浙教版九年級數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：二次函數(shù)的應(yīng)用-實際應(yīng)用（解析版）

第06講二次函數(shù)的應(yīng)用-實際應(yīng)用

產(chǎn)知識點梳理

一、列二次函數(shù)解應(yīng)用題

列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)

了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式.對于應(yīng)用題要注意以下

步驟：

(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是

什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系).

(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確.

(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這

就是二次函數(shù).

(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。

(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案.

(6)寫出答案.

要點：

“常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋

物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

二、建立二次函數(shù)模型求解實際問題

一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)

出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題.

要點：

(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,

利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)

去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.

(2)對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學(xué)會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.

心購解號蔻閱

[J例L一臺機(jī)器原價100萬元，若每年的折舊率是無，兩年后這臺機(jī)器約為y萬元，

則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()

A.y=100(1-x)2B.y=100(1-%)C.y=lQQ-x2D.y=100(1+x)2

【答案】A

【解析】

【分析】

原價為100萬元，一年后的價格是100x(1-x),二年后的價格是為：100x(1-x)X(1-X)

=100(1-x)2,則函數(shù)解析式求得.

解：由題意得：二年后的價格是為：100x(1-x)x(1-x)=100(1-x)2,

貝I函數(shù)解析式是：y=100(1-x)2.

故選A.

【點睛】

本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的知識，需注意第二年的價位是在第一年的價位

的基礎(chǔ)上降價的.

兇例

2.長為20cm,寬為10cm的矩形，四個角上剪去邊長為xcm的小正方形，然后把

四邊折起來，作成底面為yen?的無蓋的長方體盒子，則y與x的關(guān)系式為(

A.y=(10-x)(20-x)(0<x<5)B.y=10x20-4x2(0<x<5)

C.y=(10—2元X20-2x)(0〈尤<5)D.y=200+4x2(0<%<5)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用現(xiàn)有一塊長20c?t、寬10c機(jī)的矩形，將它的四個角各剪去一個邊長為xcMt的小正方形,

則底面長與寬均減少表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進(jìn)而得出y與x之間的函

數(shù)關(guān)系式.

解：設(shè)小正方形邊長為xcm,由題意知：

現(xiàn)在底面長為(20-2x)cm,寬為(10-2x)cm,

貝Uy=(10-2x)(20-2x)(0<x<5),

故選：C.

【點睛】

此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬是解題關(guān)

鍵.

例3.重裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y(元)與銷售單價X(元)

滿足關(guān)系，=-/+50芯-500,則要想獲得最大利潤每天必須賣出()

A.25件B.20件C.30件D.40件

【答案】A

【解析】

【分析】

將函數(shù)解析式配方成頂點式后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

解：\'y=-x2+50x-5Q0=-（x-25）2+125,

...當(dāng)x=25時，y取得最大值，最大值為125,

即銷售單價為25元時，銷售利潤最大，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練將二次函數(shù)的一般式化為頂點式的能力及

掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

4.在中考體育訓(xùn)練期間，小宇對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實心

1QQ

球飛行高度y（米）與水平距離了（米）之間的關(guān)系式為了=/+不尤+不由此可知小宇

此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)椋ǎ?/p>

O

A.g米B.8米C.10米D.2米

【答案】B

【解析】

【分析】

1ao

小宇此次實心球訓(xùn)練的成績就是拋物線y=-由f%與％軸交點的橫坐標(biāo)，即當(dāng)y

=0時，求X的值即可.

138

解：當(dāng)y=0時，即了=一歷/+二X+二二。，

解得：xi=-2（舍去），&=8,

所以小宇此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)?米，

故選：B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)

或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵.

。^例5.如圖，某農(nóng)場擬建一間矩形奶牛飼養(yǎng)室，打算一邊利用房屋現(xiàn)有的墻（墻足夠

長），其余三邊除大門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50m,門寬為2m.若飼養(yǎng)室長為xm,

占地面積為yn?,則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（）

\\\\\\\\\、\

墻

Tni—

M-------------------X

A.y=-yx2+26x(2<x<52)B.y=-^-x2+50x(2<x<52)

C.y=-x2+52x(2<x<52)D.y=-x2+27x-52(2<r<52)

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根據(jù)題意表示出垂直與墻飼養(yǎng)室的一邊長，再利用矩形面積求法得出答案.

