第4章 一元一次方程（壓軸必刷30題3種題型專項訓(xùn)練）原卷版-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊

第4章一元一次方程（壓軸必刷30題3種題型專項訓(xùn)練）

一.一元一次方程的解（共2小題）

1.（2022秋?啟東市校級月考）我們規(guī)定，若關(guān)于尤的一元一次方程or=b的解為x=b-a,則稱該方程為

“差解方程”，例如：2x=4的解為2,且2=4-2,則方程2x=4是差解方程.

請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

（1）判斷3x=4.5是否是差解方程；

（2）若關(guān)于x的一元一次方程5工=%+1是差解方程，求的值.

2.（2022秋?宿城區(qū)期中）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程水=6的解為6-a,則稱該方程為“差解方

程”，例如：2尤=4的解為2,且2=4-2,則方程2x=4是差解方程.

請根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題：

（1）判斷3x=4.5是否是差解方程；

（2）若關(guān)于x的一元一次方程6X=?7+2是差解方程，求m的值.

二.解一元一次方程（共3小題）

3.（2021秋?高新區(qū)期末）用“*”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)。和6,規(guī)定a*6=a廿+2"+a.

如：1*3=1X32+2X1X3+1=16

（1）求2*（-2）的值；

（2）若2*x=m,（1x）*3=n（其中x為有理數(shù)），試比較如〃的大?。?/p>

（3）若［（^|^）*（-3）］*=。+4,求a的值.

4.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，小明在一張紙面上畫了一條數(shù)軸，折疊紙面，使表示數(shù)-1的點與

表示數(shù)5的點重合，請你回答以下問題：

（1）表示數(shù)-2的點與表示數(shù)的點重合；表示數(shù)7的點與表示數(shù)的點重合.

（2）若數(shù)軸上點A在點B的左側(cè)，A,2兩點之間的距離為12,且A,8兩點按小明的方法折疊后重合，

則點A表示的數(shù)是;點8表示的數(shù)是；

（3）已知數(shù)軸上的點M分別到（2）中A,8兩點的距離之和為2022,求點〃表示的數(shù)是多少？

??1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-101234567

5.（2021秋?涕陽市期末）閱讀理解學(xué)：

我們都應(yīng)該知道，任何無限循環(huán)小數(shù)都應(yīng)該屬于有理數(shù)，那是因為所有無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)形

式，而分數(shù)屬于有理數(shù).那么無限循環(huán)小數(shù)怎么化成分數(shù)呢？下面的學(xué)習(xí)材料會告訴我們原因和方法：

問題：利用一元一次方程將0.:化成分數(shù).

設(shè)0.7=尤.

由0.7=0.7777-,可知10X0.7=7777-=7+0.7777-=7+0.p

即10x=7+x.

可解得xJ，即工.

（1）將0.g直接寫成分數(shù)形式為.

（2）請仿照上述方法把下列小數(shù)化成分數(shù)，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程.

①0.27;

?0.136.

三.一元一次方程的應(yīng)用（共25小題）

6.（2022秋?高新區(qū)期末）甲、乙兩個旅行團同時去蘇州旅游，已知乙團人數(shù)比甲團人數(shù)多4人，兩團人數(shù)

之和恰等于兩團人數(shù)之差的18倍.

（1）問甲、乙兩個旅行團的人數(shù)各是多少？

（2）若乙團中兒童人數(shù)恰為甲團中兒童人數(shù)的3倍少2人，某景點成人票價為每張100元，兒童票價是

成人票價的六折，兩旅行團在此景點所花費的門票費用相同，求甲、乙兩團兒童人數(shù)各是多少？

7.（2022秋?興化市校級期末）甲、乙兩班學(xué)生到集市上購買蘋果，蘋果的價格如表:

購買蘋果數(shù)不超過30千克30千克以上但不超50千克以上

過50千克

每千克價格3元2.5元2元

甲班分兩次共購買蘋果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班則一次購買蘋果80千克.

