浙江省臺州市溫嶺中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024—2025學(xué)年下學(xué)期高三3月考試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3.已知非零向量滿足，且，則（）A. B. C.1 D.4.設(shè)為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.4 B.8 C.10 D.126.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.7.正四棱臺側(cè)棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則正四棱臺的外接球表面積是（）A. B. C. D.8.下列選項(xiàng)中，曲線與在上交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一樣的是（

）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為B.已知隨機(jī)變量，若，則C.樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則D.，，，和，，，方差分別為和，若且，則10.已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根，且這n個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)將單位圓n等分.下列復(fù)數(shù)是方程的根的是（）A.1 B.i C. D.11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.的值域?yàn)镃.當(dāng)時(shí)，桓成立D.若在上恰有1012個(gè)不同解，則符合條件的a只有一個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.13.若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的a為_______.14.若存在實(shí)數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，如圖所示，，為直線岸線，千米，千米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)P按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知．（1）求岸線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得4萬元的經(jīng)濟(jì)收益．記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少萬元？16.如圖，由半徑為2的四分之一圓面繞其半徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體底面圓的圓心為，是幾何體側(cè)面上不在上的動點(diǎn)，是的直徑，為上不同于，的動點(diǎn)，為的重心，.（1）證明：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求直線與面所成角正弦值.17.在列聯(lián)表（表一）卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)中，，其中為第i行第j列的實(shí)際頻數(shù)，如，而第i行的行頻率第j列的列頻率總頻數(shù)，為第i行第j列的理論頻數(shù)，如.abcd10203040（表一）（表二）（1）求表二列聯(lián)表的值；（2）求證：題干中與課本公式等價(jià)，其中.18.已知拋物線，為的焦點(diǎn)，為的準(zhǔn)線是上兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過作，垂足為D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.（1）求C的方程；（2）在C上是否存在點(diǎn)，使得過F的任意直線交C于S，T兩點(diǎn)，交l于M，直線的斜率均成等差數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19.設(shè)p為素?cái)?shù)，對任意的非負(fù)整數(shù)n，記，，其中，如果非負(fù)整數(shù)n滿足能被p整除，則稱n對p“協(xié)調(diào)”．（1）分別判斷194，195，196這三個(gè)數(shù)是否對3“協(xié)調(diào)”，并說明理由；（2）判斷并證明在，，，…，這個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對p“協(xié)調(diào)”；（3）計(jì)算前個(gè)對p“協(xié)調(diào)”的非負(fù)整數(shù)之和．

2024—2025學(xué)年下學(xué)期高三3月考試數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)求出，求出集合即可求出.【詳解】由可知，當(dāng)時(shí)，，解得或，即．故.故選：D．2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合特例及平方數(shù)和絕對值的定義，根據(jù)充分條件和必要條件的概念判斷即可.【詳解】若，，滿足，但不成立；若，則，則成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知非零向量滿足，且，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用給定條件結(jié)得到，再結(jié)合向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】由題意得，兩邊平方得，整理得，由向量數(shù)量積的公式得，而，故，因?yàn)?，所以，即，故B正確.故選：B4.設(shè)為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性和時(shí)，，可證明充分性；取特值可證明不必要性.【詳解】若，由函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以在區(qū)間上恒成立，又與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，所以當(dāng)時(shí)，，所以，則，故“”是“”的充分條件，反之，若，當(dāng)時(shí)，，但，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及，求出，再利用，能求出結(jié)果．【詳解】，，，，解得：，，故選：D．6.某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)計(jì)算可得.【詳解】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C7.正四棱臺側(cè)棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則正四棱臺的外接球表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，設(shè)外接球半徑為，利用半徑相等列出方程，求出半徑，從而得到球的表面積.【詳解】如圖所示，，，設(shè)為外接球球心，外接球半徑為，為上下底面的中心，易知，又側(cè)棱長為，則，又易知，設(shè)，則，，故，解得：，故，所以球的表面積為，故選：B.8.