極坐標線路放樣計算原理

極坐標線路放樣計算原理一、概述

工程測量中,經(jīng)常會遇到線路放樣工作,其中包括一些緩與曲線、園曲線等得放樣工作。傳統(tǒng)得線路放樣工作(特別就是曲線放樣工作)需要首先確定線路得各關(guān)鍵點,如直緩點、緩圓點、交點等,然后再在這些點上架設(shè)儀器,根據(jù)曲線要素,采用偏角法或切線支距法進行放樣工作。這些方法步驟繁瑣,受現(xiàn)場地理條件得限制較多,且放樣成果累積誤差也較大。

在全站儀與GPS較為普及得今天,需要改進線路放樣工作得方法,提高放樣工作得效率,通過對各種測量線路得分析研究,抓住確定線路形狀得主要因素,導(dǎo)出計算線路軸線及邊線上任意點得坐標計算公式。這樣就可以配合全站儀或GPS在控制點上設(shè)站,按極坐標法對路線上任意點進行放樣,使得各類線路得放樣工作變得簡便、靈活、快捷。

二、線路軸線上點得坐標計算原理

一般來說,工程線路軸線無論其復(fù)雜程度如何,均由直線、緩與曲線及園曲線等三類基本線型得組合而成。其中緩與曲線主要用于連接直線與園曲線、兩個曲率半徑不同得園曲線。

1、直線段上任意點得坐標計算

如圖一所示,一直線段AB,在起點A得坐標(XA,YA)、起點方位角αAB及線路長度lAB確定得情況下,該段線路完全確定。線路上任一樁位點P得坐標(XP,YP)可由起點A至P點得距離lAB及方位角αAB按式(1)計算:

(1)

線路終點B坐標為:

(2)

直線形線路得特點就是,線路上任意一線段得方位角不變,均為αＡＢ。

2、

緩與曲線上任意點得坐標計算

工程線路中一般采用螺旋線作為緩與曲線,如圖二所示。螺旋線得特點就是:曲線上任一點P得曲率半徑RP與該點至起點得曲線長lAB成反比,即:

(3)

式中:C為比例常數(shù),K為加常數(shù)。

當緩與曲線用于連接直線至圓曲線時,K=0,此時在直線與緩與曲線連接點處得曲率半徑R→∞。當緩與曲線用于連接圓曲線至直線時K=-lAB,此時在緩與曲線與直線連接點處得曲率半徑R→∞。

ABαＡＢXYOPlAPＡXYＯRAPRPBRBxyαAαB圖一:直線段任意點意圖圖二:緩與曲線上任意點示意圖

設(shè)緩與曲線兩端點得曲率半徑分別為RA及RB,當RA、RB及緩與曲線長lAB與曲向確定時,且起始點A坐標(XA,YA)及A點切線方位角αA也確定時,則緩與曲線完被全確定(包括緩與曲線形狀及其在坐標系中得位置)。由圖二知,當lAP=0時,RP=RA;當lAP=lAB時,RP=RB。因此,按式(3)可列出:

(4)

由式(4)解得

(5)

如圖三所示,以A點為原點建立過渡直角坐標系A(chǔ)-xy,其中坐標橫軸與A點切線重合。從圖中可以瞧出,曲線上任一弧長得微分段與相應(yīng)得坐標有如下關(guān)系:

(6)

對式(6)求積得:

(7)

式中β為弧長l得函數(shù)。由于dβ=dl/R,則由式(3)有:

(8)

則

(9)

dxdydldβRABAxyRBβ0β0β圖五:緩與曲線上任意點得坐標計算示意圖

由式(5)知:

(10)

將式(10)代入式(7)有:

(11)

將式(11)按冪級數(shù)展開,并逐項積分,略去可忽略得9次以上高次項得

(12)

式(12)即為由圖三所示得在A-xy坐標系中解算緩與曲線上軸線點得坐標計算公式。在式(12)中,當RA→∞時有:

(13)

當RB→∞時,式(12)化為:

(14)

式(12)、(13)、(14)分別為三種不同情況下,緩與曲線軸線上點坐標在A-xy坐標系中得計算公式。當在上面得計算公式中用lAB代lAP時,即得緩與曲線終點B之坐標(xB,yB)。需要注意得就是:在實際計算時,還需要將在A-xy系中計算得坐標換算到施工坐標系O-XY中去。由圖二得到轉(zhuǎn)換公式:

(15)

如圖二、圖三所示,緩與曲線終點得切線方位角αB應(yīng)為:

(16)

顧及式(10)有:

(17)

當RA→∞時:

(18)

當RB→∞時:

(19)

3、圓曲線上任意點得坐標計算

如圖四所示,對圓曲線同樣只要給定其起點A得坐標(XA,YA)、起點方向αA、圓半徑R及線路長lAB,則該圓曲線形狀及位置完全確定。

又如圖五所示,設(shè)以起點A為原點,A點切線方向為y軸方向,建立直角坐標系A(chǔ)-xy。則容易推求出圓曲線軸線上P點得坐標:

(20)

注意到β=lAP/R,故上式化作:

β0β0βαABAxyOYXPR圖四:圓曲線上任意點得坐標計算示意圖β0β0βAxyBlAPPR圖五:

起點為原點圓曲線上任意點得坐標計算示意圖

(21)

式(21)即為在A-xy系中,圓曲線軸線上任一點P得坐標計算公式。同樣式4、7-21需要按式(15)作坐標轉(zhuǎn)換。

由圖四、圖五得圓曲線終點B得切線方位角為:

(22)

需要說明得就是:在曲線部分我們只討論了曲線得一個曲向(左向)。至于另一個曲向(右向),由對稱性顯見,在由圖三、圖五所確定得坐標系中,其y值不變,x值取相反符號。即當曲線得曲向為右向時,仍可按緩與曲線坐標計算公式(12)、(13)、(14)及圓曲線得坐標計算公式(21)等計算軸線點坐標,只就是在計算結(jié)果中,將xp得符號取其反號即可。同時,對線路終點方位角得計算也需稍為作些調(diào)整。對于緩與曲線來說,當曲線得曲向為右向時,曲線終點方位角得計算公式(17)、(18)或(19)中右邊得“-”號應(yīng)取“+”,即相應(yīng)于式(17)、(18)及(19)有:

(23)

(24)

(25)

對于圓曲線而言,當曲線得曲向為右向時,曲線終點方位角計算公式4、7-22右邊得“-”號也應(yīng)取“+”,即有:

(26)

4、各類線路得連接

工程線路得連接一般遵循如下兩條原則:第一,前一線路段得終點與后一線路段得起點重合;第二,前一線路段得終點方向(或終點得切線方向)與后一線路段得起點方向(或起點得切線方向)一致。因此,對任一條復(fù)合線路,只要知道該線路得組成形式(即該復(fù)合線路按次序分別由哪些形式得線路段組合而成)、各線路段得長度、曲線得曲向、圓曲線得半徑以及第一段線路得起點坐標、起點方向等,則該復(fù)合線路形狀及位置就完全確定,就可用上述公式按線路組合次序計算線路軸線上任意里程點得坐標。然后,再根據(jù)計算坐標由全站儀按極坐標法實施線路軸線上得樁位放樣工作。

三、線路邊線點得放樣坐標計算

上面討論了各類線路軸線上得樁位點按里程得坐標計算公式。但在實際工作中,我們往往不僅需要測定線路軸線得位置,而且還需要測定與線路軸線成一定夾角得排架樁位。下面,我們導(dǎo)出根據(jù)線路軸線上得里程及該里程排架與軸線得夾角與排架上樁位離軸線得距離來推算相關(guān)樁位坐標得計算公式。有了這些公式,我們就可以在實際工作中直接放樣線路軸線以