二次根式知識(shí)歸納與題型突破（13類題型清單）解析版-2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

二次根式知識(shí)歸納與題型突破（13類題型）

01思維導(dǎo)圖

1二次頰的疑

二次根式2二次取有無(wú)意義的條件

3.二次儂的性質(zhì)

1.最簡(jiǎn)二次根式

最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式

二次根式2.同類二次根式

1.二次根式的乘法

2.二次取的觸

二次根式的運(yùn)算

3二次根式的融

4二欠根式的混合運(yùn)算

02知識(shí)速記

一、二次根式

1.二次根式的概念

1.二次根式的概念:一般地，我們把形如、腦（a20）的式子的式子叫做二次根式，“，”稱為稱為二次根

號(hào).如百，師g都是二次根式.

2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號(hào)“?”；（2）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

2.二次根式有無(wú)意義的條件

1.二次根式有意義：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即癡有意義Oa20；

2.二次根式無(wú)意義：被開方數(shù)為負(fù)數(shù)，即幾無(wú)意義oa<0；

3.二次根式的性質(zhì)

1.二次根式五（tz>0）的非負(fù)性

y[a（a>0）表示。的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，&20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即行20（a>0）.

2.二次根式（五『的性質(zhì)：（a>0）

3.二次根式后的性質(zhì)：=同={:需2）

最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式

1.最簡(jiǎn)二次根式

（1）最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式

（2）化簡(jiǎn)二次根式的一般方法

方法舉例

將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開方V8=74^2=2^/2

若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開方rr_[4_74^3_2V3

V3-V3-V3^3-3

數(shù)化成假分?jǐn)?shù)

若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成廝=、n=、陛=巫

化去根

分?jǐn)?shù)viovioo10

號(hào)下的

若被開方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成1~5a__15a'3c_/_15ac__J15ac

2222

分母[126cp2^.3c\36f)c6bc

能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開方運(yùn)算

(。>0,b>0,c>0)

被開方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解Jx2+2xy+j/=J(x+y)2=x+y(x*O,y>0)

（3）分母有理化

分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。

方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào).

2.同類二次根式

（1）同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。

（2）合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘

法分配律，如m而+〃后=（根+〃）后僅20）

三、二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘法

（1）二次根式的乘法法則：V^-Vb=V^b（a>0,&>0）（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根的指數(shù)不

變）

（2）二次根式的乘法法則的推廣：

①Va-Vb-Vc=Jabc（a>0,b>0,c>0）

0aVb-cVd=acVbd（Z>>O,t/>O）,即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)

行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).

（3）二次根式的乘法法則的逆用：而=癡-、傷（。20/20）（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算

數(shù)平方根的性質(zhì)）

（4）二次根式的乘法法則的逆用的推廣：V^d=VI-Vb-V^-V^（a>0,/）>0,c>0,67>0）

2.二次根式的除法

（1）二次根式的除法法則：假=#（。20/〉0）（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）

（2）二次根式的除法法則的推廣：五十四一八=Ja+b+c（a?0,b〉0,c〉0）.

3.二次根式的除法

（1）二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。

（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：

①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；

②找：找出化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式；

③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式一一將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。

4.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)

里面的（或先去掉括號(hào)）

03題型歸納

題型一判斷是否為二次根式

例題：（23-24八年級(jí)下?廣西河池?期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.J—4B.N3aC.#27D.J加?+1

【答案】D

【分析】本題考查二次根式的定義，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵.

形如GgNO）的代數(shù)式叫做二次根式，其中。叫做被開方數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：4、q中的被開方數(shù)-4<0,故不是二次根式，不符合題意；

B、技中的。不一定大于等于0,故不是二次根式，不符合題意；

C、場(chǎng)是三次根式，故不是二次根式，不符合題意；

D、公是二次根式，符合題意，

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.蚯B.4aC.V3D.

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求二次根式中的參數(shù)

【分析】本題考查了二次根式.熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.形如20）的式子是二次根式.