解：y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式為：>=；(50+2-x)x

=--x2+26x(2Wx<52).

2

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系，正確表示出另一邊長是解題關(guān)鍵.

6.下表所列為某商店薄利多銷的情況，某商品原價為560元，隨著不同幅度的降

價，日銷量(單位為件)發(fā)生相應(yīng)的變化.如果售價為500元時，日銷量為()

件.

降價(元)5101520253035

日銷量(件)780810840870900930960

A.1200B.750C.1110D.1140

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析得，每降5元，銷售量增加30件，就可求出降60元時的銷售量,

以此進(jìn)行分析即可.

解：由表中數(shù)據(jù)得，每降5元，銷售量增加30件，

即每降1元，銷售量增加6件,

降560—500=60元時，銷售量為780+(60-5)義6=1110(件).

故答案為：C.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用：在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，

最大銷量等問題.解答此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式.

［例7.一位運動員在距籃筐正下方水平距離4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，

當(dāng)球運行的水平距離為2.5m時，達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃筐.如圖所示，建立

平面直角坐標(biāo)系，已知籃筐中心到地面的距離為3.05m,該運動員身高1.9m,在這次跳投

中，球在頭頂上方0.25m處出手，球出手時，他跳離地面的高度是()

A.0.1mB.0.2mC.0.3mD.0.4m

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+3.5,依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此可得a的值，設(shè)球出手

時,他跳離地面的高度為hm,則可得h+2.15=-0.2x(-2.5)2+3.5.

???當(dāng)球運行的水平距離為2.5m時，達(dá)到最大高度3.5m,...拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,3.5),

設(shè)拋物線的解析式為y=a^+3.5.由題意知圖象過點(153.05),2.25a+3.5=3.05,解

得。=-0.2,拋物線的解析式為y=-0.2x2+3.5.設(shè)球出手時，他跳離地面的高度為/?m.

:拋物線的解析式為＞=-0.2/+3.5,球出手時，球的高度為/7+L9+0.25=(/z+2.15)m.

.,./?+2.15=-0.2x(-2.5了+3.5,/.h=QA.

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，建立合適的平面直角坐標(biāo)系是解決本題的突破點，求得二

次函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.

例8.如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=3m,水從噴頭P噴出后呈拋物線狀

先向上至最高點后落下，若最高點距水面4m,P距拋物線對稱軸1m,則為使水不落到池外,

水池半徑最小為()

A.1B.1.5

C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

首先建立坐標(biāo)系，然后利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后令y=0,即可求解.

如圖建立坐標(biāo)系：

拋物線的頂點坐標(biāo)是(1,4),

設(shè)拋物線的解析式是y=a(x-1)2+4,

把(0,3)代入解析式得：a+4=3,

解得：a=-l,

則拋物線的解析式是：y=-(x-1)2+4,

當(dāng)y=0時，-(x-1)2+4=0,

解得：Xl=3,X2—1(舍去)，

則水池的最小半徑是3米.

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是本題的關(guān)鍵.

［例9.小明周末前往游樂園游玩,他乘坐了摩天輪，摩天輪轉(zhuǎn)一圈，他離地面高度y(m)

與旋轉(zhuǎn)時x(s)之間的關(guān)系可以近似地用丫=-4/+云+。來刻畫.如圖記錄了該摩天輪旋轉(zhuǎn)

40

時尤(s)和離地面高度y(m)的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可以推斷出：當(dāng)小明乘

坐此摩天輪離地面最高時，需要的時間為()

A.172sB.175sC.180sD.186s

【答案】C

【解析】

【分析】

把己知點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得b,c的值，可得函數(shù)解析式，再由二次函數(shù)求最值.

