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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

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IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2025-03-13 格式：PDF 頁(yè)數(shù)：139 大?。?3.27MB 積分：12 舉報(bào) 版權(quán)申訴

幾何壓軸題二相似模型

（6大類型20種模型詳解+20種模型專題訓(xùn)練）

【題型匯總】

類型一A型模型

1.（2023九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖①，是生活中常見(jiàn)的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進(jìn)行

工作的一類登高工具，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，看起來(lái)像一個(gè)“人”字，因而把

它形象的稱為“人字梯”.如圖②，是其工作示意圖，AB=AC,拉桿EF||BC,AE=\AB,EF=0.35米，

6

則兩梯桿跨度B、C之間距離為（）

A

圖①圖②

A.2米B.2.1米C.2.5米D.?米

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得黑=差，即可求解.

【詳解】解：???“IIBC,

/.△AEF^△ABC,

.EF_AE

**BC~ABf

'JAE^^AB,EF=0.35米，

?0.35_1

,,BC-6，

：.BC=2.1,

即兩梯桿跨度B、C之間距離為2.1米，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2?（20-21九年級(jí)上.吉林.階段練習(xí)）如圖，ZiABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)6。）的圖象上，NA5°=9。。,

過(guò)AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作無(wú)軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q.若AANQ的面積為1,則上的值為（

（9|Bx

A.9B.12C.15D.18

【答案】D

【分析】易證△ANQs^AMPs/iAOB,由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可求出△ANQ的

面積，進(jìn)而可求出△AOB的面積，則k的值也可求出.

【詳解】解：：NQ〃MP〃OB,

AANQs△AMPsAAOB,

VM,N是OA的三等分點(diǎn)，

.AN_1AN_1

??AM一2'AO-39

?S^ANQ_1

??~——,

SAAMP4

,/四邊形MNQP的面積為3,

???S"NQ_一1―,

3+SA4NQ4

??SAANQ=1>

??1=（竺）2=1

?S"OBW9'

***SAAOB=9,

??k=2S△AOB=18,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及反比例函數(shù)k的幾何意義，正確的求出SAANQ=1是解題

的關(guān)鍵.

3.（2024?廣東東莞?二模）獨(dú)輪車(chē)（圖1）俗稱“手推車(chē)”，又名輦、鹿車(chē)等，西漢時(shí)已在一些田間隘道上出

現(xiàn).北宋時(shí)正式出現(xiàn)獨(dú)輪車(chē)名稱，在北方，幾乎與毛驢起同樣的運(yùn)輸作用.如圖2所示為從獨(dú)輪車(chē)中抽象

出來(lái)的幾何模型.在ATIBC中，AB=BC,以ATIBC的邊4B為直徑作O。，交4C于點(diǎn)P,且PD，BC,垂足

為點(diǎn)D.

（1）求證：PD是。。的切線；

（2）若tanC==2,求。。的半徑.

【答案】（1）見(jiàn)詳解

⑵5

【分析】（1）連接0P,由等腰三角形的性質(zhì)可得。PIIBC,繼而可證明PD是。。的切線；

（2）連接PB,可證NC=NBPD,則由tan/BPD=tanC=1可求PD,再運(yùn)用勾股定理求得BP=2西，最后

由八BDPBPC即可求角電

【詳解】（1）證明：連接。P,

\'AB=BC,

Z-A=Z-C,

V0A=OP,

/.Z.OPA=Z-A,

：.^OPA=ZC,

：.0P||BC

:?乙PDC=乙OPD,

又?：PD1BC,

"PDC=90°,

?"OPO=90°,

即PO1OP,

；.PD是。。的切線；

(2)解：連接PB,如圖,

??,/B為直徑，

，乙APB=90°,

工人C+乙PBC=90°,

又?：乙BPD+乙PBC=90°,

AzC=乙BPD,

在Rt△PB。中，

Vtan/LBPD=tanC=-=—=

PDPD2

：.PD=4,

：.BP=V22+42=2V5,

■:乙BDP=乙BPC,乙DBP=乙PBC,

：.△BDP?ABPC,

?BPBD

??—,

BCBP

,2A/5_2

?F=就

解得：BC-10,

：.BA=BC=10,

，。。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定，等腰三角形性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),

等角的三角函數(shù)值相等，正確添加輔助線，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

題型02構(gòu)造A型相似

1.（2020?湖北武漢?一模）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,AC=BC=6,。是4B上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上,

連接CD,4E交于點(diǎn)R若NCFE=45。，BD=2AD,貝l]CE=

A

C

【答案】2

【分析】過(guò)。作DH垂直4C于H點(diǎn)，過(guò)。作DGWE交于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出CD的長(zhǎng)，其次

利用△CDGCBD,求出CG的長(zhǎng)，得出BG的長(zhǎng)，最后利用4BDGBAE,求出BE的長(zhǎng)，最后得出答案.