根據(jù)二次根式的定義判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，次，&，2-2不是二次根式，行是二次根式，

4B、D不符合要求；C符合要求；

故選：C.

2.下列式子一定是二次根式的是（）

A.V-x-2B.&C.&+2D.6-2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【分析】本題主要考查了二次根式的定義，理解二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

一般地，我們把形如右（。20）的式子叫做二次根式.直接利用二次根式的定義分別分析得出答案.

【詳解】解：A.當(dāng)x>-2時(shí)，原式無(wú)意義，故A不一定不是二次根式；

B.當(dāng)x<0時(shí)，原式無(wú)意義，故B不一定是二次根式；

C./+2>0恒成立，故C一定是二次根式；

D.當(dāng)/一2<0時(shí)，原式無(wú)意義，故D不一定是二次根式：

故選：c.

3.x為實(shí)數(shù)，下列式子一定有意義的是（）

2

A.Jx，+1B.y]x+xC.p--D.—

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、分式有意義的條件

【分析】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，

根據(jù)二次根式有意義的條件判斷A,B,再根據(jù)分式有意義的條件判斷C,D.

【詳解】因?yàn)閒+l2l,所以在II有意義，則A符合題意；

當(dāng)時(shí)，x2+x=（--）2+（-T）=77-77=-77<,二次根式Jx?+x無(wú)意義,則B不符合題意；

444161616

當(dāng)％=±1時(shí)，/-1=0,分式二二無(wú)意義，則C不符合題意；

X-1

2

當(dāng)x=0時(shí)，x=0,分式3無(wú)意義，則D不符合題意.

故選：A.

4.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.4aB.7^2C.V^+2D.正+1

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查了二次根式，根據(jù)二次根式的定義“一般地，我們把形如血伍20）的式子叫做二次根式”

即可判斷.

【詳解】解：A、當(dāng)。<0時(shí)，不是二次根式，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、當(dāng)a+2<0時(shí)，不是二次根式，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、因?yàn)?+i>o,所以"71是二次根式，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；

故選：D.

5.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.7?2-2B.J/+3C.3D.

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查了二次根式的定義，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根式的

定義：一般地，我們把形如G(a20)的式子叫做二次根式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、被開方數(shù)有可能是負(fù)數(shù)，二次根式無(wú)意義，故此選項(xiàng)不合題意；

B、是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意：

C、是有理數(shù)，不符合二次根式的定義，故此選項(xiàng)不合題意；

D、0>()時(shí)，被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，二次根式無(wú)意義，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

題型二求二次根式的值

例題：(23-24八年級(jí)下?浙江衢州?期中)當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式3-3x+年的值為()

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】C

【分析】本題考查求二次根式的值，先將》=-2代入，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】當(dāng)x=-2時(shí)，

V-3X+10=7-3x(-2)+10=416=4.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期中)當(dāng)a=6時(shí)，二次根式H工的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查二次根式求值，將。=6代入二次根式，直接求解即可.

【詳解】解：當(dāng)。=6時(shí)，^^=1=后二="=2

故選：B.

2.(23-24九年級(jí)上?海南僧州?期末)當(dāng)x=-l時(shí)，二次根式j(luò)3x+7的值為()

A.±2B.2C.-2D.V2

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的基本性質(zhì)及化簡(jiǎn)，二次根式的定義，把x=-l代入原式化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：當(dāng)x=-l時(shí)，原式=j3x(-l)+7=7?=2

故選：B.

3.（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期末）當(dāng)x=l時(shí)，二次根式行工的值為（）

A.4B.V6C.6D.2

【答案】D

【分析】本題考查二次根式的定義，把尤=1代入求值即可.

【詳解】解：當(dāng)x=l時(shí)，二次根式j(luò)5-x=J5-1="=2,

故選：D.

題型三根據(jù)二次根式有意義條件求范圍

例題：（23-24八年級(jí)下?遼寧營(yíng)口?期末）若二次根式VTb有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

A.尤彳3B.x>3C.x>-3D.x<3

【答案】B

【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

根據(jù)二次根式有意義的條件，可得：x-3>0,據(jù)此求出實(shí)數(shù)x的取值范圍即可.

