2024-2025學(xué)年同步試題 數(shù)學(xué) 必修第二冊(cè)四　向量的數(shù)乘運(yùn)算

四向量的數(shù)乘運(yùn)算(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)已知向量a,b,那么12(2a-4b)+2b等于(A.a-2b B.a-4bC.a D.b【解析】選C.12(2a-4b)+2b=a-2b+2b=a2.(5分)設(shè)e是單位向量,=3e,=-3e,||=3,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】選B.因?yàn)?3e,=-3e,所以=-,所以四邊形ABCD是平行四邊形,又因?yàn)閨|=3,所以四邊形ABCD是菱形.3.(5分)在△ABC中,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),記=a,=b,則=()A.12a+b B.12aC.12a+12b D.12a【解析】選C.由題意可知,=12=12(-)=12(a-b),=+=b+12(a-b)=12(a+b).4.(5分)(2024·運(yùn)城高一檢測(cè))已知向量a,b不共線,且向量λa+b與a+(2λ-1)b方向相同,則實(shí)數(shù)λ的值為()A.1 B.-1C.1或-12 D.1或-【解析】選A.因?yàn)橄蛄喀薬+b與a+(2λ-1)b方向相同,所以存在唯一實(shí)數(shù)k(k>0),使a+(2λ-1)b=k(λa+b),因?yàn)橄蛄縜,b不共線,所以kλ=12λ-1=k5.(5分)(2024·連云港高一檢測(cè))已知a,b是不共線的向量,且=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,則()A.A,B,D三點(diǎn)共線 B.A,B,C三點(diǎn)共線C.B,C,D三點(diǎn)共線 D.A,C,D三點(diǎn)共線【解析】選D.因?yàn)?3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=3a-6b,若A,B,D三點(diǎn)共線,則=λ,而3=3λ4=-因?yàn)?3a+4b,=-2a-6b,所以=a-2b,若A,B,C三點(diǎn)共線,則=λ,而3=λ因?yàn)?-2a-6b,=2a-4b,所以=+=-10b,若B,C,D三點(diǎn)共線,則=λ,而-2=0因?yàn)?3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,所以=a-2b,=3a-6b,即=13,所以A,C,D三點(diǎn)共線,故D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·哈爾濱高一檢測(cè))已知e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,向量a=3e1-2e2,b=ke1+e2.若a∥b,則k=()A.-32 B.23 C.32 D【解析】選A.因?yàn)閍∥b,所以存在唯一實(shí)數(shù)λ,使b=λa,所以ke1+e2=λ(3e1-2e2)=3λe1-2λe2,因?yàn)閑1,e2是兩個(gè)不共線的向量,所以k=3λ1=6.(5分)(多選)(2024·西安高一檢測(cè))下列說(shuō)法正確的有()A.(-5)(6a)=-30aB.7(a+b)+6b=7a+13bC.若a=m-n,b=3(m-n),則a,b共線D.(a-5b)+(a+5b)=2a,則a,b共線【解析】選ABC.對(duì)于A,(-5)(6a)=(-5×6)a=-30a,故正確;對(duì)于B,7(a+b)+6b=7a+7b+6b=7a+13b,故正確;對(duì)于C,因?yàn)閍=m-n,b=3(m-n),所以b=3a,所以a,b共線,故正確;對(duì)于D,因?yàn)?a-5b)+(a+5b)=2a恒成立,所以a,b不一定共線,故錯(cuò)誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)已知m,n是實(shí)數(shù),a,b是向量,則下列命題中正確的為()A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,則a=bD.若ma=na,則m=n【解析】選AB.根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得出選項(xiàng)A,B都正確;ma=mb且m=0時(shí),得不出a=b,所以C錯(cuò)誤;ma=na且a=0時(shí),得不出m=n,所以D錯(cuò)誤.7.(5分)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,則x=__________.