【詳解】解：如圖：過(guò)。作DH垂直2C于H點(diǎn)，過(guò)。作QGIiaE交于G點(diǎn),

?.,在RtAZBC中，AC=8C=6,

■■.AB=y]AC2+BC2=6a,

又?:BD=2AD,

-,-AD—2>/2,

???在等腰直角三角形AH。中，AH=DH=2,

■■.CH=6-2=4,

在Rt△CHD中，CD=y/CH2+DH2=275,

■■■DGWAE,

:.乙CFE=ACDG=45°,乙B=45°,

?-Z-CDG=(B,

又"DCG=乙BCD,

CDGsXCBD,

CD_CG

''CB-CD'

CD2=CG,CB,

即20=6CG,

?c?cCG=10—,

3

：.BG=BC—CG=6--=-,

33

又,??0GII4E,

???△BDGBAE,

又???BD=2AD,

BD_BG_2

''BA~BE~39

又成=￡

3

???BE=8Gx三=4,

2

，CE=6—4=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做

出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案.

2.（20-21九年級(jí)上?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，已知。是BC的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn).求2MNC的值.

【分析】解法1：過(guò)點(diǎn)。作AC的平行線交BN于點(diǎn)用構(gòu)造“A”型和“8”型，得出ABDHBCWff△DHM-

△4NM,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；

解法2：過(guò)點(diǎn)C作4。的平行線交8N的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,構(gòu)造“A”型和“8”型，得出△BDM“BCH和△4MN-

△CHN,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；

解法3：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,構(gòu)造“A”型和“8”型，得出△AHM八AHN-

△CBN,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；

解法4：過(guò)點(diǎn)。作2N的平行線交AC于點(diǎn)X,根據(jù)三角形中位線定理得出4N=NH=CH,

即可得出答案；

因?yàn)镈H〃4C.

所以△BDH-4BCN,

所以”=也.

CNBC

因?yàn)椤锽C的中點(diǎn)，所以察=案=].

C/vDCN

因?yàn)?。H〃4N,所以ADHM“AANM,

所以竺=也.

ANAM

因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以察=普=1.

ANAM

所以DH=4N,

匚ui、14N1

所以而法?

解法2：如圖3,過(guò)點(diǎn)C作的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

所以翳嚏

因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，所以器=案=5

CHBC2

因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以4M=DM,

匚u、

所以II/M1

7C7H7=Z.

因?yàn)镺M〃CH,

所以A4MNCHN,

所嗒喑1

2

解法3：如圖4,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

因?yàn)樗浴鰽HMSADBM,

匚匚I、］/"AM

所以一BD=——DM

因?yàn)椤盀榈闹悬c(diǎn)，所以AM=DM,所以AH=80.

因?yàn)?H〃BD,所以△AHNs△CBN,

所唱，

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，且4H=8。,

所嗒，嚀

解法4：如圖5,過(guò)點(diǎn)。作BN的平行線交AC于點(diǎn)H.

在△40H中,

因?yàn)镸為AO的中點(diǎn)，MN//DH,

所以N為A”的中點(diǎn)，即AN=NH.

在△CBN中，因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，DH//BN,所以H為CN的中點(diǎn)，即GVHN,

所以4V=NH=CH.

g、［4N1

所以而=1

3.（2020?浙江杭州?一模）如圖，點(diǎn)O是AABC邊BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AB,AC所在直線于

j--(―tABAC

點(diǎn)MK，NT，且茄=m,-=n.

(1)若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn).

①求證：m+n=2；

②求mn的最大值;

(2)若整=k(k#0)求m,n之間的關(guān)系(用含k的代數(shù)式表示).

OB

備用圖

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②mn有最大值1；(2)n=k-km+l.

【分析】設(shè)AM=a,AN=b.由9=m,絲=n可得AB=am,AC=bn,那么MB=MA-AB=a-am=(1

AMAN

-m)a,CN=AC-AN=bn-b=(n-1)b.

