x+(m+l)y+m-0可變形為x+y+m(2x+y+1)=。，

解葭得,即「點(diǎn)坐標(biāo)為ID

因?yàn)閍=(3,2)=3(1,|),所以直線廠的斜率為|,又過(guò)點(diǎn)P(-1.1),

代入點(diǎn)斜式方程可得y-l=|(x+l),整理可得於-3y+5=0.

故選：A.

【變式3-4](2023秋?廣東?高二統(tǒng)考期末羥過(guò)兩條直線2x+y-8=。和x-2y+1=0的

交點(diǎn)，且垂直于直線3久-2y+4=。的直線的方程是()

A.2%+3y—13=0B.2%+3y—12=0

C.2%—3y=0D.2%—3y—5=0

【答案】B

【分析】聯(lián)立方程計(jì)算交點(diǎn)為(3,2),根據(jù)直線垂直得到k=-|,得到直線方程.

【詳解】-8=0(解得號(hào)=3,故直線交點(diǎn)為(3,2),

直線3x-2y+4=0的斜率七=|,故垂直于它的直線斜率k=-|,

故所求直線方程為y=-|(x-3)+2,整理得到2x+3y-12=0.

故選：B

【變式3-5](2023秋?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末)已知直線1與直線2x-y+2=。和小”+

y-4=。的交點(diǎn)分別為48,若點(diǎn)P(2,0)是線段AB的中點(diǎn)，則直線4B的方程為.

【答案】尤+4y-2=0

【分析】設(shè)4Q1，2/+2),B(X2,4-X2),由中點(diǎn)公式列出方程組,求得X]=號(hào),山=苫，

進(jìn)而求得直線的斜率為k=-；,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.

4

【詳解】因?yàn)橹本€/與直線4：2%-y+2=。和%：%+y-4=0的交點(diǎn)分別為4B,

設(shè)Z(%i，2/+2),/如4一冷)，

因?yàn)辄c(diǎn)P(2,0)是線段4B的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得[勺二:=0，

解得％=—1,&=?,所以直線4B的斜率為k=匕二出二=-i

33%214

所以直線4B的方程為y-0=—[(x-2),即x+4y-2=0.

故答案為：久+4y—2=0.

【變式3-6](2023春?江西吉安?高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期末)已知△ABC的三個(gè)

頂點(diǎn)分別為力(3,-4),B(6,0),C(-5,2).

(1)求邊AC上的高所在直線的方程；

(2)求邊AC上的中線8E所在直線的方程.

【答案】⑴4x—3y—24=0

(2)x—7y—6—0

【分析】(1)由兩點(diǎn)式斜率公式求出ac斜率，利用垂直關(guān)系得8。的斜率，代入點(diǎn)斜式即可

求解；

(2)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,-1),由兩點(diǎn)式斜率公式求出BE的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求解.

【詳解】(1)由題意得磯=三4=-L且總-kAC=-1,所以峪。=*

則邊4c上的高BD所在直線的方程為y=1久-6),化簡(jiǎn)得4x-3y-24=0.

(2)由題知4C的中點(diǎn)E(—1,-1),所以/CBE=之,

則邊AC上的中線BE所在直線的方程為y=-6),化簡(jiǎn)得x-7y-6=0.

【變式3-7](2023秋?浙江紹興?高二統(tǒng)考期末)直線。經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,-2)與點(diǎn)8(2,1),經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(0,-1)的直線小

⑴求直線。的方程；

(2)若點(diǎn)4B到直線1的距離相等，求直線"的方程.

【答案】(l)3x-y-5=0.

(2)3x—y—1—0或x—3y—3=0

【分析】(1)兩點(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；

(2)討論/"/小，2過(guò)48中點(diǎn)兩種情況，兩點(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程；

【詳解】(1)由題設(shè)3=1(2)=3,所以匕：y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.

(2)①若/"/l2,則，2：y+1=3%,整理得％3x-y-1=0；

②若％過(guò)力B中點(diǎn)(|,一|)，于是k%=zJJ=［，則％：y+l=~x，整理得：L：x-3y-3=0.

2

所以直線)的方程為3x-y-1-。或k一3y-3=0.