下列選項(xiàng)中，曲線與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一樣的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖像平移變換的知識可知，曲線與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，與與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一致，故而分別作出，，，時(shí)與在同一坐標(biāo)系上的大致圖像，即可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)從而得解.【詳解】的圖象是由向右平移個(gè)單位得到的圖象，的圖象是由向右平移個(gè)單位得到的圖象，又當(dāng)時(shí)，，所以曲線與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，與與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一致，對于，令，得，又，所以，作出在上的大致圖象，如圖，對于A，當(dāng)時(shí)，在的圖象中作出的圖象，易知此時(shí)與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為；對于B，當(dāng)時(shí)，在的圖象中作出的圖象，易知此時(shí)與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為；對于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在的圖象中作出的圖象，易知此時(shí)與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為；對于D，當(dāng)時(shí)，在的圖象中作出的圖象，易知此時(shí)與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為；綜上，滿足ABD選項(xiàng)時(shí)兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，滿足C選項(xiàng)時(shí)兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B.已知隨機(jī)變量，若，則C.樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則D.，，，和，，，的方差分別為和，若且，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，利用百分位數(shù)的求法，直接求出第百分位數(shù)，即可求解；對于B，利用正態(tài)分布的對稱性，結(jié)合條件，即可求解；對于C，根據(jù)條件，利用殘差的定義，即可求解；對于D，根據(jù)條件，利用方差的定義，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，將數(shù)據(jù)從小排到大得到，又，數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋瑒t，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，由題知，得到，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，設(shè)，，，的平均數(shù)為，，，，的平均數(shù)為，因?yàn)?，則，又，，所以，故選D錯(cuò)誤，故選：BC.10.已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根，且這n個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)將單位圓n等分.下列復(fù)數(shù)是方程的根的是（）A.1 B.i C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意可知在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.【詳解】由題意得，方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個(gè)根，根據(jù)三角函數(shù)定義得這個(gè)根在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，∴在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為.A.當(dāng)時(shí)，，故是方程的根，A正確.B.，由得，不是整數(shù)，B錯(cuò)誤.C.，由得，符合要求，C正確.D.當(dāng)時(shí)，，故是方程的根，D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.值域?yàn)镃.當(dāng)時(shí)，桓成立D.若在上恰有1012個(gè)不同解，則符合條件的a只有一個(gè)【答案】ACD【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A的正誤，利用換元法結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B的正誤，利用導(dǎo)數(shù)考慮的單調(diào)性后可判斷C的正誤，對于D，先判斷的周期性，再利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)圖象，結(jié)合兩根特征就小根的范圍分類討論后可得參數(shù)的范圍，從而可判斷D的正誤.【詳解】對選項(xiàng)A：因?yàn)樗訟正確；對選項(xiàng)B：設(shè)，則可表為，因?yàn)?，故為上的奇函?shù)，而時(shí)，均為增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而為上的增函數(shù)，故為上增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以的值域?yàn)?，所以B不正確；對選項(xiàng)C：設(shè)，則（不恒為零），所以在上遞減，所以即，所以C正確；對選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以關(guān)于對稱，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是周期函數(shù)且周期，而，所以在上遞增，可作出草圖，如下圖設(shè)，則，該方程兩根滿足，顯然均不為0且最多僅有一個(gè)屬于，不妨設(shè),若時(shí)，方程在區(qū)間[上有1013個(gè)實(shí)數(shù)根；若時(shí)，方程在區(qū)間[上有2026個(gè)實(shí)數(shù)根；若時(shí)，在區(qū)間上有2024個(gè)實(shí)數(shù)根；若時(shí)，方程在區(qū)間上有1012個(gè)實(shí)數(shù)根；代入方程可得：，唯一，所以D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：嵌套方程的零點(diǎn)問題，一般可先考慮外方程的根的特征，再考慮內(nèi)方程的根，本質(zhì)上就是換元處理.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)“”是假命題，得出它的否定命題是真命題，利用二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：“”為真命題，所以，解得或.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：13.若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的a為_______.