湖南2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟（長郡二十校）高三第二次預(yù)熱演練數(shù)學(xué)試題（含答案）

姓名__________

準考證號__________

絕密★啟用前

2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次預(yù)熱演練

數(shù)學(xué)試卷

由長郡中學(xué)；衡陽市八中；永州市四中；岳陽縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中；石門縣一

中；澧縣一中；益陽市一中；桃源縣一中；株洲市二中；麓山國際；郴州市一中；岳陽市一

中；婁底市一中；懷化市三中；邵東市一中；洞口縣一中；寧鄉(xiāng)市一中；瀏陽市一中.聯(lián)合命

題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.函數(shù)=mx4-1,若存在Ke(0,+x),使20有解，則〃?的取值范圍為()

A.(8,1]B.r,2]C.1.bxiD.2,4-x\

2n-98

2.已知數(shù)歹！]{q}中，a=一—，則S=q+a,+…+o?+%=()

n2〃-99

A.96B.97C.98D.99

3.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二=二3二+2i，則以下命題為真命題的是()

2-i

74i

A.二的共軌復(fù)數(shù)為《一可

B.二的虛部為

5

c.|z|=3

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

4.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角

坐標系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點"IK,H是陰影部分（包括邊界）的動點，則v

X-

的最小值為（）

4

D.-1

3

5.某平臺為維護消費者權(quán)益，開設(shè)維權(quán)通道，消費者可通過電話投訴專線、郵件投訴等多個渠道進行消費維

權(quán)投訴.平臺將對投訴情況進行核實，為消費者提供咨詢幫助.據(jù)統(tǒng)計，在進行維權(quán)的消費者中，選擇電話投

1349

訴專線維權(quán)和郵件投訴維權(quán)的概率分別為，和，且對應(yīng)維權(quán)成功的概率分別為選擇其他方式維

MVJIxz

權(quán)且成功的概率為則在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概率為（）

IUU

62724

A.—B.—CD

25H)55

6.已知E為平行四邊形的邊CO的中點，以B.E為焦點的橢圓「：0+[=1（。>b>0）過點兒D

cT/）■

，且85?Bl=1BEI：-"-，則橢圓「的離心率為（）

16

I1>/276

A.B.C.D.'

3223

7.銳角A.48c中，角L8（對邊分別為八6“、S為A.4BC的面積，且<J=2S+S—c『，則

2sin:BtsinC,、

--------------的取值氾圍為（）

sinBsinC

(4359)

A.■D.[2萬.+工I

1515

8.已知函數(shù)=+a"'|a>0），貝廣">1”是"/（W的最大值大于2”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微事實上，很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)換

為幾何問題加以解決，如：對于形如J(x-a)：+(丁bf的代數(shù)式,可以轉(zhuǎn)化為平面上點例|黑田與

N(a,b]的距離加以考慮.結(jié)合以上觀點，對于函數(shù)/(”=J-+4+0,下列說法正確的是

()

A../J.VI的圖象是軸對稱圖形

是單調(diào)函數(shù)

c./i.vi的值域為卜a.+8)

D.方程/(/(x))=2+2途無實數(shù)解

10.在銳角48c中，內(nèi)角的對邊分別為0,小，若Mn5=|a+c)siM,則下列說法正確的是()

A.8=2.1

B.B的取值范圍為(m，])

C「7--1+2sinB的最小值為2a

tan.4tanfi

D「”的取值范圍是;!’1；

c\2)

11.在實數(shù)域內(nèi)，我們通常用絕對值來描述大小，而復(fù)數(shù)域中也相應(yīng)的有復(fù)數(shù)的模長來代替絕對值，于是，

我們只需定義復(fù)數(shù)的正負即可，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的“長度”即為模長，規(guī)定在復(fù)平面》軸上方的復(fù)數(shù)為正，在

K軸下方的復(fù)數(shù)為負，在X軸上的復(fù)數(shù)即為實數(shù)大小.“大小”用符號+“長度”表示，我們用[目來表示復(fù)

數(shù)的“大小”，例如：[l+2i]=君,[1-2叮=6中]=1卜3]=-2i]=火，則下列說法正確的是

()

A.Z]=1在復(fù)平面內(nèi)表示一個圓

B.若：￡C,則方程【力=-I無解

c.若干與為虛數(shù)，且Z1=虧,則卬+占］=0

D.復(fù)數(shù)二滿足［二i］=l,則目的取值范圍為［拒、21

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.12-.v,|(.v+a)'的展開式中的各項系數(shù)和為243,則該展開式中/的系數(shù)為.

