二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（原卷版）

第三講二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

目錄

必備知識(shí)點(diǎn)..............................................................................1

考點(diǎn)一運(yùn)用二次函數(shù)求最大利潤(rùn)...........................................................1

考點(diǎn)二二次函數(shù)與幾何圖形..............................................................4

》知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的應(yīng)用

1.利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題

在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題.解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定

出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此

在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍.

2.幾何圖形中的最值問(wèn)題

幾何圖形中的二次函數(shù)問(wèn)題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的

最值的討論.

考點(diǎn)一運(yùn)用二次函數(shù)求最大利潤(rùn)

L某超市以每件13元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于18元.經(jīng)

過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)

關(guān)系.

（1）求夕與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

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2.如圖①是氣勢(shì)如弘、古典凝重的開封北門，也叫安遠(yuǎn)門，有安定遠(yuǎn)方之寓意.其主門洞的截面

如圖②，上部分可看作是拋物線形，下部分可看作是矩形，邊為16米，8C為6米，最高處

點(diǎn)E到地面的距離為8米.

圖①圖②

（1）請(qǐng)?jiān)趫D②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的解析式.

（2）該主門洞內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，正中間有0.6米寬的雙黃線.車輛必須在雙黃線兩側(cè)行駛，不

能壓雙黃線，并保持車輛最高點(diǎn)與門洞有不少于0.6米的空隙（安全距離），試判斷一輛大型貨運(yùn)

汽車裝載某大型設(shè)備后，寬3.7米，高6.6米，能否安全通過(guò)該主門洞？并說(shuō)明理由.

3.某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件30元，每月可賣出180件，該商品每臺(tái)售價(jià)（元）與月

銷量（臺(tái)）滿足的函數(shù)關(guān)系式如下表所示.已知該商品計(jì)劃漲價(jià)銷售，但每件售價(jià)不能高于35

元.設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為整數(shù)）時(shí)，月銷售利潤(rùn)為卬元.

每臺(tái)售價(jià)（元）303132???30+x

月銷售量（臺(tái)）180170160???y

（1）上述表格中，夕=（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）若銷售該商品每月所獲利潤(rùn)為1920元，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)上漲多少元？

（3）當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每月銷售該商品所獲得的利潤(rùn)W最大？最大利潤(rùn)是多少？

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4.隨著國(guó)內(nèi)疫情得到有效控制，某產(chǎn)品的銷售市場(chǎng)逐漸回暖.某經(jīng)銷商與生產(chǎn)廠家簽訂了一份該產(chǎn)

品的進(jìn)貨合同，約定一年內(nèi)進(jìn)價(jià)為0.1萬(wàn)元/臺(tái).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研得知，一年內(nèi)該產(chǎn)品的售價(jià)y（萬(wàn)

4

元/臺(tái)）與簽約后的月份數(shù)x（1WXW12且為整數(shù)）滿足關(guān)系式“=卜°.°5x+°-（]<x<4）.

[0.2（4<x<12）

估計(jì)這一年實(shí)際每月的銷售量〃（臺(tái)）與月份X之間存在如圖所示的變化趨勢(shì).

（1）求實(shí)際每月的銷售量P（臺(tái)）與簽約后的月份數(shù)X之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）請(qǐng)估計(jì)這一年中簽約后的第幾月實(shí)際銷售利潤(rùn)少最高，最高為多少萬(wàn)元？

5.某大型農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)新建了100個(gè)固定攤位，經(jīng)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，去年1月至12月，每個(gè)固定攤位的

租金y（元）與月份x之間滿足關(guān)系式如下表，每月租出的固定攤位的個(gè)數(shù)p（個(gè)）與月份x之間

的函數(shù)圖象如圖所示.每個(gè)固定攤位租用者支付月租金給市場(chǎng)管理公司，由市場(chǎng)管理公司為每個(gè)

攤位支付管理費(fèi)，管理費(fèi)加（元）與月份x之間關(guān)系滿足加=20x（1WXW12,且x為正整數(shù)）.

X（X為正整數(shù)）1WxW674W12

W元400-40x+820

（1）試求p與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分別時(shí)算3月份和8月份市場(chǎng)管理公司的收益（收益=租金-攤位管理費(fèi)）;

（3）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明市場(chǎng)管理公司哪個(gè)月的收益最大？

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考點(diǎn)二二次函數(shù)與幾何圖形

6.在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮.如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形/8C,它的

底邊48長(zhǎng)20厘米.要截得的矩形EFGD的邊尸G在48上，頂點(diǎn)分別在邊C4、上.設(shè)

所的長(zhǎng)為x厘米，矩形的面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，

并求當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)所截得的矩形的面積.