【答案】1【解析】【分析】該函數(shù)零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)零點(diǎn)與正弦型函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和，再對、分類討論，即可得取值.【詳解】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有2個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以a無解；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，而在上有1個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；綜上得符合條件的為1．故答案為：1．14.若存在實(shí)數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】首先利用三角函數(shù)化簡已知，轉(zhuǎn)化為，利用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造幾何意義，求距離差的最大值，再根據(jù)存在問題求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，，，令，則，又易知，點(diǎn)在圓上，如圖所示，則，又，故的最大值為，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得所以，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離公式，轉(zhuǎn)化幾何意義求最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，如圖所示，，為直線岸線，千米，千米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)P按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知．（1）求岸線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得4萬元的經(jīng)濟(jì)收益．記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少萬元？【答案】（1）千米（2）萬元【解析】【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可；（2）先由正弦定理計(jì)算出相關(guān)長度，再計(jì)算收益表達(dá)式，最后由輔助角公式求最值.【小問1詳解】在中，由余弦定理，得即岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離為千米．【小問2詳解】在中，，則，設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為萬元，則因?yàn)?，所以，所以所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高接近萬元．16.如圖，由半徑為2的四分之一圓面繞其半徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體底面圓的圓心為，是幾何體側(cè)面上不在上的動點(diǎn)，是的直徑，為上不同于，的動點(diǎn)，為的重心，.（1）證明：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求直線與面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接，然后根據(jù)條件證明即可；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面平面，且和為等腰直角三角形，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，然后算出的坐標(biāo)和平面的法向量的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹匦?，所?因?yàn)?，所以，則，所以.又面，面，所以面.；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面平面，且和為等腰直角三角形，則.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.所以，，設(shè)面的法向量為，則取，則，，故.設(shè)與面所成角為，則.17.在列聯(lián)表（表一）的卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)中，，其中為第i行第j列的實(shí)際頻數(shù)，如，而第i行的行頻率第j列的列頻率總頻數(shù)，為第i行第j列的理論頻數(shù)，如.abcd10203040（表一）（表二）（1）求表二列聯(lián)表的值；（2）求證：題干中與課本公式等價(jià)，其中.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義分別計(jì)算求解；（2）根據(jù)已知定義分別計(jì)算化簡即可即可證明.【小問1詳解】由題意得，所以；【小問2詳解】列聯(lián)表如下：abcd則，所以，同理，所以18.已知拋物線，為的焦點(diǎn)，為的準(zhǔn)線是上兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過作，垂足為D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為.（1）求C的方程；（2）在C上是否存在點(diǎn)，使得過F的任意直線交C于S，T兩點(diǎn)，交l于M，直線的斜率均成等差數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系得到方程，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由，列出等式求解即可；（2）假設(shè)存在滿足題意，過點(diǎn)得動直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由斜率公式求得得斜率，再由等差數(shù)列列出等式求解；【小問1詳解】由題意可得：，所以，所以直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程消去得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，解得：，所以拋物線方程為：【小問2詳解】由（1）得，假設(shè)存在滿足題意，過點(diǎn)得動直線方程為，聯(lián)立，解得則，設(shè)，聯(lián)立，消去得：，所以，直線得斜率為，直線得斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€的斜率均成等差數(shù)列，所以，整理得：，對任意恒成立，所以，解得：或，此時(shí)，即存在或滿足題意；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由韋達(dá)定理及斜率公式得到：直線得斜率為，直線得斜率為，直線的斜率為；19.設(shè)p為素?cái)?shù)，對任意的非負(fù)整數(shù)n，記，，其中，如果非負(fù)整數(shù)n滿足能被p整除，則稱n對p“協(xié)調(diào)”．（1）分別判斷194，195，196這三個(gè)數(shù)是否對3“協(xié)調(diào)”，并說明理由；（2）判斷并證明在，，，…，這個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)對p“協(xié)調(diào)”；（3）計(jì)算前個(gè)