高考備考資料之?dāng)?shù)學(xué)人教A版全國用課件94直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

§9.4

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系.

?相交；

?相切；

?相離.知識梳理d<rd>rd＝r相交相離相切2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝

(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝

(r2>0).

方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離________________外切______________________相交__________________________________內(nèi)切_____________________________內(nèi)含__________________________d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解一組實(shí)數(shù)解兩組不同的實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無解1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條.(2)當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.(

)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(

)(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(

)(4)過圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(

)基礎(chǔ)自測×××√123456(5)過圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)(6)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切.(

)√√123456題組二教材改編2.[P128T4]若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[－3，－1]

B.[－1,3]C.[－3,1]

D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案√解析123456幾何畫板展示3.[P133A組T9]圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為____.答案得兩圓公共弦所在直線為x－y＋2＝0.解析123456題組三易錯自糾4.若直線l：x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2,1)，半徑為2，圓心到直線的距離d＝

，解析答案√1234565.(2018·石家莊模擬)設(shè)圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于A.4 B.4

C.8

D.8解析因為圓C1，C2和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4,1)，所以兩圓都在第一象限內(nèi)，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，a)，解析答案√1234566.過點(diǎn)A(3,5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為________________________.解析5x－12y＋45＝0或x－3＝0答案123456123456解析化圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1,2)，顯然，當(dāng)切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x－3＝0，當(dāng)切線斜率存在時，可設(shè)所求切線方程為y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.故所求切線方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.題型分類深度剖析1.已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是A.相切 B.相交

C.相離

D.不確定題型一直線與圓的位置關(guān)系自主演練答案√解析因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，解析所以直線與圓相交.2.圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為A.相離

B.相切C.相交

D.以上都有可能答案√解析直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(diǎn)(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C.解析判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.思維升華典例

已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為題型二圓與圓的位置關(guān)系師生共研解析由圓C1與圓C2外切，解析答案√1.若將本典例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值.引申探究解答2.若將本典例條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?，求公共弦所在的直線方程.解答解由題意把圓C1，圓C2的方程都化為一般方程，得圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，

①圓C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，

②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0為所求公共弦所在直線方程.判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般用幾何法，其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論.思維升華解析跟蹤訓(xùn)練(2017·重慶調(diào)研)如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________________.答案解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.命題點(diǎn)1求弦長問題典例(2016·全國Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－

＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則|CD|＝___.題型三直線與圓的綜合問題多維探究解析4答案解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.命題點(diǎn)2直線與圓相交求參數(shù)范圍典例

已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；解答解由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，解答解設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以l的方程為y＝x＋1.故圓心C在l上，所以|MN|＝2.命題點(diǎn)3直線與圓相切的問題典例

已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；解答解設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；解答解設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，(3)過切點(diǎn)A(4，－1).解答∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)過點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________.解析答案由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，(2)過點(diǎn)P(2,4)引圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為___________________.答案解析x＝2或4x－3y＋4＝0解析當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即4x－3y＋4＝0.綜上，切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.高考中與圓交匯問題的求解高頻小考點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問題及直線與圓相結(jié)合的題目是近年來高考高頻小考點(diǎn).與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化；直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì).考點(diǎn)分析一、與圓有關(guān)的最值問題典例1

(1)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則

的最大值為A.6 B.7

C.8 D.9解析答案√解析∵A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓的直徑，解析答案√二、直線與圓的綜合問題典例2

(1)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于解析答案解析由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.√(2)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為解析答案√解析∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)O在圓C上.設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，∴當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|.課時作業(yè)1.已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得的弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是A.－2 B.－4 C.－6 D.－8基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析答案√解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故選B.2.圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為

的點(diǎn)共有A.1個

B.2個

C.3個

D.4個解析圓的方程可化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心(－1，－2)到直線的距離

，半徑是2

，結(jié)合圖形可知有3個符合條件的點(diǎn).解析答案√123456789101112131415163.(2018·福州模擬)過點(diǎn)P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為答案12345678910111213141516√解析圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以|PC|＝＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－

.解析4.(2017·廣州調(diào)研)若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(4,0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有A.1條

B.2條

C.3條

D.4條答案√12345678910111213141516解析

如圖，分別以A，B為圓心，1,2為半徑作圓.由題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線).解析5.(2017·福建漳州八校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)是圓x2＋y2＝r2內(nèi)的一點(diǎn)，直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線l的方程為ax＋by＝r2，那么A.m∥l，且l與圓相交

B.m⊥l，且l與圓相切C.m∥l，且l與圓相離

D.m⊥l，且l與圓相離解析答案√12345678910111213141516解析∵點(diǎn)P(a，b)(ab≠0)在圓內(nèi)，∴a2＋b2<r2.∵圓x2＋y2＝r2的圓心為O(0,0)，故由題意得OP⊥m，12345678910111213141516∴m∥l，l與圓相離.故選C.6.(2018·洛陽二模)已知圓C的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為x＋y＝2，過圓C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線交l于點(diǎn)A，則|PA|的最小值為解析答案12345678910111213141516√解析方法一由題意可知，直線PA與坐標(biāo)軸平行或重合，不妨設(shè)直線PA與y軸平行或重合，設(shè)P(cosα，sinα)，則A(cosα，2－cosα)，123456789101112131415167.(2016·全國Ⅲ)已知直線l：x－

y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝___.解析123456789101112131415164答案令y＝0，則xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.8.(2017·蘭州調(diào)研)點(diǎn)P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________.12345678910111213141516解析把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圓C1的圓心坐標(biāo)是(4,2)，半徑是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是(－2，－1)，半徑是2.解析答案9.過點(diǎn)P(1，

)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則

＝_____.解析由題意，得圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，解析答案12345678910111213141516則|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_____.解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1，圓心為(4,0).由題意知(4,0)到kx－y－2＝0的距離應(yīng)不大于2，解析12345678910111213141516答案11.已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P運(yùn)動到(1,3)處，求此時切線l的方程；解答12345678910111213141516解把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心為C(－1,2)，半徑r＝2.當(dāng)l的斜率不存在時，此時l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿足條件.當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，得l的方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，12345678910111213141516即3x＋4y－15＝0.綜上，滿足條件的切線l的方程為x＝1或3x＋4y－15＝0.12345678910111213141516(2)求滿足條件|PM|＝|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程.解答12345678910111213141516解設(shè)P(x，y)，則|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴點(diǎn)P的軌跡方程為2x－4y＋1＝0.12.已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.(1)求圓C的方程；解答12345678910111213141516所以圓C的方程為x2＋y2＝4.(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解答12345678910111213141516解當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345678910111213141516即2x1x2－(t＋1)(x1＋x