13.已知a>0./>>0,<?>1,/(.V)=hx'+(a+訓(xùn)-2'-2,若

.I,,、、Ibe2c1

?x/|x)=O,xeR|=fi/(^|x|)=O,.r€Rj*0,則一+—+—-的最小值為_________.

anc-1

14.如圖，在三棱錐S18(、中，ABC為等邊三角形，".H,S5=5C,若S.』+.』8=1,則三棱錐

S48(外接球體積的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)U-2C1-ax2+lax.

(1)當“二e時，求的單調(diào)性；

(2)若函數(shù).v|在K=1處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍.

16.(15分)

已知橢圓C：=十二=11a>6>0)的離心率為三，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的3E與直線

X—y+yfb=0相切.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過定點51.()1斜率為人的直線與橢圓c交于MJ兩點，若“爐證:2.

(i)求實數(shù)人的值；

(ii)根據(jù)要求，試求出cMOA的面積.

17.（15分）

空間中，我們將至少兩條坐標軸不垂直的坐標系稱為“空間斜坐標系”.類比空間直角坐標系，乙工不分別

為“空間斜坐標系”中三條數(shù)軸。,軸、J軸、二軸）正方向的單位向量，若向量萬=?+）：/+”,則不與

有序?qū)崝?shù)組（X」'，二I相對應(yīng)，稱向量方的斜坐標為卜,］1,二］,記作戶=卜」,二］.如圖，在平行六面體

ABCD-AB1clR中,AB=AD=\,AA］=2,481=/。彳4=E?以｛粕，而，然為

基底建立“空間斜坐標系”.

（1）若點E在平面.48CO內(nèi)，且平面.48CO,求還的斜坐標；

（2）若行的斜坐標為［1,0』，求平面ID/與平面.4817）的夾角的余弦值.

18.（17分）

設(shè)數(shù)列|?>4,?€N*）,其中q=l,a“=加，若同時滿足①a,』=《或q.|=q+W=l,2,…；②

對于任意i，j,都存在乂/使得。,+。，=?！?。,”，八甲01，2「、”；且兩兩不相等,則稱數(shù)列為〃數(shù)列.

（1）當時二、時，求滿足條件的〃數(shù)列的個數(shù)；

（2）記$=q+%+，若m=2A（人e、I.

（i）證明：S>2i:+91+4；

（ii）在$=49的條件下，求4>4的概率.

19.（17分）

設(shè)川n>3）是給定的正整數(shù).對于數(shù)列《嗎，…，%,令集合S=［。,+%14/

（1）對于數(shù)列-2.0.1,直接寫出集合S；（用列舉法表示）

（2）設(shè)常數(shù)d>（）.若，…,凡是以。為首項，，/為公差的等差數(shù)列，求證：集合S的元素個數(shù)為

2/iI；

（3）若《,生，…,凡是等比數(shù)列，且4=1,公比V二2.求集合S的元素個數(shù)，并求集合S中所有元素之和.

2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次預(yù)熱演練

數(shù)學(xué)參考答案

1234567891011

ACABC

ACDCBDCA

DBD

l.A2.C3.D4.C

5.B【解析】設(shè)選擇郵件投訴為事件A,維權(quán)成功為事件8,則

P|fii=-x-+—X—+—=X—=—,故在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概

'25101010051010100

^527

率為=21)<=

P\B)100480

6.D【解析】如下圖所示：因為E為平行四邊形48C0的邊C0的中點，所以

SD-fiC=(fi￡+ED)-(fi￡+EC)=^5E+jCD-^BE-^CD=|fl￡-;所以

\AB\=\CD\=^-a,所以|0￡|=?(?。|='.連接”，由橢圓的定義：

224

\AE\=2a-\AB\=2a--a=-a,\BD\=2a-\ED\=-a；設(shè)8(-c,O),則E(c,0),故忸E|=2c,

224

22

二^BDE中，

ac

在平行四邊形.48(7)中，AB//CD所以/ABE+ZBED=H，所以co§NABE+cosZBED=0，

2c2-a24r-3/c_V6

則￡上一二0,整理得作：二所以橢圓廠的離心率為‘二

a3

7.C【解析】由三角形面積公式可得：S=?兒sin/,故/=/>csin[+仍-c)\"Lin/=Lj^

222hc

故1-彳sin,4=cos,4,因為sin二』+cos：』=I,所以sin：d+[I-^sin/=I，解得：sin_4=§或0,

4143

因為A/8(,為銳角三角形，所以sind=0舍去，故sin4=￡,cos/1=l--x-=-,由正弦定理得:

