第三課時(shí) 解三角形的綜合應(yīng)用

第三課時(shí)解三角形的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一多邊形中的解三角形問題例1(2024·青島質(zhì)檢)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2AD＝4，BD＝BC，∠DBC＝eq\f(π,2)，∠DAB＝θ，sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(7),4).(1)求△ABD的面積；(2)求線段AC的長度．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．訓(xùn)練1如圖，在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，AC＝eq\r(2)，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，CD＝eq\r(3).(1)求∠ADC的值；(2)求△BCD的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)二三角形中的最值(范圍)例2(12分)(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B).(1)若C＝eq\f(2π,3)，求B；(2)求eq\f(a2＋b2,c2)的最小值．[思路分析](1)化簡條件式，利用C＝eq\f(2π,3)消去角A得到角B的三角方程，即可求解．(2)利用條件式得到A，B的關(guān)系式，利用正弦定理把eq\f(a2＋b2,c2)轉(zhuǎn)化為B的三角函數(shù)式，利用基本不等式求其最小值．[規(guī)范解答]解(1)因?yàn)閑q\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B)，所以eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(2sinBcosB,1＋2cos2B－1)，→eq\a\vs4\al(化倍角為單角以利于計(jì)算)所以eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sinB,cosB)，(2分)所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，eq\x(所以cos（A＋B）＝sinB②)，(4分)→由cos(A＋B)＝－cosC，C＝eq\f(2π,3)，進(jìn)而求B所以sinB＝－cosC＝－coseq\f(2π,3)＝eq\f(1,2).因?yàn)锽∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))eq\s\up12(①)，所以B＝eq\f(π,6).(5分)→eq\a\vs4\al(利用B的范圍求B)(2)eq\x(由（1）得cos（A＋B）＝sinB，)→eq\a\vs4\al(利用（1）題的結(jié)論)所以sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（A＋B）))＝sinB，且0<A＋B<eq\f(π,2)，所以0<B<eq\f(π,2)，0<eq\f(π,2)－(A＋B)<eq\f(π,2)①，→eq\a\vs4\al(根據(jù)B與\f(π,2)－（A＋B）的范圍確定其關(guān)系)所以eq\f(π,2)－(A＋B)＝B，解得A＝eq\f(π,2)－2B，(8分)由正弦定理得eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(sin2A＋sin2B,sin2C)→eq\a\vs4\al(利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化)＝eq\f(sin2A＋sin2B,1－cos2C)＝eq\f(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2B))＋sin2B,1－sin2B)②→eq\a\vs4\al(消去角A以利求解)＝eq\f(cos22B＋sin2B,cos2B)＝eq\f(（2cos2B－1）2＋1－cos2B,cos2B)＝eq\f(4cos4B－5cos2B＋2,cos2B)＝4cos2B＋eq\f(2,cos2B)－5③→eq\a\vs4\al(化為基本不等式的形式)(10分)≥2eq\r(4cos2B·\f(2,cos2B))－5＝4eq\r(2)－5③，當(dāng)且僅當(dāng)cos2B＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)，→eq\a\vs4\al(驗(yàn)證取等號(hào)的條件)所以eq\f(a2＋b2,c2)的最小值為4eq\r(2)－5.(12分)[滿分規(guī)則]?得步驟分①處的實(shí)質(zhì)都是解三角方程，都要注意寫清楚角的范圍，否則易失步驟分．?得關(guān)鍵分②處消去角A是本題得解的關(guān)鍵所在．?得計(jì)算分③處利用基本不等式求最小的關(guān)鍵是把目標(biāo)函數(shù)化為其適用形式．訓(xùn)練2(2024·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)在下面的三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到問題中，并給出解答．①2a－b＝2ccosB，②sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,6)))＝cosC＋eq\f(1,2)，③m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且________．(1)求角C；(2)若c＝eq\r(3)，求△ABC周長的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)三三角形中的證明問題例3(2022·全國乙卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)若A＝2B，求C；(2)證明：2a2＝b2＋c2.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升對(duì)于解三角形中的證明問題，要仔細(xì)觀察條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者的差異，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉(zhuǎn)換為結(jié)論，即為證明過程．訓(xùn)練3(2024·開封調(diào)研)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin(B－C)·tanA＝sinBsinC.(1)若A＝B，求sin2A的值；(2)證明eq\f(a2＋b2,c2)為定值．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________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