（1）乙班比甲班少付出多少元？

（2）甲班第一次、第二次分別購買蘋果多少千克？

8.（2023秋?海門市校級月考）已知A、B、C三點在同一條數(shù)軸上，點A、8表示的數(shù)分別為-2,18,點

C在原點右側(cè)，且

4

（1）A、8兩點相距個單位；

（2）求點C表示的數(shù)；

（3）點尸、。是該數(shù)軸上的兩個動點，點尸從點A出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，點。

從點8出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，它們同時出發(fā)，運動時間為f秒，求當f為何值

時，P、。兩點到C點的距離相等？

9.（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）揚子江藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品的長方體包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示.根

據(jù)圖中數(shù)據(jù)，如果長方體盒子的長比寬多4c7",求這種藥品包裝盒的體積.

37cm

高

寬

18cm

長

10.（2023秋?濱?？h月考）生活與數(shù)學(xué)

0一二三四五六

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

(1)山姆同學(xué)在某月的日歷上圈出2X2個數(shù)，如圖1,正方形的方框內(nèi)的四個數(shù)的和是48,那么這四

個數(shù)是.

XXX

圖1圖2圖3

(2)小麗也在上面的日歷上圈出2X2個數(shù)，如圖2,斜框內(nèi)的四個數(shù)的和是46,則它們分別

是.

(3)劉莉也在日歷上圈出5個數(shù)，呈十字框形，如圖3,它們的和是55,則中間的數(shù)是.

(4)某月有5個星期日的和是75,則這個月中最后一個星期日是號？

11.(2022秋?興化市校級月考)結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)探究：

①數(shù)軸上表示5和2的兩點之間的距離是.

②數(shù)軸上表示-1和-5的兩點之間的距離是.

③數(shù)軸上表示-3和4的兩點之間的距離是.

(2)歸納：

一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)6的兩點之間的距離等于.

(3)應(yīng)用：

①若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與3之間，則|a+4|+|a-3|的值=.

②若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a-l|=|a+3|,貝Ua=.

③若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，|a-l|+|a+2|的最小值是.

④若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a+3|+|a-5|>8,則有理數(shù)a的取值范圍是.

（4）拓展：

已知，如圖2,A、8分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為-20,2點對應(yīng)的數(shù)為100.若當電子螞蟻尸

從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻。恰好從8點出發(fā)，以3單位/秒的

速度向左運動，求經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個單位長度，并寫出此時點P所表示的

數(shù).

一5一4一3—2—1012345

圖1

AB

—1----------------------1----->

-20100

圖2

12.（2022秋?海安市月考）已知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB=2

（單位長度），慢車長CD=4（單位長度），設(shè)正在行駛途中的某一時刻，如圖，以兩車之間的某點。為

原點，取向右方向為正方向畫數(shù)軸，此時快車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是m慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)

是b.若快車A8以6個單位長度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛，同時慢車以2個單位長度/秒的速度

向左勻速繼續(xù)行駛，且|a+8|+（b-16）2=0.

（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距單位長度；

（2）從此時刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車行駛到車頭AC相距8個單位長度？

（3）此時在快車A8上有一位愛動腦筋的七年級學(xué)生乘客P,他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時間/秒鐘，他的位

置P到兩列火車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾B、D的距離和是一個不變的值（即PA+PC+PB+PD

為定值）.你認為學(xué)生尸發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論是否正確？若正確，求出這個時間及定值；若不正確，請說明理

由.

______II111.

BAOCD

13.（2022秋?淮陰區(qū)期中）據(jù)電力部門統(tǒng)計，每天8：00至21：00是用電高峰期，簡稱“峰時”，21：00

至次日8：00是用電低谷期，簡稱“谷時”.為了緩解供電需求緊張的矛盾，我市電力部門擬逐步統(tǒng)一換

裝“峰谷分時”電表，對用電實行“峰谷分時電價”新政策，具體見下表：

時間換表前換表后

峰時（8：00-21：00）谷時（21：00-8：00）

電價每度0.52每度0.55元每度0.30元

元

小明家對換表后最初使用的95度電進行測算，經(jīng)測算比換表前使用95度電節(jié)約了5.9元，問小明家使

用“峰時”電和“谷時”電分別是多少度？

14.（2022秋?姜堰區(qū)期中）閱讀理解：M、N、尸為數(shù)軸上三點，若點尸到M的距離是點尸到N的距離的

k（Q0）倍，即滿足左.PN時，則稱點P關(guān)于M、N的“相對關(guān)系值”為左.例如，當點M、N、

產(chǎn)表示的數(shù)分別為0、2、3時，PM=3PN,則稱點尸關(guān)于M、N的“相對關(guān)系值”為3；PN=LMN,則

2

稱點N關(guān)于尸、M的“相對關(guān)系值”為上.