2sin咽+sin：C2h2+?2bsinCsirUcosB+coMsinB43

,其中_=_----+一

sinSsinCbebhsinBsinB5tanfl5

因為—8(,為銳角三角形所以C<1,故/+8>:，所以

22

cosA_34(一3535

B>——4,tan8>tansinJ4'5tanfi(.o,4,，令I(lǐng)F

■)15/5tan555,3b5,3

2(3在(0,：)上單調(diào)遞增，則

則glj)=：+，為對勾函數(shù),在《，上單調(diào)遞減,

g“)mm=g(a)=%+6=26,又g(1)=+3596543舊，5943「廣

3T7’因為百'百’所

515(I)5

::

,,z.592sinS+sinClbc

sinfisinC：r-e

8.A【解析】'令，=2§m、/[0,2],則.〃x)=g(r)+

故g,m=(0(-?)Ina充分性：當4>1時，lna>。，故當/€0,-時，dy("o；當

,，2時，o>'',j?'|z|>0,故g(1)在0.,單調(diào)遞減，在-.2單調(diào)遞增，而

fl22

g(0)=?*?>2,則,酬”的最大值必大于2,充分性成立；必要性：當。=1時，xl<1=2,則不滿足最

大值大于2,當0<八1時，Ina<0,故當/€時，a1>a<0；當/e；,2時,

aY/Lg'⑺N0；故g(r)在0,；單調(diào)遞減，在；.2單調(diào)遞增，又g(0)=a+l<2,要使最大值大

?3,

于2,必有g(shù)(2)>2,則一+/-2>0,即a.“〉0,即/-2。+1>0,(。-1卜(/+。-1)>0,

aa

故1+a-I<0,解得0<a<,必要性不成立.綜上，“。>1”是“的最大值大于2”的充

分不必要條件.

9.ACD

10.AB【解析】對A,由正弦定理角化邊得/=a|a+c|,由余弦定理

ca1+C1-b1a'+c：-a|a+c|c1,fe2+c:-a1a+c)+c2-a'a+c

COSD=--=--=--------，cosJ=--=--=-

laclacla22bc2bc2b

因為J8C為銳角三角形，所以比BeO.y1,2.4,所以

.‘.2(。+c>?(ai-cY.c1

cos2.4=2eos-J-l=^^-l=i---)-l=--i，所以c°s8=cos?］，所以8=21，A正

確；對B,由上知，C=it-34,

八)九

0</<—

2

因為A18(、為銳角三角形,0<2J<-解得6<月<“所以旌B正確;

23,2

0<n-3J<-

7

對C,

11、.-cosJcosB、.口sin^cosJ-cosBsinJ.,八sin(S-J|%,人

+zsinn=----------+zsinn=?2smn=+2s\nB

tan/ftanfi-------------s\nAs\;nB--------------------sinJsinA---------------------sin/fsinA

=SinJ+2sinB=—+2sinS2>/2,當」一=2sinB時，得sinB=巫，因為

sin/sinBs\nBsinB2

5€(y,i),sin5e*所以等號不成立，c錯誤；

h-a_sinfi-siivl_sin2N-sinJ_2sinJcos/l-siivl_2sirt4cosJ-siivl

對D,csin(n-3^)sin3/lsin2/coM+cos2/l§iiv!2sinJcos:J+p-2sin2J)sinJ

2sin.!cos.1-sinJ2cos.412cos.1-1I_,sf7t,JT?川正J

-----—=、一,=二~-=-------------，因為一<<<二，所以J<co$/〈Y

3s\nA-4sin\43-4sinJ4cos\4-12cosJ+16422

所以e+i<28/+kG+]’所以肅(五卷T<卷

誤.