【詳解】解：：二次根式斤與有意義，

x—320,

解得：x>3.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?山東聊城?期末）若二次根式萬(wàn)萬(wàn)有意義，則x的取值范圍是（）.

3333

A.xN—B.—C.x>—D.x<—

2222

【答案】B

【分析】本題考查的是二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子癡20）叫二次根式.性質(zhì)：二次根式被開方

數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義.掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0,列不等式求解.

【詳解】解：由題意得，3-2x20,

3

解得：

故選：B.

2.（23-24八年級(jí)下?新疆和田?期中）使打式+V7富有意義的字母光的取值范圍（）

A.全體實(shí)數(shù)B.x<2C.x>-4D.-4<x<2

【答案】C

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：x+4>0,解得：x>—4；

故選C.

3.（2024?貴州銅仁?一模）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)無(wú)的取值范圍是.

【答案】%>3

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、求一元一次不等式的解集

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次根式有意義

的條件是解題的關(guān)鍵.

由二次根式有意義的條件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【詳解】解：由二次根式有意義的條件可得：%-3>0,

解得：x>3,

故答案為：x>3.

4.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)x取何值時(shí)，二次根式^—丁有意義：____.

x-3

【答案】xNl且"3.

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件

【分析】此題考查的是二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，根據(jù)條件列出不等式是解決此題的關(guān)

鍵.

二次根式有意義的條件：被開方數(shù)20,分式有意義的條件分母W0,列出不等式即可.

【詳解】解：由題意可得：

x-l>0,工一3。0

???xN1且xw3.

故答案為：xNl且xw3.

5.（24-25八年級(jí)下?吉林?階段練習(xí)）使式子正士有意義的x的取值范圍是.

2+x

【答案】E且xw—2

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、二次根式有意義的條件、求不等式組的解集

【分析】本題考查了分式和二次根式有意義的條件.根據(jù)分式的分母不能為0、二次根式的被開方數(shù)大于或

等于0列出式子求解即可得.

（2+x^0

【詳解】解：由題意得：I、八，

[l-x>0

解得且xw-2,

故答案為：xWl且XH-2.

題型四根據(jù)二次根式有意義求值

例題：（23-24八年級(jí)下?吉林松原?期中）若y=++5,則^2xy=.

【答案】2M

【分析】本題主要考查了二次根式的非負(fù)性、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次根式的非負(fù)性求得x、y的值

成為解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)二次根式的非負(fù)性求得X,進(jìn)而求得外然后代入計(jì)算即可.

【詳解】解：y=Ji-4+J4—x+5,

y=5,

yj2xy=J2x4x5=2v.

故答案為：2屈.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?四川綿陽(yáng)?期中）已知x、V為實(shí)數(shù)，且>=5萬(wàn)+后后+3,則尤+了的值為.

【答案】5

【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進(jìn)而得出了

的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：,:y=H^+j6-3x+3,

x-220

6-3x20

..x=2,

y=3,

:.x+y=5,

故答案為：5.

2.（23-24八年級(jí)下?湖北荊州?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足、=向1+51+3,則府的小數(shù)部分

是.

【答案】V6—2/—2+y/6

【分析】本題考查二次根式有意義的條件及無(wú)理數(shù)的估算，結(jié)合已知條件求得x，y的值是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件求得的值，然后求出而，利用無(wú)理數(shù)的估算求得小數(shù)部分.

【詳解】解：由題意可得：x-2>0,2-x>0,

貝！]x=2,y=0+0+3=3,

則7^=42x3=y/6,

4<6<9,

/.2<V6<3,

則而的小整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是痛-2,

故答案為：V6—2.

3.（23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中）已知y=++則無(wú)了=.