題型4直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【例題4］(2023秋?江西宜春?高二統(tǒng)考期末)直線kx-y+1=3fc,當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直

線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(0,0)B,(0,1)C,(3,1)D.(2,1)

【答案】C

【分析】整理所得直線方程為-3)-y+1=0,根據(jù)題意，即可求得結(jié)果.

【詳解】把直線方程整理為3*-3)—y+1=0,

令］。二,故仁：:,所以直線恒過(guò)定點(diǎn)為(3,1).

故選：C.

【變式4-1】(2023秋?重慶北暗高二統(tǒng)考期末)若直線=k(x+2)與直線%關(guān)于點(diǎn)(1,2)

對(duì)稱，則直線L恒過(guò)的定點(diǎn)為()

A.(4,0)B.(4,2)C.(2,4)D.(4,4)

【答案】D

【分析】求出直線。恒過(guò)的定點(diǎn)，并求出其關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱點(diǎn)即可.

【詳解】直線=k(x+2)恒過(guò)定點(diǎn)(-2,0),

又(-2,0)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱點(diǎn)為(4,4)

所以直線%恒過(guò)的定點(diǎn)為(4,4)

故選：D.

【變式4-21多選)(2023秋?湖南益陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末)已知直線/：x+y-3+m(2x-y)=

0,其中小為實(shí)常數(shù)，則()

A.直線/過(guò)一定點(diǎn)

B.無(wú)論m取何值，直線/不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

C.當(dāng)m>0時(shí)，直線1與y軸交于它的負(fù)半軸

D.當(dāng)爪=0時(shí)，直線I與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是1

【答案】ABD

【分析】根據(jù)直線的方程逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)橹本€1的方程為x+y-3+m(2%—y)=0,令『(二二。，

解得：［；二;，所以直線I過(guò)定點(diǎn)(L2),故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,若直線I經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，貝?。?+0-3+mx0=-3大0,所以無(wú)論m取何值，直線［不

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,令x=?？傻?y=-^-(m豐1),當(dāng)m>1時(shí),y<0，直線/與y軸交于負(fù)半軸；當(dāng)爪=1

1—771

時(shí)，直線/與y軸沒有交點(diǎn)；當(dāng)爪<1時(shí)，y>。直線/與y軸交于正半軸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)m=。時(shí)，直線/的方程為：x+y-3=0,與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3,0),(0,3),

所以直線/與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，故選項(xiàng)D正確，

故選:ABD.

【變式4-3](多選)(2023秋?山東威海?高二統(tǒng)考期末)已知直線Z：ax-y-a+3=

0(aeR),則()

A./恒過(guò)定點(diǎn)(0,3)B.當(dāng)a23時(shí)，/不經(jīng)過(guò)第二象限

C.1與直線x+ay+1=。垂直D.當(dāng)a=3時(shí)，點(diǎn)(3,2)到1的距離最大

【答案】BC

【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程判斷A；結(jié)合當(dāng)a>3時(shí)，直線(與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1-56(0.1]

判斷B；根據(jù)直線一般式的垂直判斷公式判斷C；根據(jù)直線/與過(guò)點(diǎn)Q(3,2)和P(l,3)的直線垂

直時(shí)，點(diǎn)(3,2)到珀勺距離最大求解判斷D.

【詳解】解：將直線/：ax—y—a+3=0(aeR)整理變形得/:y—3—tz(x—l)(aeR),

對(duì)于A選項(xiàng)，由點(diǎn)斜式方程得直線Z:a久-y-a+3=0(aeR)過(guò)定點(diǎn)P(l,3),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)a>3時(shí)，直線l與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1-|€(0,1],又直線(過(guò)定點(diǎn)(1,3),

所以直線，不經(jīng)過(guò)第二象限，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由于ax1+(-1)xa-0恒成立，所以/與直線久+ay+1-。垂直，故C選

項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)直線/與過(guò)點(diǎn)Q(3,2)和P(l,3)的直線垂直時(shí)，點(diǎn)(3,2)到2的距離最大，此時(shí)

“=-1,又因?yàn)橹本€/的斜率為的=a,故當(dāng)a=2時(shí)，點(diǎn)(3,2)到/的距離最大,故錯(cuò)誤；.