解:把(160,60),(190,67.5)分別代入y=-々V+6無+c,

1,

-----xl602+160/?+c=60

40

可得＜

1

——X19(9)2+190"。=67.5

40

b=9

解得:

c=-740

則y=---x2+9x-740,

40

(a=--<0

40

上當(dāng)一五7T=18°時，》有最大值，

zX—

40

，當(dāng)小明乘坐此摩天輪離地面最高時，需要的時間為180s,

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決問

題，是基礎(chǔ)題.

色2|例1°.在某種病毒的傳播過程中，每輪傳染平均1人會傳染x個人，若最初2個人感

染該病毒，經(jīng)過兩輪傳染，共有y人感染.則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.j=2（1+x）2B.y=（2+x）2C.y=2+2x2D.y=（l+2x^

【答案】A

【解析】

【分析】

用含有X的代數(shù)式分別表示出每輪傳染的人數(shù)和總?cè)藬?shù)即可得解.

V每輪傳染平均1人會傳染x個人，

，2人感染時，一輪可傳染2x人，

，一輪感染的總?cè)藬?shù)為2x+2=2(l+x)人；

V每輪傳染平均1人會傳染x個人，

；.2(l+x)人感染時，二輪可傳染2(l+x)x人，

二輪感染的總?cè)藬?shù)為［2(l+x)+2(l+x)x］=2。+尤)2人；

y=2(l+x)2,

故選A.

【點睛】

本題考查了平均增長問題，準(zhǔn)確表示每一輪傳染的人數(shù)是解題的關(guān)鍵.

△2］例11.一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某商店銷售一批頭盔，售價為每頂

80元，每月可售出200頂.在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：

每降價1元，每月可多售出20頂.己知頭盔的進(jìn)價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利

潤時，每頂頭盔的售價為()元.

A.60B.65C.70D.75

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可以先設(shè)出每頂頭盔降價X元，利潤為W元，然后根據(jù)題意可以得到W與X的函

數(shù)關(guān)系式，再將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到降價多少元時，卬取得最大值，從而可以

得到該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價.

解：每頂頭盔降價X元，利潤為W元，

由題意可得，W=(80-X-50)(200+20%)=-20(x-10)2+8000,

.,.當(dāng)尤=10時，w取得最大值，此時80-尤=70,

即該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為70元，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

12.某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每

天可售出450千克.當(dāng)售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克.設(shè)當(dāng)日銷售單

價為尤(元/千克)(x330,且x是按0.5的倍數(shù)上漲)，當(dāng)日銷售量為了(千克).有下

列說法：

①當(dāng)x=36時，>=420

②，與尤之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30尤+1500

③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為42元/千克

④若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克

其中正確的是()

A.①②B.①②④C.①②③D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)利潤的關(guān)系逐一判斷即可；

當(dāng)x=36時，^=450-15x2=420,故①正確；

由題意得：y=450-(x-35)xl5x2=-30x+1500,故②正確；

日銷售利潤為w=y(x-30)=(—30x+1500)(x—30),

由題意得：(-30x+1500)(x-30)=2880,

整理得：x2-80%+1596=0.

解得：無1=42,%=38,

???銷售單價為38元/千克時的銷售量比銷售單價為42元/千克時大，

x=42不合題意，

即若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為38元/千克，故③錯誤;

由上問可知：w=y(x-30)=(-30x+1500)(^-30),

即w=-30x2+2400x-45000=—30(尤2-80尤+1500)=—30(%一40)2+3000,

V-30<0,

.?.當(dāng)x=40時，卬最大值=3000,

即若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克，故④正確；

故正確的是①②④；

故答案選反

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

心跟蹤酬瀛

一的陰廝

1.一臺機(jī)器原價100萬元，若每年的折舊率是X,兩年后這臺機(jī)器約為y萬元，則y與X

的函數(shù)關(guān)系式為()

A.y=100(1-x)2B.y=100(l—x)C.j=100-x2D.y=100(1+x)2

【答案】A

【分析】原價為100萬元，一年后的價格是100x(1-x),二年后的價格是為：100x(1-x)

X(1-x)=100(1-x)2,則函數(shù)解析式求得.

【解析】解：由題意得：二年后的價格是為：100x(1-X)X(1-X)=100(1-x)2,

則函數(shù)解析式是：y=100Cl-x)2.