【答案】25

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件，求出x的值是解題關(guān)鍵；利用

二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可；

[x-5>0

【詳解】解：由題意知：<、八，

[5-x>0

解得：x=5,

二?y=2,

.3=25,

故答案為：25；

題型五二次根式的乘除混合運(yùn)算

例題：（2024八年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）計(jì)算：2V12X|+3V2.

【答案】|V6

【分析】本題考查了二次根式的乘除法的應(yīng)用，根據(jù)二次根式的乘除法法則，系數(shù)相乘除,被開方數(shù)相

乘除，根指數(shù)不變，計(jì)算后求出即可.

【詳解】解：2V12X|+3V2

鞏固訓(xùn)練

【答案】⑴逑

3

⑵一g

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】此題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則.

（1）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則求解即可;

（2）根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則求解即可.

472

3

【答案】(1)156

⑵

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則與運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵;

(1)按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)按照從左至右的順序進(jìn)行計(jì)算即可；

【詳解】(1)解：原式=[lxgx|"45《x5

=J45x5x5

12

(2)原式=

82

__37x5x5

--4V2

=一2/還

8

3.計(jì)算:

(2)-a2byfab

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計(jì)算：

(1)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)二次根式乘除法計(jì)算法則求解即可;

(2)根據(jù)二次根式乘除法計(jì)算法則求解即可.

【詳解】⑴解：原式=即-：用;出

2

3

231

(2)解：原式=-—x—x—x

623

55

二——y/ab

b

=—a2by[ab.

4.計(jì)算:

(l)V27xV50-V6;

1122|

(2)3745-—x—；

53

]_2

(3)3

2

(4)8〃^+2而七(a>0,6>0).

【答案】⑴15

(2)2076

(4)*

b

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算

(1)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可；

(4)根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：=373x572^76=1576-76=15

(2)JMi^=3x—x/454--X-

3V53

=2x7600=20A/6;

(3)原式3x(一")x2Axl5xg=一■|x5=一券；

(4)原式=4［叵［=4JZ=色布.

\abbVbb

5.計(jì)算:

⑴氐也x2鳳26；

(2)-473

(3)-|02

(4)—

m

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了二次根式的乘除法計(jì)算，熟知二次根式的乘除法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算二次根式乘法，再計(jì)算二次根式除法即可得到答案；

(2)直接根據(jù)二次根式乘法計(jì)算法則求解即可；

(3)把根號(hào)外面的式子進(jìn)行乘除法計(jì)算，再把根號(hào)里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計(jì)算法則計(jì)算，據(jù)此

可得答案；

(4)把根號(hào)外面的式子進(jìn)行乘除法計(jì)算，再把根號(hào)里面的式子根據(jù)二次根式的乘除法計(jì)算法則計(jì)算，據(jù)此

可得答案.

【詳解】(1)解:原式=V^x2x2+2石

=4導(dǎo)2也

=2；

(2)解：原式=^^*2道質(zhì)]

=-4出；

(3)解：原式=1―j盯2.匕

=-^Xyjx4y4

=~—X'X2y2

4J

332

=--；

(4)解：原式=—《二^.軍

mV2mm\n

n11n32m3

m2v2m3m3n

n[rF

m2V加3

=一_-J/加3

m

=--g?nmy[m

m

題型六最簡(jiǎn)二次根式的判斷

例題：（23-24九年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?期中）下列二次根式，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

A.yja2+bB.V4C.V18

【答案】A

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，滿足以下兩個(gè)條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得

盡方的因數(shù)或因式，像這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式，由此判斷即可.

【詳解】解：4、行兩是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

8、被開方數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)4,所以不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、被開方數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)9,所以不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、被開方數(shù)含有分母，所以不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.下列二次根式中的最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.74B.V81C.V5D.J0.12

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式的判斷

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的概念，掌握滿足最簡(jiǎn)二次根式的條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式

是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是關(guān)鍵.利用最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A、"=2,不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、痼=9,不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、石是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

D、而逐=?，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

2.下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.J25aB.yl（i2+l）2C.D.Jo.5

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式的判斷

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的判斷，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵：最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)

滿足兩個(gè)條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

按照最簡(jiǎn)二次根式的定義逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：A.石，被開方數(shù)25a含有能開得盡方的因數(shù)25,不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)A不符合題

忌；

B.甲瓦，被開方數(shù)的字母因式是整式，且被開方數(shù)不含能開得盡方的因式，是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)B

符合題意；

C.g被開方數(shù)的因數(shù)上不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)C不符合題意；

D.<5,被開方數(shù)的因數(shù)0.5不是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B.