2

如圖，點A、B、C、。在數(shù)軸上，它們所表示的數(shù)分別為-I、2、6、-6.

DAOBC

?1,1???

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

（1）原點。關(guān)于A、8的“相對關(guān)系值“為a,原點。關(guān)于8、A的“相對關(guān)系值”為6,則。

=，b=.

（2）點E為數(shù)軸上一動點，點E所表示的數(shù)為x,若x滿足|x+3|+|x-2|=5,且點E關(guān)于C、。的“相對

關(guān)系值”為％,則人的取值范圍是.

（3）點尸從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向左運動，設(shè)運動時間為f（f>0）秒，當經(jīng)過t秒時，

C、D、尸三點中恰有一個點關(guān)于另外兩點的“相對關(guān)系值”為2,求r的值.

15.（2022秋?蘇州期中）【問題背景】落實“雙減”政策后，某校開展了豐富多彩的科技活動.如圖1,電

子螞蟻尸、。在長18分米的賽道上同時相向勻速運動，電子螞蟻尸從A出發(fā)，速度為4分米/分鐘,

電子螞蟻。從B出發(fā)，速度為2分米/分鐘，當電子螞蟻尸到達8時，電子螞蟻P,。停止運動.經(jīng)過幾

分鐘尸，。之間相距6分米？

【問題解決】小辰同學(xué)在學(xué)習(xí)《有理數(shù)》之后，發(fā)現(xiàn)運用數(shù)形結(jié)合的方法建立數(shù)軸可以較快地解決上述

問題：如圖2,將點A與數(shù)軸的原點。重合，點8落在正半軸上.設(shè)運動的時間為f（0W/W4.5）.

（1）/分鐘后點尸在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是；點。對應(yīng)的數(shù)是；（用含f的代數(shù)式

表示）

（2）我們知道，如果數(shù)軸上N兩點分別對應(yīng)數(shù)小小則川.試運用該方法求經(jīng)過幾分鐘

P,。之間相距6分米？

（3）在賽道AB上有一個標記位置C,AC=6.若電子螞蟻尸與標記位置C之間的距離為a,電子螞蟻

Q與B之間的距離為b.在運動過程中，是否存在某一時刻t,使得。+6=4?若存在，請求出運動的時

間；若不存在，請說明理由.

ABAB

IIII.

（圖1）°（圖2）

16.（2022秋?海陵區(qū)校級月考）閱讀理解，完成下列各題:

定義：已知A、3、C為數(shù)軸上任意三點，若點C到點A的距離是它到點B的距離的3倍，則稱點C是

［A,3的3倍點，例如：如圖1,點C是［A,a的3倍點，點。不是［A,B］的3倍點，但點。是由，A］

的3倍點，根據(jù)這個定義解決下面問題：

⑴在圖1中，點A［C,0的3倍點（填寫“是”或“不是”［D,C］的3倍點是點（填

寫A或B或C或。）；

（2）如圖2,M、N為數(shù)軸上兩點，點M表示的數(shù)是-3,點N表示的數(shù)是5,若點E是［M,N］的3倍

點，則點E表示的數(shù)是；

（3）若P、Q為數(shù)軸上兩點，點尸在點。的左側(cè)，PQ=a,一動點X從點尸出發(fā)，以每秒3個單位長

度的速度沿數(shù)軸向右運動，設(shè)運動時間為t秒，求當f為何值時，點以恰好是P和Q兩點的3倍點？（用

含a的代數(shù)式表示）

-1------1--------1-----1-------!-------1-----IIIIIIIII［I

-3-2-10123-4-3-2-10123456

圖1圖2

17.（2022秋?昆山市校級月考）如圖所示，將連續(xù)的奇數(shù)1,3,5,7…排列成如下的數(shù)表，用十字形框框

出5個數(shù).

