第三章第七節(jié)二次函數(shù)綜合題2025年中考數(shù)學一輪專題復習（廣東）含答案

/第七節(jié)二次函數(shù)綜合題類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題1.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4與x軸交于A(－2，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，作直線AC.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是x軸上方拋物線上一點，過點P作x軸的垂線分別交x軸，直線AC于點D，E，當DE－PE＝2時，求點P的橫坐標.第1題圖2.(2024廣元節(jié)選)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A(－3，－1)，與y軸交于點B(0，2).(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動點C，連接OC交AB于點D，求CDOD的最大值及此時點C的坐標第2題圖3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx－2交x軸于A(－1，0)，B(4，0)兩點，交y軸于點C，拋物線對稱軸交直線BC于點D，P為x軸下方拋物線上一點.(1)求拋物線的表達式；(2)拋物線的頂點為H，若點Q為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點Q，使得以B，Q，C，H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)直線AP，BP分別交對稱軸于點M，N，當點M，N均在點D的下方時，DM＋DN是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.第3題圖備用圖類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問題1.(2024珠海香洲區(qū)二模)如圖，拋物線y＝－12x2＋32x＋c與坐標軸分別交于A，B，C三點，OC＝2.點D為拋物線上一動點，直線DB與y軸交于點(1)填空：c＝；(2)當點D在第一象限的拋物線上，且三角形BCD的面積最大時，證明：點D是BE的中點；(3)當S△DEOS△BEO＝2時第1題圖備用圖2.(2024遂寧)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸分別交于點A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C(0，－3)，P，Q為拋物線上的兩點.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)當P，C兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點P為直角頂點的直角三角形時，求點Q的坐標；(3)設點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標為m＋1，試探究：△OPQ的面積S是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由.第2題圖

類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問題1.解：(1)將點A(－2，0)，B(4，0)的坐標代入y＝ax2＋bx＋4中，得4a－2b∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－12x2＋x(2)設P(t，－12t2＋t＋4)，則D(t設直線AC的函數(shù)表達式為y＝kx＋m(k≠0)，代入點A(－2，0)，C(0，4)的坐標，得－2k＋b=0∴直線AC的函數(shù)表達式為y＝2x＋4.∴E(t，2t＋4)，分兩種情況討論：①當點P在y軸左側(cè)時，PE＝－12t2＋t＋4－(2t＋4)＝－12t2－t，ED＝2∵DE－PE＝2，∴2t＋4－(－12t2－t整理，得t2＋6t＋4＝0，解得t1＝－3＋5，t2＝－3－5(不符合題意，舍去)，∴點P的橫坐標為－3＋5；②當點P在y軸右側(cè)時，PE＝2t＋4－(－12t2＋t＋4)＝12t2＋t，DE＝2∴2t＋4－(12t2＋t整理，得t2－2t－4＝0，解得t3＝1＋5，t4＝1－5(不符合題意，舍去)，∴點P的橫坐標為1＋5，綜上所述，點P的橫坐標為－3＋5或1＋5.2.