3.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.歷B.V24C.D.2。nm

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式的判斷

【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義.根據(jù)題意逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到本題答案.

【詳解】解："/=2小后，即A不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意;

后=2#，即B不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

心=孚，即C不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

2屆無(wú)法繼續(xù)化簡(jiǎn)，故D是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意;

故選：D.

4.下列選項(xiàng)中的式子，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.胃B.J243C.s]36m

D.yjm2+2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式的判斷

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判

斷即可.

【詳解】A、、口=也，故該選項(xiàng)不符合題意;

V22

B、V243=9A/3,故該選項(xiàng)不符合題意;

C、A/36TM=6s[m,故該選項(xiàng)不符合題意;

D、荷工！不能再化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

5.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.亞B."C.,D.正

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式的判斷、化為最簡(jiǎn)二次根式

【分析】此題主要考查最簡(jiǎn)二次根式的判斷.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可求解.

【詳解】解：A、五是最簡(jiǎn)二次根式；

B、"=2,故不是最簡(jiǎn)二次根式；

c、仁=岑，故不是最簡(jiǎn)二次根式；

D、當(dāng)，故不是最簡(jiǎn)二次根式；

V22

故選：A.

題型七化為最簡(jiǎn)二次根式

例題：（23-24八年級(jí)上?廣東佛山?階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：般=；根=.

【答案】2^2如

2

【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式乘法和除法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：V8=V4^2=V4xV2=2A/2,

V3^2_V6

V2-V2^2

故答案為：2也，國(guó).

2

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?廣東肇慶?階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：也=,^11=

44

【答案】

7

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】解：

V255

舊=*?

44

故答案為：I，j.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（23-24八年級(jí)下?浙江?期中）化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式：5疝=_;6A=_.

【答案】10V3巫典瓜

【詳解】直接根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式.進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：5V12=5x^4x3=5X2A/3=10>/3;=~~=~~?

V842

故答案為：io5迎.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

3.（22-23八年級(jí)上?寧夏銀川?階段練習(xí)）化簡(jiǎn):

Q）歷

【答案】⑴竽

（2）3A/3

（3）叵

13

【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

（2）V27=73^9=373;

叵_正_叵

（3）百一正一百，

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).

4.(23-24八年級(jí)?全國(guó)?假期作業(yè))把下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式：

(1)715;⑷福(5)214a濘c(a,b,c均大于0).

【答案】⑴可

⑵平

⑶6

⑷如

30

(5)4abyfac

【分析】(1)直接計(jì)算得到答案；

(2)直接計(jì)算得到答案；

(3)直接計(jì)算得到答案；

(4)直接計(jì)算得到答案；

(5)直接計(jì)算得到答案.

【詳解】(1)后=后舊工

故而的最簡(jiǎn)二次根式為：巫;

2

⑵『_產(chǎn)_J4xl0_2廂

故他的最簡(jiǎn)二次根式為：巫;

故叵的最簡(jiǎn)二次根式為：V3;

3

(4)忘_-_——冊(cè)

3^/40-374x5x2-6亞乂亞-30

故二幺的最簡(jiǎn)二次根式為：正；

(5);。，b,c均大于0

214a3b2c=4ab4ac-

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的相關(guān)知識(shí).

題型八同類二次根式的判斷

例題：（23-24八年級(jí)下?江西上饒?期中）下列根式中，與正是同類二次根式的是（）

A.叵B.V12C.D.V32

【答案】D

【分析】本題考查了同類二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)二次根式.先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)同類

二次根式的定義，即可得到答案.