(1)①若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)，如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BHIIAC交MN于H,禾!J用ASA證明AOBHmAOCN,

得出BH=CN=(n-1)b.由BH||AN列出比例式"旭=空嚨，求解即可；

ab

②由①的結(jié)論m+n=2得出m=2-n,那么mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+l,根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)即可得出當(dāng)n=l時(shí)，mn有最大值1；

(2)若？=k(k邦)，如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BGIIAC交MN于G,證明AOBG?ZkOCN,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)

0B

(n-l).

邊成比例得出整=骼那么BG=?b.由BGIIAN列出比例式&R=玉二，整理即可得出m,n之間的關(guān)

BGOBkab

系.

【詳解】解：設(shè)AM=a,AN=b.

ABAC

一二m,一

AMAN

??.AB=am,AC=bn,

??.MB=MA-AB=a-am=(1-m)a,CN=AC-AN=bn-b=(n-1)b.

(1)①若點(diǎn)o是線段BC中點(diǎn)，

如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BHIIAC交MN于H,

.-.ZOBH=ZOCN.

在AOBH與AOCN中,

NOBH=乙OCN

OB=OC,

/BOH=乙CON

.-.△OBH^AOCN(ASA),

..BH=CN=(n-1)b.

vBHIIAN,

MB_BH日”(1-匕

------，即------------------，

MAANab

???1-m=n-1,

???m+n=2；

②由①知，m+n=2,

???m=2-n,

???mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+l,

???當(dāng)n=l時(shí)，mn有最大值1；

(2)若歿=k(k#0),

OB

如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BGIIAC交MN于G,

.-.zOBG=zOCN.

在aOBG與ZkOCN中，

(Z-OBG=(OCN

t/BOG=乙CON'

「.△OBG~△OCN,

0=歿，即空I—

BGOBBG

.-.BG=-b.

k

?.BGIIAN,

MBBG即空吻=笠電

，

MAANab

n-l

Al-m=

k

???n=k-km+1.

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例是性質(zhì)，相似三角形的

判定及性質(zhì)，二次函數(shù)最值問(wèn)題，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合運(yùn)用解題是關(guān)鍵.

題型03反A型模型

類型條件圖示結(jié)論

A

反A型模型Z>Z2△ADESAABC,

AD?AC=AE?AB

BAC

作垂線構(gòu)造反“A”字相ZB=90°4為人8上的一A△ADESAABC,AD?AC=AE?

似模型點(diǎn)AB

Bc

1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分另（J在/IB、4c上，AADE=ZC,如果4D=3,zkADE的面積為9,四邊形

BDEC的面積為16,恥4c的長(zhǎng)為

【答案】5

【分析】由/ADE=NC,/DAE=NCAB,根據(jù)相似三角形的判定得到ADAEsaCAB,根據(jù)相似的性質(zhì)

得SADAE：SACAB=（整f，然后把三角形面積代入計(jì)算即可.

【詳解】解：VZADE=ZC,

而/DAE=/CAB,

Z.ADAE^ACAB,

?,?SADAE：SACAB='

,/AADE的面積為9,四邊形BDEC的面積為16,

.,.△ABC的面積=9+16=25,

.?.（明2,

\ACJ25

；.AC=5.

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角分別相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)角

相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，相似三角形面積的比等于相似比的平方.

2.（2020?山東濰坊?二模）如圖，在44BC中，AB=AC,以4c為直徑的。。交8c于點(diǎn)D,交力B于點(diǎn)E,過(guò)

點(diǎn)D作DF14B,垂足為F,連接OE.

（1）求證：直線DF與。。相切；

（2）若力E=7,BC=6,求AC的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）9.

【分析】（1）連接。D,利用4B=4C,OD=OC,證得。易證DF1。。，故OF為。。的切線;

（2）證得48EO-ABCA,求得8E,利用4c=48=4E+BE求得答案即可.

【詳解】證明：連接。D.

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

"：OD=OC,

：.NODC=/C,

：.ZODC=ZB,

：.OD//AB,

■:DF_LAB,

J.ODLDF,

??,點(diǎn)。在。。上，

???直線。尸與。。相切;

(2)解：??,四邊形AC0E是。。的內(nèi)接四邊形,

???ZAE￡>+ZACD=180°,

?.?ZAE￡>+ZBE￡)=180°,

J/BED=/ACD,

NB=/B,

：.LBEDsABCA,

,BDBE

??—f

ABBC

VOD//AB,AO=CO,

：.BD=CD=-BC=3,

2

又,：AE=7,

.3_BE

''7+BE-6'

：.BE=2,

：.AC=AB=AE+BE=1+2=9.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),

連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.