故選：B

【變式4-4](多選)(2023春?江西撫州?高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)?？计谀?已知直線

I:(a?+a+l)x—y+1=0,中a6R，則()

A.直線I過(guò)定點(diǎn)(0,1)

B.當(dāng)a=-1時(shí)，直線I與直線久+y-。垂直

C.若直線I與直線x~y-。平行，貝！Ja=0

D.當(dāng)a=0時(shí)，直線I在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)

【答案】ABD

【分析】A.令x=0判斷；B.由兩直線的位置關(guān)系判斷；C.由兩直線的位置關(guān)系判斷；D.

由直線的方程判斷.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)％=0時(shí)，y=1,與a的取值無(wú)關(guān),故直線I過(guò)定點(diǎn)(0,1),所以A正確；

對(duì)于B,當(dāng)。=一1時(shí)，直線I的方程為x-y+1=0,其斜率為1,

而直線久+y=。的斜率為-1,

所以當(dāng)a=-1時(shí)，直線I與直線x+y=。垂直，所以B正確；

對(duì)于C,若直線I與直線久-y=。平行，則a?+a+1=1,解得a=?；騛=-1,所以C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)a=0時(shí)，直線I的方程為％-y+1=0,橫截距和縱截距分別是-1,1,互為相

反數(shù)，所以D正確.

故選：ABD

【變式4-5](2023秋?河北唐山?高二唐山一中?？计谀?直線Z：(1+4A)x+(2-A)y-7-

2=0(4eR)恒過(guò)的定點(diǎn)是.

【答案】(1,3)

【分析】依題意可得(4x-y-l)A+(%+2y-7)=0,再令I(lǐng);二:，解得即可.

【詳解】解:直線I.(1+4A)x+(2—A)y—7—A=0(AGR),

即(4x-y-l)A+(x+2y-7)=0,令~7=0'解得:3，

所以直線1恒過(guò)定點(diǎn)(1,3).

故答案為：(1,3)

【變式4-6](2022秋廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)已知直線/：(m+2)%-(2m+l)y-3=

0(meR),直線I分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A,B兩點(diǎn).

⑴證明：直線I過(guò)定點(diǎn)；

⑵已知點(diǎn)P(-1,-2),當(dāng)可?麗最小時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)m=—|

【分析】(1)根據(jù)直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法列出方程組，解之即可求解；

(2)有(1),設(shè)直線方程為工+[=1,a>0,b>0,可得2+1,根據(jù)平面向量數(shù)量積

abab

的坐標(biāo)表示和基本不等式中的用法可得直線I的方程，即可求解.

【詳解】(1)已知直線1：(m+2)x-(2m+l)y-3=0(mGR),

則(%—2y)m4-2x—y—3=0,

由卜二7Uo,解得憂3

即直線I過(guò)定點(diǎn)(2,1)；

(2)設(shè)直線的方程為；+?=l,a>0,b〉0,

則2(a,0),B(0,b),又直線I過(guò)定點(diǎn)(2,1),

則鴻=1，又點(diǎn)P(T-2),則

同.麗=(a+l,2)-(l,b+2)=a+2b+5=(|+1)(a+2b)+5=9+[+J>9+

2/-x-=13,

7ab'

當(dāng)且僅當(dāng)?=耨％=2b即a=4,b=2時(shí)取等號(hào)，

所以直線I的方程為x+2y—4=0,

所以直線I過(guò)(4,0),即4(m+2)—3=0,

解得m=-1

【變式4-7](2022?全國(guó)?高二期末)已知直線/：kx-y+2+4k^0(keR).

(1)若直線/不經(jīng)過(guò)第三象限，求k的取值范圍；

(2)若直線I交X軸的負(fù)半軸于點(diǎn)4，交y軸的正半軸于點(diǎn)B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AAOB的面積為S,

求S的最小值及此時(shí)直線1的方程.