【詳解】解：/、值=2而與痣不是同類二次根式，故不符合題意；

B、=26與0不是同類二次根式，故不符合題意；

C、=g與正不是同類二次根式，故不符合題意；

D、后=4后與正是同類二次根式，故符合題意；

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?江蘇淮安?期末）下列二次根式中，與6是同類二次根式的是（）

A.際B.V30C.725D.

【答案】D

【分析】本題考查同類二次根式的識(shí)別，掌握定義是解題的關(guān)鍵，即：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被

開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.首先化簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義即可判定.

【詳解】解：,與右不是同類二次根式，故/選項(xiàng)不合題意；

2

同不能化簡(jiǎn)，與逃不是同類二次根式，故8選項(xiàng)不合題意；

V25=5,與行不是同類二次根式，故C選項(xiàng)不合題意;

與否是同類二次根式，故。選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

2.（2023?廣西來(lái)賓?一模）下列各組二次根式中，屬于同類二次根式的是（）

A.屈和而B.扃i和回nC.A和*D.@口一屈

【答案】D

【分析】本題考查了同類二次根式的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題需要掌握二次根式的化簡(jiǎn)法則及同類二

次根式的被開方數(shù)相同.將各選項(xiàng)中的二次根式化為最簡(jiǎn)，然后根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同即可判

斷出答案.

【詳解】解：A.a=3如，即痛和而不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.的面=3而，即而'和曲而不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意;

C..=即、g和#不是同類二次根式’故本選項(xiàng)不符合題意；

D.卜冬-屈=-3垃,即《和-屈是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

3.（23-24七年級(jí)下?上海浦東新?階段練習(xí)）下列各組二次根式中，為同類二次根式的是（）

A.—V6和3^2B.y[a和41a

C.舊和AD.百和的

【答案】C

【分析】本題主要考查了同類二次根式.將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根

式叫做同類二次根式.根據(jù)同類二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：A.1痛與3行的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、6與而的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、屈=26與"的被開方數(shù)相同，所以它們是同類二次根式；故本選項(xiàng)正確；

V33

D、g與?=3的被開方數(shù)不同，所以它們不是同類二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

題型九二次根式的加減運(yùn)算

例題：（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）計(jì)算:

⑴商+3?2G(2)2。-3配+5厲.

【答案】(1)5行

(2)1173

【分析】本題考查二次根式的加減運(yùn)算：

(1)先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可;

(2)先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可.

【詳解】(1)解：月+3?-2A

=4亞+，也一顯

22

=5&;

(2)解：2V3-3V12+5V27

=273-673+1573

=116

鞏固訓(xùn)練

1.計(jì)算：2&I-12A+3灰.

【答案】12百

【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的加減運(yùn)算

【分析】本題考查二次根式加減運(yùn)算，熟練掌握二次根式化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

先化簡(jiǎn)各二次根式，再合并同類二次根式即可.

【詳解】解：原式=46-4百+120

=12技

2.計(jì)算：

(1)V8+V32-V2

(2)^|+V27-V9

【答案】(1)5也

⑵速一3

3

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算

【分析】本題考查了二次根式的加減混合運(yùn)算.

(1)先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可;

(2)先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可.

【詳解】⑴解：原式=2行+4行-0

=5&；

(2)解：=—+373-3

3

1073,

=---------5?

3

3.計(jì)算：

⑴導(dǎo)歷+42』

⑵|V7—3|+J(-2)~+Vs+V7

【答案】⑴g指

⑵7

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、二次根式的加減運(yùn)算

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣,

要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要

按照從左到右的順序進(jìn)行.

(1)先化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可；

(2)先去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)二次根式及立方根，再合并同類二次根式即可.

【詳解】(1)解：一廊+42小!

=--676+776

3

3

(2)解：|>/7—+y](—2)2+^8+V7

=3-77+2+2+4

二7

4.計(jì)算:

(1)|V9-5|+^2^+V-0.125；

(2)727+5^1-V12+1V45；

【答案】(1)3

⑵用竽

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、二次根式的加減運(yùn)算

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算及二次根式的加減運(yùn)算.