3.(2020?浙江金華?中考真題)如圖，在AABC中，AB=4a,NB=45。,ZC=60°.

(1)求邊上的高線長(zhǎng).

(2)點(diǎn)E為線段48的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF,沿所將△折疊得到△PEF.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求NAEP的度數(shù).

②如圖3,連結(jié)4P,當(dāng)P/LLAC時(shí)，求AP的長(zhǎng).

【答案】（1）4;（2）①90。；②2返

【分析】（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出AD即可.

（2）①證明BE=EP,可得NEPB=NB=45°解決問(wèn)題.

②如圖3中，由（1）可知：AC=-^=—,證明AAEFsZ\ACB,推出竺=竺，由此求出AF即可解決

sm60°3ABAC

問(wèn)題.

【詳解】解：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)

在RtAABD中，AD=AB-sin45°=4V2xy=4.

圖1

(2)①如圖2,AAEF<LPEF,

：.AE=EP.

又；AE=BE,

：.BE=EP,

；.NEPB=NB=45°,

：.ZAEP=90°.

在R3AOC中，AC=^=^.

"：PF±AC,

：.ZPFA=90°.

/\AEF^/\PEF,

：.NAFE=ZPFE=45°,則ZAFE=ZB.

又：/胡P=/。42,

AEAF^ACAB,

.AF_AEAF_2V2

??---------f即Hn—u----7=",

ABAC4V2隨

3

：.AF=2^3,

在RSAFP中，AF=PF,貝lj尸=2，K

圖3

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

4.(2022?湖南長(zhǎng)沙?中考真題)如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。。，對(duì)角線4C,BD相交于點(diǎn)E,點(diǎn)/在邊力。上,

連接EF.

(1)求證：4ABEs4DCE；

(2)當(dāng)撫=CB,NDFE=2NCDB時(shí)，則些一些=；竺+笠=；—+—-

-BECE-----------------ABAD-----------------ABAD

.(直接將結(jié)果填寫(xiě)在相應(yīng)的橫線上)

A2F=_______

(3)①記四邊形48CD,XABE,△CDE的面積依次為S.S^S2,若滿足岔=店+店，試判斷，AABE,A

CDE的形狀，并說(shuō)明理由.

②當(dāng)ETC=CB,AB=m,AD=n,CD=p時(shí)，試用含機(jī)，n,p的式子表示AE,CE.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)0,1,0

(3)①等腰三角形，理由見(jiàn)解析，②呈巴

p2+mn

【分析】(1)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，對(duì)頂角相等，即可得證；

(2)由(1)的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得力=即可得出裝一笑=0,根據(jù)已知條件

BECE

可得EF||AB,FA=FE,即可得出△DFEZMB根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=笠，根據(jù)恒等式變形,

ABAD

進(jìn)而即可求解.

(3)①記A40EAEBC的面積為53同,則S=S1+S2+S3+S4,SrS2=S3s4,根據(jù)已知條件可得S3=S4,

進(jìn)而可得SAMD=SA4DC，得出C0MB,結(jié)合同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明△4B&ADCE是等腰三角形；

②證明△D2Cs&EAB,4DCE“△4。。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出￡;4-4。+?！?2。=4。2=mn+p2,

則AC=Jmn+p2,EC=—=產(chǎn)竺,,AE=AC-CE=.mn,計(jì)算力E-CE即可求解.

ACyjmn+pzy/mn+pz

【詳解】(1)證明：?.?加=左力，

???Z-ACD=Z.ABD,

即=乙DCE,

又(DEC=乙4EB,

???△ABE^△DCE；

(2)???2ABEjDCE,

.AB_BE_AE

''DC~CE~DE'

???AE?CE=BE?DE,

AEDEAECE-BEDE八

??

?-B-E------C-E-=------B-E--C--E-----=0,

??啦=CB,

：.￡.BAC=乙DAC=乙CBD=乙CDB,

:?乙CDB+Z.CBD=180°-乙BCD=乙DAB=2乙CDB,

■:乙DFE=2乙CDB

???乙DFE=/.DAB,

???EFWAB.

???乙FEA=Z-EAB,

???加=CB,

???Z-DAC=Z-BAC

???Z-FAE=Z-FEA,

??.FA=FE,

???EFWAB,

???△DFEDAB,

.EF_DF

,,-9

ABAD

AF,FEEF,AFDF,AFAD.

ABAD-ABAD-ADAD-AD~

AF,AFAF,EF

■:-----1-----=------1-----=14,

ABADABAD

AF,AF?