探究規(guī)律一：設(shè)十字框中間的奇數(shù)為無，則框中五個奇數(shù)的和用含X的整式表示為,這說明被

十字框框中的五個奇數(shù)的和一定是正整數(shù)p5>1）的倍數(shù)，這個正整數(shù)p是.

探究規(guī)律二：落在十字框中間且位于第二列的一組奇數(shù)是15,27,39-,則這一組數(shù)可以用整式表示為

12/71+3（機為正整數(shù)），同樣，落在十字框中間且位于第三列的一組奇數(shù)可以表示為；（用

含m的式子表示）

運用規(guī)律

（1）被十字框框中的五個奇數(shù)的和可能是625嗎？若能，請求出這五個數(shù)，若不能，請說明理由.

（2）請問（1）中的十字框中間的奇數(shù)落在第幾行第幾列？

1357911

131517fl9l2123

2527[29~31司35

3739彳口43K47

18.（2022秋?廣陵區(qū)校級月考）從泰州乘“K”字頭列車A、“T”字頭列車8都可直達南京，已知A車的平

均速度為SQkm/h,B車的平均速度為A車的1.5倍，且行完全程B車所需時間比A車少40分鐘.

（1）求泰州至南京的鐵路里程；

（2）若兩車以各自的平均速度分別從泰州、南京同時相向而行，問經(jīng)過多少時間兩車相距40加1?

19.（2022秋?江都區(qū)月考）某地的一種綠色蔬菜，在市場上若直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后

銷售，每噸利潤4000元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤7000元.當?shù)匾患夜粳F(xiàn)有這種蔬菜140噸，該

公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸，如果對蔬菜進行精加工，每天可

加工6噸，但每天兩種方式不能同時進行.受季節(jié)等條件的限制，必須用15天時間將這批蔬菜全部銷售

或加工完畢.為此，公司研制了三種方案：

方案一：將蔬菜全部進行粗加工；

方案二：盡可能地對蔬菜進行精加工，沒來得及加工的蔬菜，在市場上直接出售；

方案三：將一部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并剛好15天完成.

如果你是公司經(jīng)理，你會選擇哪一種方案，說說理由.

20.（2023秋?錫山區(qū)期中）如圖，數(shù)軸上有A、B、C、。四點，點。對應(yīng)的數(shù)為無，已知。4=5,。8=3,

CD=2,P、Q兩點同時從原點0出發(fā)，沿著數(shù)軸正方向分別以每秒鐘a和6個單位長度的速度運動,

且a<b.點。到點。后立即朝數(shù)軸的負方向運動，速度不變，在點C處與點P相遇，相遇后點P也立

即朝著數(shù)軸的負方向運動，且P點的速度變?yōu)?a,。點的速度不變.

（1）尸、Q兩點相遇時，點P前進的路程為；Q、P兩點相遇前的速度比電

a

=；（用含有x的式子表示）

（2）若點B為線段的中點，①此時，點。表示的數(shù)x=；

②相遇后，當點尸到達點A處時，點。在原點。的（填“左”或“右”）側(cè)，并求出此時點0

在數(shù)軸上所表示的數(shù)字；

（3）在（2）的條件下，當點P到達點A處時，立即掉頭朝數(shù)軸的正方向運動，速度變?yōu)?a,點。的速

度始終不變，這兩點在點M處第二次相遇,則點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)字為.

A0BCDA0BcD

（備用圖）

21.（2023秋?沐陽縣校級月考）探索規(guī)律：將連續(xù)的偶2,4,6,8,排成如圖:

246810

1214161820

2224262830

32343638-10

（1）十字框中的五個數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系？

（2）設(shè)中間的數(shù)為無，用代數(shù)式表示十字框中的五個數(shù)的和；

（3）若將十字框上下左右移動，可框住另外的五位數(shù)，其它五位數(shù)的和能等于2010嗎？如能，寫出這

五位數(shù)，如不能，說明理由.