7.問(wèn)題探究

(1)如圖1,在四邊形/BCD中，連接/C,AD=CD=IO,AC=\2,S四邊形RBCD=72,求AABC

的面積；

問(wèn)題解決

(2)如圖2,有一個(gè)菱形廣場(chǎng)48C3,已知/。=60米，/DAB=60°,連接NC.現(xiàn)計(jì)劃對(duì)這

個(gè)廣場(chǎng)進(jìn)行綠化.在和△DVP區(qū)域種植綠植，且滿足點(diǎn)尸、M、N分別在NC、48、CB

上，PM//AD,PN//CD,為了節(jié)省成本，要求種植綠植的區(qū)域面積盡可能的小，問(wèn)△。兒很與^

DVP的面積之和是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

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8.問(wèn)題提出：（1）如圖①，等邊△48C的邊長(zhǎng)為1,。是3c邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DEIAB,

垂足為￡,設(shè)線段的長(zhǎng)度為x,的面積為乃求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

問(wèn)題解決：（2）某路口拐角處有一個(gè)五邊形空地，為方便市民出行的需要，市政局準(zhǔn)備在這片空

地上給廣大來(lái)往群眾搭建一個(gè)既能遮陽(yáng)又能避雨的遮陽(yáng)棚.經(jīng)過(guò)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)，在如圖②所示的五邊

形ABCDE中，N/=/2=150°,NC=/D=60°,OE=2/E=8米，AB=\[3BC,根據(jù)該路

口的實(shí)際條件限制，需將遮陽(yáng)棚形狀設(shè)計(jì)為三角形，且△FGH的頂點(diǎn)足G、〃分布在邊

CD、DE上，點(diǎn)尸為中點(diǎn)，DH=DG,為進(jìn)一步提升市民的出行體驗(yàn)，想讓遮陽(yáng)棚面積盡可

能大.請(qǐng)問(wèn)，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的△/G”?若存在，求△FG"面積的最大值，若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

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9.如圖，矩形ABC。中，AB6cm,5c=12?！?，點(diǎn)E在邊/。上，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿C3運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)2停止，點(diǎn)。從點(diǎn)/出發(fā)，沿折線N￡f￡C運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度都是Icm/s,點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)同時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),A8P。的面積為S(c相2).當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)￡

時(shí)，S=24(cm2).

(1)填空：AE=,CE=；

(2)求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量/的取值范圍.

10.如圖，在△/8C中，ZC=90°,BC=8,/C=6,點(diǎn)尸，。同時(shí)從點(diǎn)3出發(fā)，點(diǎn)尸以每秒5個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度沿折線BA-NC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線3C-C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

點(diǎn)P,。相遇時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，△尸3。的面積為S.

(1)當(dāng)尸，。兩點(diǎn)相遇時(shí)，/=秒；

(2)求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出，的取值范圍.

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II.如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC.8c的長(zhǎng)恰好為方程，-i4x+a=0的兩根，且/C-

BC=2,。為的中點(diǎn).

(1)求a的值.

(2)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿/一。一。的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)0從點(diǎn)8出發(fā)，沿3-C的路線

向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)尸、0同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒2個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)尸速度變

為每秒3單位，同時(shí)點(diǎn)。速度變?yōu)槊棵?個(gè)單位.當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束.設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?秒.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△尸。。的面積為S,試求S與7之間的函數(shù)關(guān)系式；并

指出自變量/的取值范圍.

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12.問(wèn)題探究

（1）如圖1,在菱形/BCD中，Z^=120°,/8=4,點(diǎn)尸為邊CD的中點(diǎn)，0為邊/。上一點(diǎn),

且。尸+。。=5,連接AP、PQ、BQ,求△AP0的面積；

問(wèn)題解決

（2）為響應(yīng)市政府“建設(shè)美麗城市，改善生活環(huán)境”的號(hào)召，某小區(qū)欲建造如圖2所示的四邊

形45。休閑廣場(chǎng)，ZA=ZABC=ZC=90°,/8=40米，8C=60米.按照規(guī)劃要求，點(diǎn)尸、

。分別在邊CD、4D上，滿足DP+DQ=40米，連接AP、PQ、BQ,其中△尸為健身休閑區(qū)，

其他區(qū)域?yàn)榫坝^綠化區(qū)，為了使綠化面積盡可能大，希望健身休閑區(qū)的面積盡可能小，那么按此

要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)（△尸30）是否存在最小面積？若存在，求出最小面積及此時(shí)DP的

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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13.問(wèn)題提出:

(1)如圖①，在四邊形4BCD中，NA=/B=90°,AB=8,N￡>=11,點(diǎn)￡在線段8C上，且

BE=5,連接。E,作所_LOE,交AB于點(diǎn)、F,求四邊形/。斯的面積；

問(wèn)題解決:

(2)精密儀器廠要生產(chǎn)一種特殊的四邊形/BCD金屬部件，如圖②所示，部件要求是：2C=4cm,

點(diǎn)。到3c的距離為5c%,Z￡>=90°,且CD=2/O.已知生產(chǎn)這種金屬部件的材料每平方厘米

造價(jià)60元，在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，請(qǐng)你幫忙求出一個(gè)這種四

邊形金屬部件的最低造價(jià).

圖①圖②

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14.為了提高巴中市民的生活質(zhì)量，巴中市對(duì)老舊小區(qū)進(jìn)行了美化改造.如圖，在老舊小區(qū)改造中,

某小區(qū)決定用總長(zhǎng)27加的柵欄，再借助外墻圍成一個(gè)矩形綠化帶中間用柵欄隔成兩個(gè)小

矩形，已知房屋外墻長(zhǎng)9加.

（1）當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶/BCD的面積為42ff?2?

（2）當(dāng)48長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶48co的面積最大，最大面積是多少？

~A1ID~

B----------------c

15.如圖，根據(jù)防疫的相關(guān)要求，學(xué)生入校需晨檢，體溫超標(biāo)的同學(xué)須進(jìn)入臨時(shí)隔離區(qū)進(jìn)行留觀.我

校要建一個(gè)長(zhǎng)方形臨時(shí)隔離區(qū)，隔離區(qū)的一面利用學(xué)校邊墻（墻長(zhǎng)4.