-----1-----=1f

ABAD

1,11八

-----1------------=0,

ABADAF

故答案為：0,1,0

(3)①記△AO￡■,△E8C的面積為S3，S4，

則S=Sr+S2+S3+S4,

,,_S4_BE

?S3-S2-DE'

SrS2=S3s4①

Vs=

即5=S]+S2+2JS1S2,

*'-S3+S4=2-JS1S2@

由①②可得S3+S4=2店如，

即(疝_店)=0，

???S3=S4,

???S—BE+^LADE=S4ABE+LEBC，

即SfBO=

???點(diǎn)。和點(diǎn)。至MB的距離相等，

???CDWAB,

???Z-ACD=乙BAC,乙CDB=乙DBA,

???Z.ACD=乙ABD,Z.CDB=乙CAB,

???乙EDC=乙ECD=Z.EBA=Z.EAB,

：.△ABEAOCE都為等腰三角形;

②???沃：=既,

Z.DAC=Z.EAB,

Z.DCA=Z.EBA,

DACEAB,

ADAC

---=----,

EAAB

AB=zu,AD=n,CD=p,

???EA?AC=DAxAB=mn,

Z-BDC=Z-BAC=Z.DAC,

???乙CDE=Z.CAD,

又乙ECD=/.DCA,

???△DCEACD,

CDCE

ACCD

???CE-CA=CD2=p2,

???EA?AC+CE-AC=AC2=mn+p2,

??.AE=AC-CE=

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，對(duì)于相似恒

等式的推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題背景】（1）如圖1,AABC中，乙BED=KBCA,求證：竿=咚

ABBC

【問(wèn)題探究】（2）如圖2,△ABC中，N4=90。，BD平分N4BC,CD1BD于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作BC的平行線交4B

于點(diǎn)E,作EF1BC于點(diǎn)F,猜想EF與己有的哪條線段的一半相等，并加以證明；

【問(wèn)題拓展】（3）在（2）上述條件下，當(dāng)FC=AC時(shí)，直接寫(xiě)出NBCD的正切值tan/BCD.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；⑵EF=\AC,證明過(guò)程見(jiàn)解析；⑶tanzBCD=3

【分析】(1)證明△力BCsABDE即可.

(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)M,證明△DCB=△BDM,得到。為MC的中點(diǎn)且乙MBC為等腰三角形，根據(jù)BC||ED,

可證△MEDMBC,可得E為MC中點(diǎn)，即EB=：MB=”C,最后證明△ABCBFE即可得EF=^AC.

(3)設(shè)BE=a,AM=c,由(2)得△BCM為等腰三角形，且BC||ED,E為BM中點(diǎn)，可得EM=ED=BE=a,

/.EDM=Z.EMD,已知AC=C凡EF1BC,EALAC,則可表示ZE=EF,CF,BM=BC,BF,由(2)

得△ZBCsABEF,可得4B=2BF,即可得到a與c的關(guān)系式，可表示AC=4尸的值，最后在RtAAMC中

tanzSCD=tanzM=—,即可得到tan/BCD的值.

AM

【詳解】(1)???在與△BEO中：

.BED=Z.BCA

I乙B=(B

/.△ABC—△BDE

.DB_BE

**AB~BC'

1

(2)EF=-AC.

2

?：BFIBC,

:?乙BFE=^A=90°,

??,在△ZBC與△BEF中:

(Z.BFE=Z.A

tZ-B=ZB

/.△ABCBEF,

?BE_EF

*'BC-AC"

?「BO平分乙4BC,

:.乙CBD=(MBD,

VCD1BD,

：.^MDB=乙MDC=90°

???在Rt△DBM與Rt△CBD^p：

ZCBD=4MBD

BD=BD

/MDB=AMDC

：.Rt△DBM=Rt^CBD(ASA),

：.MD=DC,BM=BC,

?；BC||ED,

：.△MED~AMBC,

：.EM=EB,即E為BM中點(diǎn)，

：.EB=-MB=-BC,

22

??.些=竺=土=±^EF=-AC,

BCACBC22

故EF=\AC.