22.（2021秋?姑蘇區(qū)校級期末）為增強公民節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用“階梯收費”，標準如下

表:

用水量單價

不超過6m3的部分27E/m3

超過6m3不超過10m3的部分47E/m3

超出102的部分8元加

譬如：某用戶2月份用水9:/,則應(yīng)繳水費：2X6+4X（9-6）=24（元）

（1）某用戶3月用水15/應(yīng)繳水費多少元？

（2）已知某用戶4月份繳水費20元，求該用戶4月份的用水量；

（3）如果該用戶5、6月份共用水20加（6月份用水量超過5月份用水量），共交水費64元，則該戶居

民5、6月份各用水多少立方米？

23.（2021秋?惠山區(qū)期末）【探索新知】

如圖1,點C將線段A3分成AC和2C兩部分，若BC=nAC,則稱點C是線段AB的圓周率點，線段

AC,稱作互為圓周率伴侶線段.

（1）若AC=3,貝I]A8=；

（2）若點。也是圖1中線段AB的圓周率點（不同于C點），貝UAC（填“=”或“#"）

【深入研究】

如圖2,現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿

數(shù)軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置.

（3）若點M、N均為線段OC的圓周率點，求線段的長度.

（4）在圖2中，若點。在射線0C上，且線段CZ）與圖中以0、C、。中某兩點為端點的線段互為圓周

率伴侶線段，直接寫出D點所表示的數(shù).

24.（2022秋?江都區(qū)校級月考）元旦期間，某商場打出促銷廣告（如下表）

優(yōu)惠一次性購物一次性購物一次性購物

條件不超過200元超過200元但不超過超過500元

500元

優(yōu)惠無優(yōu)惠全部按9折優(yōu)惠其中500元仍按9折優(yōu)惠，

辦法超過500元部分按8折優(yōu)惠

小明媽媽第一次購物用了134元，第二次購物用了490元.

（1）小明媽媽第一次所購物品的原價是元；

（2）小明媽媽第二次所購物品的原價是多少元？（寫出解答過程）

（3）若小明媽媽將兩次購買的物品一次性買清，可比兩次購買節(jié)省多少元?

25.（2022秋?梁溪區(qū)校級月考）在數(shù)軸上A點表示數(shù)a,8點表示數(shù)6,且a、b滿足|a+2|+|b-4|=0；

（1）點A表示的數(shù)為；點B表示的數(shù)為；

（2）如果M、N為數(shù)軸上兩個動點，點〃從點A出發(fā)，速度為每秒1個單位長度；點N從點B出發(fā),

速度為點A的3倍，它們同時向左運動，點。為原

點.-5-4-3-2-1012345**-5-4-3-2-1012345**-5-4-3-2-1012345>

當運動2秒時，點M、N對應(yīng)的數(shù)分別是、.

當運動f秒時，點M、N對應(yīng)的數(shù)分別是、.（用含f的式子表示）運動多

少秒時，點M、N、。中恰有一個點為另外兩個點所連線段的中點？（可以直接寫出答案）

26.（2022秋?興化市校級月考）如圖，已知A、8分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為-20,8點對應(yīng)的

數(shù)為80.

-2080

AR

（1）請直接寫出A8的中點M對應(yīng)的數(shù)；

（2）現(xiàn)在有一只電子螞蟻尸從A點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻。恰好

從B點出發(fā)，以3個單位/秒的速度向左運動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，請求出C點對應(yīng)

的數(shù)是多少；

（3）若當電子螞蟻尸從A點出發(fā)時，以2個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B

點出發(fā)，以3個單位/秒的速度向左運動，經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距25個單位長度？

27.（2022秋?昆山市校級月考）在購買足球賽門票時，設(shè)購買門票張數(shù)為無（張），現(xiàn)有兩種購買方案：

方案一:若單位贊助廣告費10000元,則該單位購買門票的價格為60元（總費用=廣告贊助費+門票費）.

方案二：若購買的門票數(shù)不超過100張，每張100元，若所購門票超過100張，則超出部分按八折計算.

解答下列問題：

（1）方案一中，用含x的代數(shù)式來表示總費用為.方案二中，當購買的門票數(shù)x不

超過100張時，用含x的代數(shù)式來表示總費用為