故選A.

【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的知識，需注意第二年的價位是在第一

年的價位的基礎(chǔ)上降價的.

2.重裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y(元)與銷售單價無(元)滿足關(guān)系

丁=-/+50工-500,則要想獲得最大利潤每天必須賣出()

A.25件B.20件C.30件D.40件

【答案】A

【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

【解析】解：y=-^2+50x-500=-(x-25)2+125,

.??當(dāng)尸25時，y取得最大值，最大值為125,

即銷售單價為25元時，銷售利潤最大，

故選：A.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練將二次函數(shù)的一般式化為頂點式

的能力及掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

3.長為20cm,寬為10cm的矩形，四個角上剪去邊長為xcm的小正方形，然后把四邊折起

來，作成底面為yen?的無蓋的長方體盒子，則y與x的關(guān)系式為()

A.y=(10-x)(20—尤)(0<x<5)B.j=10x20-4x2(0<x<5)

C.y=(10-2x)(20-2x)(0<x<5)D.y=200+4元?(0<x<5)

【答案】C

【分析】利用現(xiàn)有一塊長20。小寬10c機(jī)的矩形，將它的四個角各剪去一個邊長為無c機(jī)的

小正方形，則底面長與寬均減少2xcm表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進(jìn)而得出y與x

之間的函數(shù)關(guān)系式.

【解析】解：設(shè)小正方形邊長為無cm,由題意知：

現(xiàn)在底面長為(20-2x)cm,寬為(10-2x)cm,

貝i]y=(10-2x)(20-2x)(0<x<5),

故選：c.

【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬

是解題關(guān)鍵.

4.在中考體育訓(xùn)練期間，小宇對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高

1QQ

度y（米）與水平距離無（米）之間的關(guān)系式為>=-歷/+《光+丁由此可知小宇此次實心

球訓(xùn)練的成績?yōu)椋ǎ?/p>

O

A.§米B.8米C.10米D.2米

【答案】B

1a區(qū)

【分析】小宇此次實心球訓(xùn)練的成績就是拋物線y=尤2+]x+羨，與無軸交點的橫坐標(biāo),

即當(dāng)y=0時，求x的值即可.

1QQ

【解析】解：當(dāng)尸0時，即>=一才2+/+：=0,

解得：X1=-2（舍去），X2=8,

所以小宇此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)?米，

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實際意義，需要結(jié)合題意,

取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵.

5.某市新建一座景觀橋.如圖，橋的拱肋AD3可視為拋物線的一部分，橋面A3可視為水

平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度A2為40米，橋拱的最

大高度CO為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細(xì)），則與8的距離為5米的景觀燈桿的

高度為（）

A.13米B.14米C.15米D.16米

【答案】C

【分析】以所在直線為x軸、8所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，可設(shè)該拋物線的解析式

為了="2+16,將點8坐標(biāo)代入求得拋物線解析式，再求當(dāng)x=5時y的值即可.

【解析】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線表達(dá)式為'=62+16,

由題意可知，8的坐標(biāo)為(20,0),

400。+16=0,

...當(dāng)x=5時，y=15.

答：與8距離為5米的景觀燈桿的高度為15米，

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求拋物線解析式的知識，建立合適

的平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

6.西安大雁塔音樂噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前往.若其中一組噴泉水型可近似

看成拋物線族，如圖出立坐標(biāo)系后，可由函數(shù)>=-卷(l+/)Y+fX確定，其中1為實數(shù).若

其中某個噴泉水柱的最大高度是4,則此時對應(yīng)的r值為()

A.2B.4C.2或-2D.4成T

【答案】C

【分析】由>=-1(1+r)尤2+女可得其對稱軸為：苫=坐，當(dāng)》=當(dāng)時，為大=4,即

20、'1+廠l+t

有-1"產(chǎn)107j+fxR=4,解方程即可求解.