(3)設(shè)BE=a,AM=c,

?.?由(2)得△BCM為等腰三角形，且BCIIED,E為BM中點(diǎn),

.'.EM=ED=BE=a,乙EDM=乙EMD,

'：AC=CF,EF1BC,EA1AC,

'?AE=EF=a—c,

CF—2a—c9

9CBM=BC=2a,

：.BF=2c,

???由(2)得△ABC八BEF,

.ABACc

??—=2,

BFEF

：.AB=2BF,

2a—c=2-2c,

._5

??CL——Ct

2

AC

?.AC=AF=3c,tanZ-BCD=tanzM=—=3,

故tan/BCO=3.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記相似三角形的判定方法和性質(zhì)

運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

題型04作垂線構(gòu)造反“A”字相似模型

1.（2024九年級(jí)?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，小楊將一個(gè)三角板放在。。上，使三角板的一直角邊經(jīng)過(guò)圓

心。，測(cè)得AC=5an,AB=3cm,則＜3。的半徑長(zhǎng)為.

【分析】作OHLBC于H,如圖，貝|CH=BH,先利用勾股定理計(jì)算出BC=V^,則CH=與，再證明

RtACOHSRSCBA,然后利用相似比計(jì)算OC即可.

【詳解】解：連接BC,作。于X,

貝I]CH=BH,

在RtAACB中,BC^yjAC2+AB2=V34,

：.CH=-2BC=—2,

?：NOCH=/BCA,

.'.RtACOHsRtACBA,

V34

.oc_CH日口oc_-

??方=百'即席=可，

解得，0c=3.4.

故答案為：3.4C777.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半.也考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì).

類型二X型模型

類型X型模型作平行線構(gòu)造X型相似

條件AB//CD*

;DO

圖示ABAB

DC

ADC

結(jié)論△AOBSACOD過(guò)點(diǎn)D作CD〃AB,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,則可構(gòu)造AAOBs^cOD,可得

BOAOAB7

DO~CO~CD~

題型01直接用x型相似

1.（2021?山東聊城?一模）如圖，在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E是力。上一點(diǎn)，AE=2ED,連接BE交4C于點(diǎn)

G,延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則要的值為（）

L

BC

A-IB-1C-1D.-

4

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì),,解決本題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的

性質(zhì)對(duì)邊平行而構(gòu)建相似三角形.

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到4B||CD,則可判斷^ABG八CFG,AABEDFE,于是根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)和力E=2ED即可得結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形4BCD為平行四邊形，

AB||CD,

ABGCFG,

BG_AB

?.GF-CF

ABEs&DFE,

tAE_AB

?*?-9

DEDF

???AE=ZED,

??.AB=2DF,

AB_2

,——，

CF3

BG_2

,GF—3

故選：A.

2.（22-23九年級(jí)上?北京房山?期中）如圖，AD與交于。點(diǎn)，乙4=NC,B0=4,DO=2,AB=3,

求C。的長(zhǎng).

【答案】1.5

【分析】由乙乙40B=〃?！辏究傻贸鯩OB*c。。，利用相似三角形的性質(zhì)可得出色=券，代入

BO=4,DO=2,AB=3,即可求出C。的長(zhǎng).

【詳解】解：與BC交于。點(diǎn)，

??Z-AOB=Z.COD.

,-Z.A=乙C,

COD.

AB_BO

CD~DO

，:BO=4,DO=2,AB=3,

.'.CD=1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式.

3.（2024?廣東東莞.一模）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架4。與CB交于點(diǎn)。,

測(cè)得力。=B0=50cm,CO=D0=30cm.

A，B

D

圖1圖2

⑴若CD=40cm,求ZB的長(zhǎng);

(2)將桌子放平后，兩條桌腿叉開(kāi)角度乙40B=106%求力B距離地面的高.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)值sin37。?

0.60,cos37°x0,80）

【答案】(1)42的長(zhǎng)為罷cm

(2)AB距離地面的高為48cm

【分析】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用,

(1)先證明AAB。s^DC。，再由相似三角形的性質(zhì)求出4B的長(zhǎng)即可;

(2)過(guò)點(diǎn)。作。E于點(diǎn)瓦。尸_LCO于點(diǎn)F,在RtZkO。/中，。尸=。0?sin37。，在RtZkBOE中，0E=

OB-sin37°,EFOE+OF,進(jìn)而作答即可.

【詳解】（1）解：4。=B。=50cm,CO=DO=30cm,

4。8與AC。。是等腰三角形,

???Z.AOB=乙COD,

Z-A=Z-B=乙C=Z.D,

：.LABODCO,

ABAO

CDOD

AB50

4030

200

即4B的長(zhǎng)為等cm；

(2)過(guò)點(diǎn)。作0E14B于點(diǎn)E,OF于點(diǎn)F,如圖,

-AB||CD,

:石、。、上三點(diǎn)共線,

AE，B

C2^D

LFD???^AOB=106°,△4。8與AC。。是等腰三角形,

在RtADOF中，

OF=OD?sin37°?30x0.60=18(cm),

在RtABOE中，

OE-OB-sin37°?50X0.60=30(cm),

EF-OE+OF=30+18=48(cm),

???4B距離地面的高為48cm.