11.BCD【解析】根據(jù)已知條件[二]=1表示模長為1,在復(fù)平面位于X軸上方的復(fù)數(shù)，所以并不是一個圓,

故A錯誤；若：eC,則方程[目為一個實數(shù)，所以[：]：=-I無解，故B正確；若4，4為虛數(shù)，且：：

,設(shè)：二hi,則匚=-6i,所以

[ZJ=A,[Z2]=h,所以["+上]=0,故C正確；設(shè)二二0+bi,根據(jù)復(fù)數(shù)的新定義有

[二-i]=[“+(6-1)i]=1,所以—|，且14W2,所以(「=|—(/)—1?所以閆是

yja2+b2=\j\-(b-1)2+b1=>j2b>所以J2b€[>/1,2|,故D正確；

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.48【解析】令*=1可得(2-「)(1+。)'=243,解得u…?的展開式中通項

Srr

7；+,=C；5-2,r=0,l,--,5,分別令5-r=0,5-r=3,得r=5j=：,所以一-展開式中的常數(shù)

項和含的項分別為

7；=C；/$?2$=32,7；=C；x52-22=4(*,所以(2-x')(x+。)，展開式中/的系數(shù)為

2x40-32=48.

13.8【解析】因為"/1門=0,、￡R=：。〃丁|.川=0」￡R=0,

則方程〃*=0與/(/|x”-0有相同的解，不妨設(shè)為x“，

/小)=0

故/(0)=0,即/??()，+(0+26卜2。-2=0,整理得a+2b=2,

f(7k))=0

因為。>0,<)>O,c>I,所以

abc-1\ab)c-1[ah)c-\{ah)c-1

-=4(c-l)+-----+…22.J4Ic-l|-------+4=8,

c-1Vc-1

23he2c1

即。二力=不,c=7時，等號成立，所以+丁+的最小值為8.

32abc-1

14.4"三【解析】如圖，取8c中點E,連接5E.JE,貝MCISE.BC1IE,

147

又SEnif>￡,S￡J￡c平面/SE,則“1平面/SE,

因為S.4c平面/SE,則8cls4,

又3i48/8n8c=8..48.0Cc平面.48(,,

所以S.41平面，8c,

所以三棱錐S-」8c的外接球球心必在過.18C的中心01且平行于S4的直線上，

且=3.4,設(shè)48=NQ<x<11,則S.4=1-x,401=今,

設(shè)三棱錐S-/8c的外接球半徑為R,則有=/0-+00：=+：,

1224

當工=；時，曦=:，故三棱錐5-ABC外接球體積的最小值為y&S=彳年.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.【解析】（1）當“=的，./f.VI=|x2）e'1ex2?lex,

則J'\.vl=?,r-l|e1-2e|,v-11=I,v-11|e1-2e）,

令./Ix）=。，解得K=1或x=2+In?.

令/'（x）<（）,解得I<x<2+ln2,所以/卬在（1,2+In2）上單調(diào)遞減；

令/'（X）>0,解得\<：1或x>2+ln2,即/（X）在（-?M）,（2+ln2,+x1上單調(diào)遞增.

綜上，函數(shù)/(“在卜8J，1211n2.itI上單調(diào)遞增，在(1,2Mn2)上單調(diào)遞減.

(2)由/(.v|=(x-2)e*"+2ax求導(dǎo)得/'(x)=(x-ljc"1-2?(x-1)=(x-l)|e''-2u|,

①當a4o時，e'-2a>0恒成立，

令/(X)<O,解得x<l,即〃”在(-8,1)上單調(diào)遞減;

令/'(x)>0,解得X>1,即/(."在上單調(diào)遞增，

故。40時，函數(shù)/(H在K=I處取得極小值，符合題意；

②當0<a<1時，令.“、)=。，解得*=1.工=1-ln(2(7),且；>。，

當l+ln(2a)<x<l時，/'l.vKO,函數(shù)/\；在【I-h2’八.11上單調(diào)遞減；

當時，/'(x)>0,函數(shù)/(V在(1,+8|上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(H在K=1處取得極小值，符合題意.

③當。=；時，令/'(x)=°,解得、=工=1,此時/'(x)NO恒成立且不恒為0,/(X)單調(diào)遞增,

故函數(shù)/(皿無極值，不符合題意.

④當。>［時，令/'(x)=0,解得M=l,.q=I,ln(2a),且―，

當x<l時，/'(x)>0,函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當l<x<l+ln(2a)時，/(x)<0,函數(shù)/(x|在(l,l+ln(2a|)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/用在、=1處

取得極大值，不符合題意.