T+71l+t2

b10/

1x=-

【解析】由〉=-1+t2+女可得其對稱軸為:2a1+/，

20

根據(jù)-，（1+/）V。，

可知：當(dāng)戶察時，％=4,

即有：KE）〔捍"*4,

11+t2

解得：t=±2,

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，明確題意，得出當(dāng)

x==時'為大是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，一個滑道由滑坡（AB段）和緩沖帶（BC段）組成，如圖所示，滑雪者在滑坡上

滑行的距離％（單位：m）和滑行的時間％（單位：s）滿足二次函數(shù)關(guān)系，并測得相關(guān)數(shù)

據(jù)：滑雪者在緩沖帶上滑行的距離內(nèi)（單位：m）,和在緩沖帶上滑行時間々（單位：s）

滿足：y2=56t2-2e,滑雪者從A出發(fā)在緩沖帶BC上停止，一共用了24s,則滑坡A3的

長度為（）

滑行時間01234

滑行距離04.51428.548

D.270米

【答案】D

【分析】由滑行時間為。時，滑行距離為。可得c=0,故設(shè)％=a1+M，取兩組數(shù)據(jù)代入,

求出解析式，滑雪者在3C段對應(yīng)的二次函數(shù)取得最大值時即為滑雪者停下時，由此求出滑

雪者在8C段的滑行時間，即可得出在段的滑行時間，最后代入函數(shù)解析式求出A3段的

長度即可.

【解析】解：由滑行時間為。時，滑行距離為0可得。=0,

設(shè)必=W+bt、,

4.5=a+b

取兩組數(shù)據(jù)代入可得:

14=4〃+2。'

yl=2.5片+2八,

h

滑雪者在緩沖帶8C上滑行時間為：f,=-?=14s,

.1滑雪者在滑坡AB上滑行時間為：24-14=10s,

令4=10,%=2.5x1()2+2x10=270,

???滑坡AB的長度為270米.

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，滑雪者在BC段對應(yīng)的二次函數(shù)取得最大值時

即為滑雪者停下時，由此求出滑雪者在BC段的滑行時間是解題關(guān)鍵.

8.足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不

考慮空氣阻力，足球距離地面的高度/?(單位：m)與足球被踢出后經(jīng)過的時間t(單位：s)

之間的關(guān)系如下表：

t01234567......

h08141820201814......

9

下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為20.25m；②足球飛行路線的對稱軸是直線f=

③足球被踢出8s時落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是二m,其中正確的結(jié)論

4

有()個

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由題意，拋物線經(jīng)過(。,0),(9,0),所以可以假設(shè)拋物線的解析式為〃=成("9),

把(1,8)代入可得。=一1,可得/?=-r+%=-?-4.5)2+20.25,由此即可——判斷.

【解析】解：.當(dāng)f=4和/'=5時，h的值相同，

.??拋物線的對稱軸為直線》=千==，故②正確；

22

:當(dāng)f=0時，/i=0,

.?.當(dāng)r=9時，h=0,即足球被踢出9s時落地，故③錯誤；

...可設(shè)拋物線的解析式為/7=R(r-9),

把(1,8)代入得8=”(1-9)

解得。=-1，

，九=_/+%=—。一4.5）2+20.25,

足球距離地面的最大高度為20.25m,故①正確，

..?足球被踢出9s時落地，故③錯誤，

：r=1.5時，h=11.25,故④正確.

正確的有①②④，共3個，故C正確.

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵.

9.根據(jù)防疫的相關(guān)要求，學(xué)生入校需晨檢，體溫超標(biāo)的同學(xué)須進(jìn)入臨時隔離區(qū)進(jìn)行留觀.某

校要建一個長方形臨時隔離區(qū)，隔離區(qū)的一面利用學(xué)校邊墻（墻長5米），其它三面用防疫

隔離材料搭建，但要開一扇1米寬的進(jìn)出口（不需材料），共用防疫隔離材料10米搭建的

隔離區(qū)的面積最大為（）平方米.