(1)根據(jù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，算術(shù)平方根以及立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可求解;

(1)先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算加減即可求解.

【詳解】(1)解：原式=|3一5|+戶9+(-0.5)

4

=2+14

=3；

(2)解：原式=34+5x好一2百+、3指

52

=373+75-273+—

2

=百+巫

2

5.計(jì)算:

(1)273+3V12-V48

(2)a+3個(gè)；

2

15

⑶川--^+2720-745+^-

V32

【答案】(l)4g

力3夜3^/3

⑷1---1---Z-

22

11V240

⑶-----1----

25

3167收

(4)2~

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的加減運(yùn)算

【分析】本題主要考查二次根式的加減混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.

（1）利用二次根式的化簡(jiǎn)的法則，二次根式的加減法的法則，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

（2）利用二次根式的化簡(jiǎn)的法則，二次根式的加減法的法則，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

（3）利用二次根式的化簡(jiǎn)的法則，二次根式的加減法的法則，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

（4）利用二次根式的化簡(jiǎn)的法貝IJ,二次根式的加減法的法則,對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】（1）解：2V3+3V12-V48

=2拒+6也-4坦

=46；

(2)解：V8+3j1

2

=2亞+也當(dāng)年

372373

22

1

(3)解：750--^+2A/20-V45+—

V52

=5A/2-—+4V5-3V5+—

52

11V24&

------1--------;

25

(4)解：V108+V32

=6用4*40

31V37A/2

52

題型十二次根式的混合運(yùn)算

例題：（23-24八年級(jí)下?山西太原?單元測(cè)試）計(jì)算:

⑴阮+4

【答案】⑴2#-6#

(2)~-^3y2

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次

根式成為解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用二次根式的四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可;

(2)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用二次根式的四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】⑴解:

V2

=-------X

2

-V21x(4V3-72-3748)

也

-2X(2V6-12A/3)

=舊-6"

=273-676.

332

=——xy.

4

鞏固訓(xùn)練

【答案】⑴岸-2

（2譚-6

2

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的立方根、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，加減乘除混合運(yùn)算，掌握二次根式的化簡(jiǎn)，二次根式的混合運(yùn)算

法則是解題的關(guān)鍵.

（1）化簡(jiǎn)二次根式，求出立方根，根據(jù)加減法即可求解.

（2）化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)二次根式的乘除法，加減法即可求解.

【詳解】（1）解：歷+4+J-巫

=3月+（_2）+[_2G

4月、

=---------2;

3

（2）解：2V3X^-V48-V3+（2-V6）（2+V6）

-

-716+（4-6）

V26

-

-4-2

V26

-

V26-6.

2.計(jì)

【答案】⑴6+4G

⑵？

【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式

的混合運(yùn)算

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，平方差公式，完全平方公式，正確掌握相關(guān)

性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

（1）先根據(jù)平方差公式，完全平方公式進(jìn)行展開再合并同類項(xiàng)，即可作答.

（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)，再運(yùn)算除法，即可作答.

【詳解】⑴解：（2+V3）2-（3-272）（3+272）

=4+473+3-（9-8）

=4+4A/3+3-1

=6+4百；

3

19731

19

~~6'

3.計(jì)算：

(l)|l-V3|+(V3-7t)°-V244-V2；

(2)(3-V2)2-(2+V3)x(2-V3)+V2.

【答案】⑴

⑵10-5夜

【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、零指數(shù)塞、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式和平方差公式，零指數(shù)幕等運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是

掌握以上運(yùn)算法則.

(1)先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，零指數(shù)幕，二次根式的除法，然后合并即可求解；

(2)根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開，然后合并即可求解.

【詳解】(1)|1-V3|+(V3-7T)°-V24-V2

=V3-1+1-V12

=73-273

=-V3;

(2)(3-V2)2-(2+V3)X(2-A/3)+V2

=9-672+2-(4-3)+72

=9-6V2+2-l+V2

=10-5A/2.