【答案】⑴H，。］

⑵S的最小值為4,此時(shí)直線珀勺方程為y=1%+4

【分析】(1)根據(jù)直線不經(jīng)過(guò)第三象限以及直線所過(guò)定點(diǎn)，求得k的取值范圍.

(2)求得S的表達(dá)式,利用基本不等式求得S的最小值，進(jìn)而求得直線/的方程.

【詳解】(1)直線上kx—y+2+4k=0(kER)fy=k(x+4)+2,

直線I過(guò)定點(diǎn)E(-4,2),k=~~=~~

0E—4Z

若直線，不經(jīng)過(guò)第三象限，所以-1wk<0,

即k的取值范圍是［-go］

(2)直線Z:kx—y+2+4k=0(keR),y=k(x+4)+2,直線/過(guò)定點(diǎn)E(—4,2),斜率存

在，

依題意，直線［交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)2,交y軸的正半軸于點(diǎn)5。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則k>0,

由kx—y+2+4k=0,令久=0，得y=2+4k；令y=0彳導(dǎo)％=——4,

所以4(一：一4,0),8(0,2+4外，

所以S=|xg+4)x(2+4k)=g+4)x(1+2k)

=8+聲8k28+2J.8k=16,

當(dāng)且僅當(dāng):=8k,k=3寸等號(hào)成立，

此時(shí)直線/的方程是y=|(%+4)+2=|%+4.

題型5直線的位置關(guān)系

【例題5］(2023秋?山東濟(jì)南?高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？计谀?已知直線中值乂+

y-1=。，若直線G與4垂直，則"的傾斜角為()

A.30°B.60°C,120°D.150°

【答案】A

【分析】由直線％與匕垂直得到L的斜率的z，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】因?yàn)橹本€)與0垂直，且的x=-V3,

所以曷1x。=一1,解得的z=y，

設(shè)L的傾斜角為a,tana=y,所以a=30°.

故選：A.

【變式5-1](2023春?貴州安順?高二統(tǒng)考期末)已知直線％：ax+(a+2)y+1=032：

x-ay+3=0,其中aeR,則"a=-1"是"lr1l2"的()

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用兩直線垂直求出a的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】直線4：ax+(a+2)y+1-0,l2'x—ay+3=0，由％±l2，得a—a(a+2)=0,

解得a=。或a=-1,

所以"a=-1"是Z1的充分不必要條件.

故選：C

【變式5-2](2023秋?山東德州?高二統(tǒng)考期末)已知直線k：x+(a-4)y+1=0,Z2：ax+

5y+5=。且I//%,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.5B.1C.5或一1D.—1

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，列出方程求解，再驗(yàn)證判斷作答.

【詳解】直線久+(a-4)y+1-0,l2：ax+5y+5-0,由a(a—4)—5=。解得a=5或

a——1,

當(dāng)a=5時(shí)，直線人:尤+y+1=。與%：5x+5y+5=。重合，不符合題意，

當(dāng)a=-1時(shí)，直線k：x-5y+1-。與%：%-5y-5=0平行，

所以實(shí)數(shù)a的值為-1.

故選：D

【變式5-3】(2023秋河南平頂山?高二統(tǒng)考期末)已知血CR,"直線4：g+y=0與

2

Z2：9x+my—m—1-0平行”是=±3"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)平行的成比例運(yùn)算即可求解.

【詳角單】直線mx+y=。與%：9%+my—m2—1-0平彳亍

所以62=9,

解得m=±3,

經(jīng)檢驗(yàn)，m=±3均符合題意，

故選：C.

【變式5-4](2023秋?北京西城?高二統(tǒng)考期末)設(shè)4(-3,2),B(1,-4),則過(guò)線段4B的中點(diǎn),

且與力B垂直的直線方程為.

【答案】2%-3y-1=0

【分析】求出線段48的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.

【詳解】因?yàn)?(—3,2),8(1,—4),所以線段AB的中點(diǎn)。(一1,一1)，且%B=三三=一|.

所以與4B垂直的直線的斜率為k=--i-=-^=|,

所以過(guò)線段4B的中點(diǎn)，與48垂直的直線方程為y+l=|(x+l),BP2x-3y-1=0.