【解析】因?yàn)?(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,所以3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=-3a+4b.答案:-3a+4b8.(5分)如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn),則=______

.【解析】因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DE∥BC,即與共線.又DE=12BC,且與反向,所以=-12.答案:-19.(5分)在△ABC中,D為CB上一點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),若=25+m,則m=____________.

【解析】因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),所以=2=45+2m,因?yàn)锽,D,C三點(diǎn)共線,所以45+2m=1,解得m=1答案:1【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,=23+13,則BDDC=()A.13 B.12 C.23 【解析】選B.因?yàn)?23+13,所以23-23=13-13,即23=13,所以=2,所以BDDC==1210.(10分)如圖所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC和AB的中點(diǎn),若=a,=b,試用a,b表示,,.【解析】如圖所示,連接CN,則四邊形ANCD是平行四邊形.則==12=12a,=-=-12=b-12a,=-=--12=--12-12=14a-b.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·哈爾濱高一檢測(cè))在平行四邊形ABCD中,=13,AC與DE交于點(diǎn)O,則()A.=112-14B.=112-14C.=112+14D.=112+14【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,=13,則△AEO∽△CDO,所以AEAB=AEDC=AOOC=13,則AOAC=14,所以=-=13-14=13-14(+)=112-112.(5分)(多選)在△ABC中,AD,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線且交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論正確的是()A.-=B.=13(+)C.++=0D.++=0【解析】選BCD.依題意,如圖所示:因?yàn)锳D,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線且交于點(diǎn)O,所以O(shè)是△ABC的重心.對(duì)于A:若-=,則=+,因?yàn)?+,所以=,顯然不成立,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:=23=23×12×(+)=13(+),故B正確;對(duì)于C:++=12(+)+12(+)+12(+)=12(+)+12(+)+12(+)=0,故C正確;對(duì)于D:++=-23-23-23=-23(++)=-23×0=0,故D正確.13.(5分)已知向量a,b是兩個(gè)非零向量,e為單位向量,在下列三個(gè)條件中,①2a-3b=4e且a+2b=-3e;②存在相異實(shí)數(shù)λ,μ,使λa-μb=0;③xa+yb=0(其中實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0).能使a,b共線的條件是__________.(填序號(hào))

【解析】對(duì)于①,因?yàn)橄蛄縜,b是兩個(gè)非零向量,由2a-3b=4e且a+2b=-3e,得a=-17e,b=-107e,即b=10a,此時(shí)能使a,b共線,對(duì)于②,向量a,b是兩個(gè)非零向量,存在相異實(shí)數(shù)λ,μ,使λa-μb=0,則有λ≠0且μ≠0,a=μλb,顯然兩個(gè)非零向量是共線的,②對(duì)于③,xa+yb=0(其中實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0),如果x=y=0則不能使a,b共線,③不正確.答案:①②14.(10分)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=1,E為線段AB的中點(diǎn),F為線段AC上的一點(diǎn),且AF=3FC,記=a,=b.(1)用向量a,b表示;(2)用向量a,b表示.【解析】(1)因?yàn)?12,所以=+=+12=b+12a.(2)因?yàn)?12,=34,所以=-=34-12=34b+12a-12a=-18a+34b.15.(10分)(2024·銀川高一檢測(cè))設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)非零向量.(1)若=2a+b,=3a-b,=a+3b,求證:A,B,C三點(diǎn)共線;(2)若9a-kb與ka-4b共線,求實(shí)數(shù)k的值.【解析】(1)因?yàn)?-=(3a-b)-(2a+b)=a-2b,而=-=(a+3b)-(3a-b)=-2a+4b,所以=-2,所以與共線,且有公共點(diǎn)B,所以A,B,C三點(diǎn)共線;(2)因?yàn)?a-kb與ka-4b共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使得9a-kb=λ(ka-4b)=kλa-4λb,因?yàn)閍與b不共線,所以9=kλ解得λ=±32,所以k=4λ=±6【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a,b是兩個(gè)不共線向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),(1)求證:A,B,