A.—B.25C.----D.15

28

【答案】C

【分析】設(shè)這個隔離區(qū)一邊長為x米，則另一邊長為3（10-x+l）米，根據(jù)隔離區(qū)

面積為S平方米，列出二次函數(shù)表達(dá)式，配方后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解析】設(shè)這個隔離區(qū)一邊AB長為x米，則另一邊8c長為g（10-x+l）米，

依題意，隔離區(qū)的面積為（10-x+l）=-；尤2+?產(chǎn)_；2+1|1；

乙/2/28

???當(dāng)廣"時，隔離區(qū)有最大面積，最大面積為號平方米，

28

故選：C.

_____________5*__________________

II1n

DC

進(jìn)出通道臨時隔離區(qū)

------------------------1B

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件,

找出合適的等量關(guān)系，列出二次函數(shù)表達(dá)式.

10.某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)

據(jù)（單位：加）.有下列結(jié)論：

①鉆=24m；

②池底所在拋物線的解析式為y-5；

45

③池塘最深處到水面CD的距離為1.8加；

④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，

則最深處到水面的距離減少為原來的!.

4

其中結(jié)論正確的是()

A.①②B.②④C.③④D.①④

【答案】B

【分析】根據(jù)兩點距離公式可計算長度，由圖像可知拋物線的對稱軸和點坐標(biāo)，設(shè)出拋

物線解析式，將已知點坐標(biāo)代入即可得出拋物線方程，進(jìn)而逐項判斷即可.

【解析】①由題可知，AB=15~(-15)=30//!,則①錯誤；

②對稱軸為y軸，交y軸于點(0,-5),設(shè)函數(shù)解析式為＞=以2-5，將點(15,0)代入解析式

得0=152“-5,解得〃=《，池底所在拋物線解析式為＞=［爐-5,則②正確；

③將尤=12代入解析式得y=4xl22-5,解得y=-L8,則池塘最深處到水面CO的距離

45

為(T.8)-(-5)=3.2肛則③錯誤；

④設(shè)原寬度為初時最深處到水面的距離為，、462-5-(-5)=尤〃2,寬度減少為原來的一

4545

1方2

半時距離為一x/72-5-(-5)=—m,故④正確,

4545

所以①、③錯誤，②、④正確，

選項B正確，符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了拋物線的圖像與性質(zhì)的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合圖像設(shè)出適當(dāng)?shù)慕馕鍪?

利用待定系數(shù)法求解.

二、填空題

11.加工爆米花時，爆開且不糊的顆粒的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率

y與加工時間x（單位：min）滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.2Y+1.5尤-2,則最佳加工時間為

________min.

【答案】3.75

b

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式x=-S直接計算即可.

2a

?b1.5…

【解析】解：：y=-0.2廠+1.5x-2的對稱軸為％=-五=一^73^=3.75（min）,

故：最佳加工時間為3.75min,

故答案為：3.75.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及求頂點坐標(biāo)、對稱軸方程等，記住拋物

線頂點公式是解題關(guān)鍵.

12.如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離無（單

175

位：米）之間的關(guān)系是y=-自x2+：x+|.則他將鉛球推出的距離是一米.

【答案】10

【分析】成績就是當(dāng)高度產(chǎn)。時x的值，所以解方程可求解.

175

【解析】解：當(dāng)y=0時，一2/+1元+：=0，

解得：%=10,%=-2（不合題意，舍去），

所以推鉛球的距離是10米；

故答案為：10.

【點睛】本題考查了把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，滲透了函數(shù)與方程相結(jié)合的解題思想方法.

13.如圖，某單位的圍墻由一段段形狀相同的拋物線形柵欄組成，為了牢固，每段柵欄間隔

0.2米設(shè)置一根立柱（即AB間間隔0.2米的7根立柱）進(jìn)行加固，若立柱EF的長為0.28米,

則拱高OC為米

AEOB

C

【答案】0.64

【分析】根據(jù)拋物線，建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線解析式，即可求得OC的長.

解：如圖，以點C為坐標(biāo)系原點，OC所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)拋物線的解析式為丁=加"？0),

由題意可知：點A的橫坐標(biāo)為一0.8,點尸的橫坐標(biāo)為一0.6,

代入y=/(a?o)，

-

有力=(-0.6)a=0.36a,yA=(-0.8)~a=0.64a,

點A的縱坐標(biāo)即為OC的長，

...0.36。+0.28=0.64a,

解得。=1,

拋物線解析式為y=/，

2

yA=(-0.8)=0.64,

故0c的長為：0.64m.