綜上，實數(shù)"的取值范圍是

?22?2?4

16【解析】(1)由題意知離心率e=^=-,所以e=二即/=,方

a2a-a143

瓜

以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的3E與直線+6=0相切，有力=

712+(-02

所以尸=3,則r=4,故橢圓C的方程為三+匕=1.

43

⑵⑴設(shè)直線MA的方程為「二

22

工+Jl

由彳43，消去J得(3+41)/-84:x+4k:-\2=0,顯然A>0,

尸曲X-1)

8公

.皿=3+止

4A2_12,

M=3+4l

、.,(4k2-128A-.]-9k2

2

則y^v,=k(x.-l]-k(x2-\]=k[x,x2-(x,+x,+1=A------；---------+1=-

」(3+4-3+4/)3+4上

所以。V?。2=$八+vr,==_；>,

'*'u,--3+41F

.:卜=2,解得±=±VT.

16

(ii)由(i)可知，直線為1=±&\x-

hXj=n

2…『一肛與=氐楙)+、=4

所以|A/N|=J[%+(必-%/=4+k

V2R

點。到直線的距離4=

G3

ll…」八.c136\]66v6

所以「1/0\的面積S=-x——x----=------

2113II

17.【解析】（1）由題可知AE=xi+\],AAt=2k,則福=/+0-2.（提示：斜坐標的本質(zhì)是將空

間中的向量用基底表示后的系數(shù)），由題可知==4E1平面ABCD,

(?

A,E*AB=0,(xi+0-2)i=-1+x=Ot__

J_____即一一.一則；二:T,則，#'的斜坐標為[1]，2].

4E?m=o,lx/+W-24)?/=-1+y=0,

（2）由題可得"二f+后函二.八“，

設(shè)平面XDF的法向量為萬=p：+/+〃瓜（提示：設(shè)斜坐標系下的法向量，通過求解法向量方程與賦值

求得法向量），

33gA

++/+〃/)=p-F—+—+—+/n=0,一P+一削+三=0.

d=O.222即.222

由_得.

c5八

,1=0,(j+24(0+qj+族)=q+三+p+q+2n1=0,2q+p-\"—m=0,

2

取"i=10,可得p==-9,

即1=-7：-91+10“

貝=mF=(-77一9j+10Q2=49+81+100-70-90=70.

由(1)可知4K_L平面.48CO,

且季=7+j-2h貝"耶『=(：+j-2i尸=I+I+4-2-2=2,

^E,a=(f+J-2i)(-7f-9j+l0i|=-7+5-9+5+7+9-20=-10,

I/—uAxE-a\inJ35區(qū)

則卜。乂4瓦研=」彳肅=而訴:即平面,彳。十與平面.48(7)的夾角的余弦值為等.

18.【解析】(1)當-L"-的，q=1,4=2

由條件①知q=1或2.

又由條件②對于任意入/,都存在S"使得a,+a=a,?e；l,2一?,”且兩兩不相等)，

可得滿足條件的4數(shù)列只有一個，且為.

(2)⑴證明：當加=2k(keE凡

設(shè)數(shù)列中L口.…J--I.M出現(xiàn)的頻數(shù)分別為/"J；，

由題意知/2卜=1,2,3-、2>2,2h121,

若'<；,則有q+%<?+q(對任意s>/>2)與已知矛盾，

故3??,同理可得24,

若工<2,假設(shè)$=1,則存在唯一的匕1,2,3,…2；,使得」=；

那么對于任意不同于1J的sJ則有q+q=l+2wq+《，與已知矛盾，

所以工N2,同理可得

所以S=4+%+%+???+%21x4+2x2+3x1+???+(24—2]xl+(2&-l]x2+2&x4

(3+21)(21),

=12*+6+------------------------^=2…然+4.

2

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(ii)由⑴知S>2卜+9K4,即2卜?9￡+4449,解得一彳4443,

又kE、’,所以Aw(o,3],所以"1=21e(0,6]且為整數(shù),所以m=1.23456,

當斷=1時，數(shù)列[4/,只有1組；

當?=2時，數(shù)列:《，；可以表示為:|出方3力}(、+2『=490,24)，

滿足條件t+2y=49.x>4.r>4的(xj)有(5,22),(7,21)，.…(41,4)共19組;

當m=3時，數(shù)列："”；可以表示為，，7'一.1