故答案為：2久—3y-1=。

【變式5-5](2023春?上海寶山?高二統(tǒng)考期末)已知直線比+3y+l=0,+

(m+2)y+2m—1=0.

(1)若4〃%,求實(shí)數(shù)小的值；

(2)若直線"在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)M的值.

【答案】⑴m=-3

⑵-1或日

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合截距的定義，并分類討論，即可求解.

【詳解】(1)直線+3y+1=0,l2：x+(m+2)y+2m-1=0.

則+2)=1x3,解得m---3或m=1,

當(dāng)m=1時(shí)/i：x+3y+l=0/2：x+3y+l=0,則直線二，%重合，不符合題意；

當(dāng)m=-3時(shí)，Zi：-3x+3y+l-0,l2：x-y-7-0,則直線4不重合，符合題意，

故m=-3.

(2)當(dāng)2nl-1=0,即m=(時(shí)，％：%+，=。，直線)在兩坐標(biāo)軸上的截距為。，

滿足直線％在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等；

當(dāng)27n—1=#0且zn豐—2時(shí)，

則直線"在左軸上的截距為1-2m,在y軸上的截距為震,

由題意可知，1-2m=竦詈，解得m=-1，

當(dāng)血=-2時(shí)直線0:%=5,顯然不符合題意，

綜上所述，m=-1或].

題型6距離問(wèn)題

【例題6】(2023春?湖北咸寧?高二統(tǒng)考期末)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線"：x+my-2=0

與G：mx-y+2m-0交于點(diǎn)P,則|OP|的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)兩直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即可根據(jù)加力0和m=0,利用斜率得垂直關(guān)系即可分情況

求解.

【詳解】直線4過(guò)定點(diǎn)4(2,0)過(guò)定點(diǎn)8(-2,0),

當(dāng)小牛0時(shí)，兩直線的斜率分別為七=-A,卜2=6，七七=-1,故4P1BP,從而。P=

*=2；

當(dāng)爪=。時(shí)，易求得P(2,0),此時(shí)|OP|=2,

綜上可知，|OP|=2.

故答案為：2

【變式6-1](2023秋?廣西河池?高二統(tǒng)考期末)已知直線x+ay+2=0,l2-.2x+4y+

3=。相互平行，則小"之間的距離為()

A.-B.匹C.—D.-

10552

【答案】A

【分析】根據(jù)兩直線平行得到關(guān)于a的方程，求出a的值，再由兩平行線之間的距離公式計(jì)

算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€人：％+ay+2=0；%：2%+4y+3=。相互平行,

所以2a-4=07解得a=2,

所以匕:％+2y+2=0,即2%+4y+4=0,

所以i%之間的距離d=黑=系

故選：A

【變式6-2](多選)(2022秋?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？计谀?已知

2(3,4),B(—6,—3)(4B生2)兩點(diǎn)到直線/:ax+y+1=。的距離相等，貝必的值可能為()

A-4C.-lD.l

【答案】AD

【分析】直接利用兩點(diǎn)距離公式列方程計(jì)算即可.

【詳解】???4(3,4),8(—6,-3)Q4,8莊/)兩點(diǎn)到直線Lax+y+1=。的距離相等，

.??$=「"解得a"或a=l.

故選：AD.

【變式6-3](2022秋?廣東廣州?高二廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？计谀?過(guò)點(diǎn)P(l,2)引直線，

使力(2,3),B(4,-5)兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是()

A.3%+2y—7=0B.x+2y-5=0

C.3%+2y—7=0或4%+y—6=0D.3%+2y—7=0或％+2y-5=0

【答案】C

【分析】設(shè)所求的直線為2,則直線/平行于4B或直線，過(guò)線段4B的中點(diǎn)，分情況討論即可求

解.

【詳解】設(shè)所求的直線為2,則直線Z平行于28或直線1過(guò)線段48的中點(diǎn)，

因?yàn)?(2,3),8(4,—5),所以%B=~~~=—4,

所以過(guò)點(diǎn)尸(L2)且與48平行的直線為：y-2=-4(%-1)即4%+y-6=0,

因?yàn)?(2,3),8(4,-5),所以線段48的中點(diǎn)為(3,-1),

所以過(guò)點(diǎn)P(l,2)與線段4B的中點(diǎn)為(3,-1)的直線的方程為：y-2=言X(x-1),

即3x+2y—7=0,

所以這條直線的方程是：3x+2y-7=0或4x+y-6=0,

故選：C.