解：(1)把點A(－3，－1)，B(0，2)的坐標代入y＝－x2＋bx＋c，得－9－3b∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－x2－2x＋2；(2)如解圖，過點C作x軸的垂線交AB于點M.∴cm∥y軸，∴△CDM∽△ODB，∴CDOD＝CMOB＝∴當cm取最大值時，CDOD設AB所在直線的解析式為y＝mx＋n，把點A(－3，－1)，B(0，2)的坐標代入解析式，得－3m解得m=1n=2∴AB所在直線的解析式為y＝x＋2.設C(t，－t2－2t＋2)，則M(t，t＋2)，∴cm＝－t2－3t＝－(t＋32)2＋9∵－3＜t＜0，－1＜0，∴當t＝－32時，cm最大，最大值為9∴CDOD的最大值為98，此時點C的坐標為(－32第2題解圖3.解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－2經(jīng)過點A(－1，0)，B(4，0)，∴0=a－b∴拋物線的表達式為y＝12x2－32(2)存在.由(1)知，拋物線y＝12x2－32x－2＝12(x－32)∴點H(32，－25當x＝0時，y＝－2，∴點C(0，－2).設點Q(p，q)，①當BC是對角線時，如解圖①，∴4+0解得p＝∴點Q(52，9②當BH是對角線時，如解圖②，∴4+解得p＝∴點Q(112，－9③當CH是對角線時，如解圖③，∴4+解得p＝∴點Q(－52，－41綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為(52，98)，(112，－98)或(－圖①圖②圖③第3題解圖(3)DM＋DN是定值.由點B(4，0)和C(0，－2)可得直線BC的表達式為y＝12x當x＝32時，y＝12x－2＝12×3∴點D(32，－5如解圖④，設點P(n，12n2－32∵A(－1，0)，∴設直線AP的表達式為y＝k(x＋1)(k≠0)，將點P的坐標代入得，12n2－32n－2＝k(n＋1)，則k＝12∴直線AP的表達式為y＝12(n－4)(x當x＝32時，y＝12(n－4)(32＋1)＝∴易得DM＝－54n＋15同理可得，直線BP的表達式為y＝12(n＋1)(x當x＝32時，y＝12(n＋1)(32－4)＝－54易得DN＝54n∴DM＋DN＝－54n＋154＋54n∴DM＋DN為定值，定值為154第3題解圖④類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問題1.(1)解：2【解法提示】∵OC＝2，則c＝2.(2)證明：∵OC＝2，∴C(0，2)，拋物線的表達式為y＝－12x2＋32令y＝0，得－12x2＋32x＋2＝0，解得x1＝－1，x由題圖可知，點A在點B的左側(cè)，∴B(4，0).由B，C兩點的坐標易得直線BC的表達式為y＝－12x如解圖，過點D作DH∥y軸交BC于點H，第1題解圖設點D(x，－12x2＋32x＋2)，則點H(x，－1則三角形BCD的面積＝12OB·DH＝12×4(－12x2＋32x＋2＋12x－2)＝－x2＋4x∵－1＜0，∴當x＝2時，三角形BCD的面積最大，此時點D的橫坐標x＝2，即點D(2，3)，由點B，D的坐標得，直線BD的表達式為y＝－32(x∴點E(0，6)，∴點B，E的中點坐標為(2，3)，∴點D是BE的中點；(3)解：當S△則｜xD｜＝2xB＝8，即xD＝±8，當x＝8時，y＝－12x2＋32當x＝－8時，y＝－12x2＋32∴當S△DEOS2.解：(1)把點A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)的坐標代入y＝ax2＋bx＋c，得a－b＋∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2－2x－3；(2)如解圖①，由y＝x2－2x－3得拋物線的對稱軸為直線x＝1.∵P，C兩點關(guān)于拋物線對軸對稱，C(0，－3)，∴P(2，－3)，設Q(m，m2－2m－3).∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2，即[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]＝(0－m)2＋(0－m2＋2m＋3)2，整理得，3m2－8m＋4＝0，解得m1＝23，m2∴m＝23，∴Q(23，－第2題解圖①(3)存在.如解圖②，過點P作y軸的垂線交y軸于點E，過點Q作x軸的垂線，垂足為點F，兩條垂線交于點G，把xP＝m代入y＝x2－2x－3得yP＝m2－2m－3，把xQ＝m＋1代入y＝x2－2x－3得yQ＝m2－4.∵S矩形OEGF＝OE·OF＝－(m2－2m－3)(m＋1)＝－m3＋m2＋5S△OEP＝12EO·EP＝12[－(m2－2m－3)]m＝－12m3＋m2＋S△OFQ＝12OF·FQ＝12(m＋1)[－(m2－4)]＝－12m3－12