4.(20-21九年級(jí)上?四川達(dá)州?期末)某小區(qū)的居民籌集資金1600元，計(jì)劃在一塊上、下底分別為10m、20m

的梯形空地上種花(如圖所示).

(1)他們?cè)诤汀鰾MC地帶上種植太陽(yáng)花，單價(jià)為8元/濘.當(dāng)△AM。地帶種滿花后(圖中陰影部分)

花了160元，請(qǐng)計(jì)算種滿△而WC地帶所需的費(fèi)用；

(2)若和△DMC地帶要種的有玫瑰花和茉莉花可供選擇，單價(jià)分別為12元/祖2和io元/加2,應(yīng)選擇

哪一種花，剛好用完所籌集的資金？

【答案】(1)640元；(2)茉莉花.

【分析】(1)由梯形的性質(zhì)得到AD平行BC從而得到AAMD和ACMB相似，通過(guò)相似的性質(zhì)即可得到ABMC

的面積，即可算出所需費(fèi)用；

(2)通過(guò)三角形等高時(shí)，得到面積比等于底的比，即可通過(guò)AAMD得到AAMB的面積，同理得到ADMC

的面積，再分別算出種植兩種花時(shí)所需的費(fèi)用，比較大小即可求出結(jié)果.

【詳解】解：⑴,?,四邊形ABC。是梯形，?,.ADIIBC,??.△AMZJsACMB,.?.|黑=端)2=(弟2=%

?種滿地帶花費(fèi)160元，,?.S〃AMO=&=20(m2),.■.SCMB=4SAMD=S0(療)，...種滿△的!〃:地帶所需

8AA

的費(fèi)用為80x8=640(元).

?AM_DM_AD_1

(2)MAMDACMB,MC~MB~BC~2

???△AMD與ZkAMB等高，???①這=—=1,：.SAAMB=2SAMD=40（療）.

SAAMBMB2A

同理可求SADMC=40HT.

當(dāng)△AMB和AOMC地帶種植玫瑰花時(shí)，所需總費(fèi)用為160+640+80x12=1760（元），

當(dāng)AAMB和△￡>MC地帶種植茉莉花時(shí)，所需總費(fèi)用為160+640+80x10=1600（元），

種植茉莉花剛好用完所籌資金.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、梯形的幾何特征，熟知三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?四川廣元?中考真題）如圖，在平行四邊形力BCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，連接4E,若4E的延長(zhǎng)線和

BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

（1）求證：BC=CF；

（2）連接4C和8E相交于點(diǎn)為G,若AGEC的面積為2,求平行四邊形4BCD的面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）24.

【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到。E=再根據(jù)四邊形ABC。是平行四邊形，可以得到

乙ADE=^ECF,再木艮據(jù)A4ED=NCEF,即可得至!]△ADE三△ECF,貝U答案可證；

（2）先證明ZiCEG?△4BG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出SA"G=8,[=笑=；，進(jìn)而得出ZBGC=4，由

GCGEZ

^LABC~S^ABG+S^BCG得S“BC=12,則答案可解?

【詳解】（1）證明：???四邊形A8C0是平行四邊形，

MP//BC,AD=BC,

'-Z-ADE=Z-ECF,

???點(diǎn)E為DC的中點(diǎn),

-'-DE=CE,

在△AOE和中

\LADE=乙ECF

DE=CE

^AED=乙CEF

???△4DE三△ECFQ4s/）,

?.AD=CF,

???BC=CF；

（2）???四邊形ABC。是平行四邊形，點(diǎn)石為。。的中點(diǎn)，

：.AB//DC,AB=2EC,

''Z-GEC=Z.ABG,Z.GCE=Z.GAB,

CEG-△ABG,

???△GEC的面積為2,

二寰=（陽(yáng)=G）=?即S=G=4SACEG=4X2=8,

??,△CEG-△ABG

tAG_AB_1

''GC~CE~21

??,SABGC~2^LABG=5X8=4,

???S—BC=^LABG+S^BCG=8+4=12,

??,S團(tuán)ZBCO=2s=2X12=24.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的

關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

題型02構(gòu)造X型相似

1.（21-22九年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）如圖，G為△A3C的重心，AG=12f則AD=.