【點睛】本題考查根據(jù)拋物線構(gòu)建直角坐標(biāo)系，解決實際問題，熟練掌握二次函數(shù)相關(guān)知識

點是解題的關(guān)鍵.

14.在東京奧運會跳水比賽中，中國小花全紅嬋的表現(xiàn)，令人印象深刻.在正常情況下，跳

水運動員進(jìn)行10米跳臺訓(xùn)練時，必須在距水面5米之前完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入

水姿勢，否則容易出現(xiàn)失誤.假設(shè)某運動員起跳后第f秒離水面的高度為/I米，且

〃=-5產(chǎn)+§r+10.那么為了避免出現(xiàn)失誤，這名運動員最多有_____秒時間，完成規(guī)定的

6

翻騰動作.

3

【答案】|/1.5

【分析】根據(jù)題意，令介=5,解一元二次方程求解即可.

【解析】依題意5=-5〃+3/+10

6

整理得6/-5-6=0

gp（2?-3）（3r+2）=0

32

解得。（不符合題意，舍）

,3

故答案為：—

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意將6=5代入關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

15.如圖所示，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同.正常水位

時，大孔水面寬度AB為20m,頂點M距水面6m（即MO=6m）,小孔頂點N距水面4m（即

NC=4m）.當(dāng)水位上漲到剛好淹沒小孔時，借助圖中的直角坐標(biāo)系，可以得出此時大孔

的水面寬度跖是________m.

【分析】利用待定系數(shù)法求出大孔拋物線的解析式，然后根據(jù)NC的長即可求出點E、F的

坐標(biāo)，從而求出結(jié)論.

【解析】解：設(shè)大孔拋物線的解析式為＞=依2+6,

把點A（-10,0）解析式，得

3

100a+6=0,解得a=-前，

因此大孔拋物線的解析式為蚱-急2+6.

由NC=4m,可知點尸的縱坐標(biāo)為4,

代入解析式y(tǒng)=-二一+6,

解得一竿

、

,4

37

所以跖=^m.

3

故答案為：生叵.

3

【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握實際問題中的等量關(guān)系和利用待定系數(shù)法求二

次函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵.

16.小剛家裝有一種可調(diào)節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升

降器和淋浴噴頭3c所成/A8C=135。，其中A8=10cm,8C=10虛cm.剛開始時，

(9A=140cm,水流所在的拋物線恰好經(jīng)過點A,拋物線落地點。和點。相距70cm.為了方

便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點和點。的距離增加10cm,則小剛

【分析】過點C作CE人AB延長線于點￡,先求出BE的長，再以點。為原點，OA為y軸

正方向，。。為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標(biāo)系，得出A、C、。的坐標(biāo),

用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再把拋物線向上平移左個單位，再把坐標(biāo)。附弋入解析式

求出左的值即可.

【解析】解：過點C作CE1AB延長線于點E,

-.■ZABC=135°

ZCBE=180°-ZABC=45°

-.-CELAB

:.ZCEB=9Q°

BE=CE=—BC=10cm

2

/.AE=AB+BE=20cm

以點。為原點，04為y軸正方向，0。為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標(biāo)

系，

則4(0,140),0(20,150),0(70,0),。(80,0)

設(shè)此時拋物線解析式為：y=ax2+bx+c

代入點A(0,140),C(20,150),D(70,0)得，

'c=140fc=14Q

<400tz+20Z?+c=150,整理得，］40〃+2b=1

4900a+70/?+c=070a+b+2=0

1

a=----

20

3

解得b=3

c=140

設(shè)小剛應(yīng)把升降器向上平移Zcm,即將拋物線向上平移上個單位，則拋物線解析式為：

13

y=-----x9+—尤+140+左

202

將小代入解析式得，

13

——x6400+-x80+140+^=0

202

「"=60

即小剛應(yīng)把升降器向上平移60cm

故答案為：60

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)實際情況建立直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求

解析式.