4.計(jì)算:

(1)V18XV2-V25+7(-3)2

(2)(V6-V5)(V6+V5)+(2A/3-3V2)2

【答案】(1)4

(2)31-1276

【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】本題考查了二次根式的混合計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算二次根式的乘法和化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可;

(2)利用平方差公式及完全平方公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：Jiix也一后+/了

=6—5+3

=4；

(2)解：［76-V5)(V6+V5)+(2V3-3V2)2

=6-5+12+18-12新

=31-1276.

5.計(jì)算

(1)V8+V32-V2；

s、灰乂退

⑵

(3)(2+V^)x(2-1-；

(4)(萬(wàn)-1)°-(；)T+耳-27.

【答案】(1)5收

⑵3

⑶2-6

(4)-5

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、二次根式的加減運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，零指數(shù)幕和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕等知識(shí)點(diǎn),

(1)先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算加減即可；

(2)先計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可；

(3)先利用平方差公式，絕對(duì)值法則展開，再計(jì)算加減即可；

(4)先根據(jù)零指數(shù)幕和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕法則化簡(jiǎn)，再計(jì)算加減即可；

熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)顯+E-亞

=272+472-72

=5收；

s、718x73

V6

V54

飛

=囪

二3；

(3)(2+V3)X(2-V3)-|1-V3|

=4-3-(V3-l)

=1-V3+1

=2—V3;

(4)(乃一1)°一

=1-3-3

=-5.

題型十一比較二次根式的大小

例題：(23-24八年級(jí)下?浙江寧波?開學(xué)考試)比較大小:

⑴715+V178；

(2)V2014-V2015V2015-V2016.

【答案】<<

【分析】本題考查了二次根式的大小比較.

(1)利用平方法比較大小即可；

(2)利用分子有理化，即可比較大小.

【詳解】解：(1)(V15+Vn)2=32+27255=32+71020,

31<Vi020<32,

???63<32+Vi020<64=82,+V17<8,故答案為：<；

(V2014-V2015)(V2014+72015)

1

⑵V2014-V2015=

J2014+J2015V2014+V2015

1

V2015-V2016

V2015+V2016V2015+V2016

[1

V2014+V2015J2015+J2016'

I<1

V2014+V2015---V2015+V2016

■??V2014-V2015<72015-72016,

故答案為：<.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24八年級(jí)下?江蘇宿遷?階段練習(xí))比較下列實(shí)數(shù)的大?。?指2V13.

【答案】>

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較和二次根式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).把根號(hào)外的因式平方后移入根號(hào)內(nèi)，比

較結(jié)果的大小，即可求出答案.

【詳解】解：3屈=,3?x6=V54，2yf\3-V22x13=J52，

V54>V52,

3V6>2V13，

故答案為：>.

2.（23-24七年級(jí)下?上海?期末）比較大小：-2百-372.（填“>”，"="，或“<”）

【答案】>

【分析】本題考查了比較實(shí)數(shù)的大小，以及二次根式的性質(zhì)，先把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，再根據(jù)實(shí)數(shù)

的大小比較方法（絕對(duì)值大的反而小）比較大小即可.

【詳解】解：-26=-屈，-3氏=-5,

:.-y/n>-V18,

-273>-3A/2,

故答案為：>.

3.（23-24八年級(jí)下?河北邢臺(tái)?期末）比較大?。?+V3.（填或“=”）

【答案】=

【分析】本題考查分母有理化，二次根式的大小比較，掌握相應(yīng)的法則是解題的關(guān)鍵.

把5k分母有理化即可得到答案.

【詳解】解：壯萬(wàn)

2+V3

"（2+73）（2-73）

2+V3

4-3

=2+>/3）

故答案為：—.

題型十二已知字母的值，化簡(jiǎn)求值

例題：（23-24八年級(jí)下?云南曲靖?階段練習(xí)）計(jì)算：已知，x=2-V3，y=2+百，求尤2+/一孫的值.

【答案】13

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式、平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

利用完