貴州省畢節(jié)梁才學(xué)校等2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 （解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)第16頁(yè)，共16頁(yè)2024年秋季高二年級(jí)期末考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B2.已知，則的虛部是（）A.3 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】首先得到，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：A3.在等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，解?故選：C4.已知角滿(mǎn)足，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D5.已知向量，滿(mǎn)足，，與的夾角為，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)在方向上的投影向量為計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：B6.已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為（）A. B.5 C.25 D.【答案】C【解析】分析】依題意可得，再由乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C7.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.12 C.10 D.16【答案】B【解析】【分析】首先求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得到，從而求出的最小值.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B8.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，，，則（）A. B.1 C.2 D.0【答案】A【解析】【分析】由題意可得4為函數(shù)的一個(gè)周期，利用賦值法可求得，，，可求值.【詳解】由，可得，所以，所以4為函數(shù)的一個(gè)周期，又因?yàn)?，令，得，令，可得，令，可得，所以，所?故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為曲線(xiàn)上不與，共線(xiàn)的點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則的周長(zhǎng)為7D.若，則的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)各選項(xiàng)參數(shù)的值得到相應(yīng)的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線(xiàn)的性質(zhì)一一計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，則曲線(xiàn)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)，則曲線(xiàn)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，則，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)，則曲線(xiàn)，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，又，所以的周長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，則曲線(xiàn)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，則，，所以的離心率，故D正確.故選：ABD10.已知圓與直線(xiàn)，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)l上，則（）A.圓C的半徑為4 B.圓心C到直線(xiàn)l的距離為4C. D.【答案】BC【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，半徑為2，故A錯(cuò)誤；圓心到直線(xiàn)的距離為，故B正確；，無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC11.在長(zhǎng)方體中，，，E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在長(zhǎng)方體內(nèi)（含表面），且滿(mǎn)足，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為Ω，則（）A.Ω的面積為B.平面與Ω所在平面平行C.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，四邊形為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Ω，求得面積判斷A；連接，可證明平面平面，從而可判斷B；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為是否有解問(wèn)題處理，求解可判斷C；確定的位置，進(jìn)而可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以在確定的平面內(nèi)，又，取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Ω，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，，，所以，，進(jìn)而可求得等腰梯形的高，所以梯形的面積為，故A正確；連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面與Ω所在平面不平行，故B錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，當(dāng)，則，所以，假設(shè)，則，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得，故C正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，則時(shí)點(diǎn)到平面的距離為定值，又三角形的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，將是否存在點(diǎn)P，使得，轉(zhuǎn)化為方程是否有解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的一種常見(jiàn)思想方法.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)是偶函數(shù)，則m=___________【答案】1【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的概念求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗?，若函?shù)是偶函數(shù)則，則，解得。故答案為：.13.《九章算術(shù)·商功》中將正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物稱(chēng)為方亭．現(xiàn)有一方亭，已知，且該方亭的高為6，體積為26，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，即，即，解得或（舍去）.故答案為：14.已知函數(shù)．若方程在區(qū)間內(nèi)無(wú)解，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，即可得到，從而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，令，解得，所以的零點(diǎn)分別為，，，，，，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間內(nèi)無(wú)解，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求角A的大??；（2）已知，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式可求得，可求角A的大??；（2）利用余弦定理可得，可求，進(jìn)而可求的面積．【小問(wèn)1詳解】由，可得，又，所以，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，由余弦定理可得，又，，所以，解得或（舍去），所以.16.為了了解高二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，某學(xué)校對(duì)高二年級(jí)學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間均在內(nèi)，繪制的頻率分布表如下表所示：日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間頻率0.050.100.250.350.150.10（1）試估計(jì)這200名學(xué)生日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的第30百分位數(shù)；（3）現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣從日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在與內(nèi)的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行個(gè)案分析，再?gòu)倪@被抽取的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生提供個(gè)性化指導(dǎo)方案，求被抽取的3名學(xué)生中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)每組的頻率與組中值之積，再求和，即可得解；（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算可得；（3）分別求出、中抽取的人數(shù)，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】依題意可得日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)為：；【小問(wèn)2詳解】因，，所以第百分位數(shù)位于，設(shè)為，則，解得，所以第百分位數(shù)為；【小問(wèn)3詳解】依題意中抽取名學(xué)生，分別記作、、，中抽取名學(xué)生，分別記作、，從這5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3名學(xué)生，則可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共個(gè)；其中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在有，，，，，，共個(gè)，所以至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在的概率；17.如圖，在四棱錐中，底面滿(mǎn)足，，底面，且，．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依題意可得平面平面，根據(jù)面面垂直性質(zhì)得到平面，即可得證；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌?，平面，所以平面平面，又平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)榈酌?，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，顯然面的一個(gè)法向量為，又，，，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知公差為2的等差數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（?。┣?；（ⅱ）若不等式對(duì)任意的恒成立，求λ的最大值．【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ）λ的最大值為7【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由遞推公式可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而求出數(shù)的通項(xiàng)公式；（2）（?。┯桑?）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出；（ⅱ）由，可得，構(gòu)造數(shù)列，利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而求得的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，所以，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】（?。┮?yàn)椋?，所以，兩式相減得，所以；（ⅱ）由，可得，令，則，所認(rèn)單調(diào)遞增，所以，所以λ的最大值為7．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意一點(diǎn)，總存在一點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系式（，），則稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換．（1）在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓．（2）在同一直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換得到曲線(xiàn)C．①求曲線(xiàn)C的方程；②已知，，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線(xiàn)AE，AF與y軸的交點(diǎn)分別為P，Q，證明：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】（1）所求的伸縮變換為（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件列方程求，可得結(jié)論；（2）①由已知可得，代入橢圓，可得曲線(xiàn)的方程；②先確定斜率存在，設(shè)EF的方程為，，，利用設(shè)而不求法求，再求及其中點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】將伸縮變換（，）代入，得到，將上式與比較，得，解得，，所以所求