【答案】18

【分析】連接CG并延長(zhǎng)交A5于點(diǎn)應(yīng)連接DE,根據(jù)題意，可以得到OE時(shí)△ABC的中位線，從而可以得

到。EIIAC且。E=/C,然后即可得到△DEGsACG,由相似三角形的性質(zhì)得到。G和AG的比值，求出然

后DG,即可得到結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接CG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E,連接。E,

■.?點(diǎn)G是AABC的重心，

.??點(diǎn)E和點(diǎn)。分別是和BC的中點(diǎn)，

.?.OE是AABC的中位線，

■■.DEWACS.DE=^AC,

:ADEGfACG,

DE_DG_1

'"AC~AG_29

?.AG=12,

??￡）G=6,

?.AD=AG+GD=1S.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形

結(jié)合的思想解答.

2.（20-21八年級(jí)下?湖南常德?期中）如圖在平行四邊形A8CD中，E是C。的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交

BE于點(diǎn)G,若BE=8,則GE=_.

【答案】2

【分析】延長(zhǎng)C尸、BA交于M,根據(jù)已知條件得出EF=AF,CE=^DC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DCWAB,

DC=AB,根據(jù)全等三角形的判定得出ACE/WAMAR根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE^AM,求出BM=3CE,

根據(jù)相似三角形的判定得出ACEGsAMBG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)CF、BA交于

???E是CD的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn),

：.EF=AF,CE=^DC,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

■■.DCWAB,DC=AB,

..CE=±AB,乙ECF=^M,

2

在aCE尸和△MA尸中

Z-EFC=^AMF

乙ECF=Z-M，

、EF=AF

.MCEF三AMAF(A4S),

..CE=AM,

-CE=-AB.

2

??.BM=3CE,

-DCWAB,

?*.△CEG~AMBG,

CE_EG_1

"'BM-BG-3’

???3E=8,

GE_1

：t?——f

8-GE3

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和

判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

3.(20-21九年級(jí)上.全國(guó)?課后作業(yè))已知：如圖，在AABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE||BC,

點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA,CF與DE相交于點(diǎn)G.

(1)求證：DF?AB=BC?DG；

(2)當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG.

【分析】(1)由BC2=BF?BA,NABC=NCBF可判斷ABACSABCF,再由DEIIBC可判斷ABCFSADGF,

所以△DGFBAC,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)作AHIIBC交CF的延長(zhǎng)線于H,如圖，易得AHIIDE,由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)得AH=2EG,再利用AHIIDG

可判定△4HF-ADGF,則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得黑=黑，然后利用等線段代換即可.

DGDF

【詳解】證明：(1)VBC2=BF?BA,

??.BC：BF=BA：BC,

而NABC=NCBF,

BAC?&BCF,

vDEIIBC,

???△BCFDGF,

??????△DGFBAC,

.-.DF：BC=DG：BA,

???DF?AB=BC?DG；

(2)作AHIIBC交CF的延長(zhǎng)線于H,如圖，

???DEIIBC,

???AHIIDE,

??,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

EG為4的中位線,

??.AH=2EG,

vAHHDG,

??????AAHFDGF,

AH_AF

?*,—，

DGDF

t2EG_AF

,?=~j

DGDF

即2DF?EG=AF-DG.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相

似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要通過(guò)相似比得到線段之間的關(guān)系.

(2)求證：DA，OC=OD，CE.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角的和差得到/2=NADE，由于黑=照=1,根據(jù)SAS得到結(jié)

BCDE

論；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到于是得到/A4r>=NC4E=/COE,證得ACOD^AEOA,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到第=絡(luò)由NAOO=/COE,推出△AOOSACOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

OEOA

可得到結(jié)論.

【詳解】（1）?：/ADC=NABC+/BAD=NADE+NEDC,

：.ZB=ZADE,

,.BA_DA_（

?--------1，

BCDE

：.△ABCS/XAQE；

（2）VAABC^AADE,

ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE=ZCDE,

,：ZCOD=ZEOA,

：./\COD^/\EOA,

.OC_OD

'"OE-OA'

,/ZAOD=ZCOE,

：./\AOD^/\EOC,

：.DA：CE=OD：OC,

即DA?OC=OD?CE.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是

解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1,等邊△力BC中，G為BC中點(diǎn)，D、E分別是BC、4C上的

兩點(diǎn)，BD=CE.

圖1圖2

⑴求證：^BAD=乙CBE；

(2)H為EF上一點(diǎn)，若N8HG+"FH=90。，求色的值；

FH

遷移