【變式6-4](2023春?北京海淀?高二清華附中?？计谀?設(shè)4為動(dòng)點(diǎn)P(cosasinJ)到直線x-

y-2=。的距離,則d的最大值為()

A.V2-1B.券C.1+V2D.3

【答案】C

【分析】由距離公式及輔助角公式計(jì)算可得.

【詳解】點(diǎn)P(cos8,sin。)到直線x-y—2=0的距離d=部含7=片T,

因?yàn)橐?<cos(0+9w1,貝!I一/-2<V2COS(0+以-2W&-2,

所以當(dāng)cos(。+=-1時(shí)dmax==1+V2.

故選：C

【變式6-5](2023春遼寧?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)y=-x+爪的圖象與函數(shù)y=2*+1

和函數(shù)y=2X~2+1的圖象分別交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=V2,則m.

【答案】4

【分析】設(shè)4(久1，月),B(x2,y2),則/<犯，乃>先，根據(jù)距離公式及兩點(diǎn)的斜率公式求

出修,即可求出4點(diǎn)坐標(biāo)，再代入計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?、+1-(2X-2+1)=2、一2X~2=|x2x>0,

所以函數(shù)y=2才+1的圖象恒在函數(shù)y=n2+1上方，

設(shè)a01，%),B(x2,y2),則<x2,yi>y21

2

由IABI=&可得(%1一冷)2+(yi-y2)=2,

又因?yàn)锳B所在直線的斜率為g=-1,所以冷-XI=%-丫2=1,

%1—%2

因?yàn)槎?，所以為_%=(2%+1)_(2冷-2+1)=1,

即2右-2xi-1=1,解得=1,

因?yàn)檠?=2如+1=3,所以4(1,3),代入函數(shù)y=-x+m,可得m=4.

故答案為：4

【變式6-6](2022秋?上海金山?高二上海市金山中學(xué)?？计谀?已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，在直

線y=k(x-4)上存在點(diǎn)P,使得|OP|=2,則k的取值范圍為—.

【答案】—當(dāng)小三日

【分析】解不等式d=號(hào)*W2即得解.

【詳解】由題得直線的方程為依-y-4k=0,

所以原點(diǎn)到直線的距離d=獸W2,

Vfcz+1

所以卜2W]

解得一手＜左4曰.

故答案為：-/WkW/

題型7與直線有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題

【例題7](2023秋?四川廣安?高二統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)A與點(diǎn)B(2,l)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)

稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(—3,—4)D.(—4,—3)

【答案】C

【分析】因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線%+y+2=。上且直線AB與直線

x+y+2=0垂直.

【詳解】設(shè)4(3),因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線久+y+2=0上且直線

AB與直線x+y+2-。垂直,

出+"+2=0

x=-3

則22

3=1y=-4

x-2

即點(diǎn)A坐標(biāo)為(—3,—4).

故選：C

【變式7-1](2023秋?湖北武漢?高二統(tǒng)考期末)如果直線y=ax+2與直線y=3x-b關(guān)于

直線y=比對(duì)稱，那么()

1-1

A.a==6B.a=-,b=-6C.a=3,h=-2D.a=3,b=6

【答案】A

【分析】由題意在y=ax+2上任取一點(diǎn)(0,2)，其關(guān)于直線y=%的對(duì)稱點(diǎn)在y=3%-b上，

代入可求出b,然后在y=3久-b上任取一點(diǎn)，其關(guān)于直線y=%的對(duì)稱點(diǎn)在y=a%+2上，

代入可求出a.

【詳解】在y=ax+2上取一點(diǎn)(0,2),

則由題意可得其關(guān)于直線y=%的對(duì)稱點(diǎn)(2,0)在y=3%-b上，

所以。=6-b,得b=6,

在y=3%-6上取一點(diǎn)(0,-6),

則其關(guān)于直線y