17.一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線AZ),BC為同一拋物線

的一部分，AB,CD都與水平地面平行，當(dāng)杯子裝滿水后AB=4cm,CD=8cm,液體高

度12cm,將杯子繞C傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角/ABEN5。時停止轉(zhuǎn)動，如圖2所示，

此時液面寬度BE=cm,液面BE到點C所在水平地面的距離是cm.

A

【分析】建立以拋物線對稱軸為y軸，以。C為無軸的平面直角坐標(biāo)系，作NA3E=45。，交

拋物線于E,交x軸于尸點，過B作于M點.分別求出拋物線、直線8E的解析

式，以及E點坐標(biāo)，利用長度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案.

【解析】解：依題意建立如圖平面直角坐標(biāo)系，作/ABE=45。，交拋物線于E,交x軸于尸

點，過B作3MLCD于M點,

依題意得：A（-2,12）,B（2,12）,D（^,0）,C（4,0）,M（2,0）,BM=12,

設(shè)拋物線的解析式為：y=ajc+bx+c

把A、B、C點坐標(biāo)代入y=/+bx+c得：

4a+2b+c=12

<4?！?b+c=12

16〃+4Z?+c=0

a=-1

：.<b=0

c=16

y=-x2+16

?.?ZABE=45°,ZABM=90°,

??.ZFBM=45°,

?.?ZBMF=90°,

：.ZFBM=ZBFM=45°

：.BM=FM=12,BF=120

VM（2,0）

???F（-10,0）,

設(shè)直線3尸的解析式為：y=kx+b{

把3、M點坐標(biāo)代入y=丘+4得：

]2左+4=12

[-10左+4=0

?P=1

,4^1=10

y=%+10

..卜=——+16

[y=x+10

.J玉=2（x2=—3

?.Jx=12%=7

E（-3,7）

???B（2,12）,C（4,0）,

22

/.BE=J（2+3）2+（12-7）2=5①C￡=^（4+3）+（0-7）=70,

EF=BF-BE=12垃-5母=7母,

???C（4,0）,F（-10,0）,

CF=14

又：（7拒『+（7夜『=1不

EF2+CE2=CF2

/.ZFEC=90°,

，C到點BE的距離為：CE=772,

故圖2中液面BE到點C所在水平地面的距離是7A/I,

故答案為：5VL772

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與實際問題的應(yīng)用，計算量較大，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)

與一次函數(shù)交點問題，以及利用勾股逆定理來判別直角三角形.

18.“水晶晶南月”的美食文化中以特有的雙交畫出名，盛面的瓷碗截面圖如圖1所示，碗體

OEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），點E是拋物線的頂點，碗底高Eb=lcm,碗底寬A8

=273cm,當(dāng)瓷碗中裝滿面湯時，液面寬8=8有cm,此時面湯最大深度EG=6cm,將

瓷碗繞點8緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖2,當(dāng)/ABK=30。時停止，此時液面C”寬

cm；碗內(nèi)面湯的最大深度是cm.

【分析】以歹為原點,直線為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得出￡、C

的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，將瓷碗繞點8緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)NA8K=30

時停止，所以旋轉(zhuǎn)前CH與水平方向的夾角為30。，即/。CH=30。，求出C”與y軸的交點

坐標(biāo)G,把點C、G代入求出直線C”的解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)求出交點坐標(biāo)，用兩點間的

距離公式求出”的長度；將直線S向下平移與拋物線只有一個交點時，兩直線間的距離

最短，利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題求出平移后的函數(shù)解析式，作得出直

角三角形，求出兩條直線間的距離即為碗內(nèi)面湯的最大深度是.

【解析】以尸為原點，直線為x軸，直線所為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

由題意知：

F(0,0),E(0,1),C(4^/3,7),D(yg,7),

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+l,

把點C(46，7)代入得，

7=。(4后+1,

解得：

O

.**V——無2+1,

*8

將瓷碗繞點8緩緩傾斜倒出部分面湯，

當(dāng)NABK=30。時停止，所以旋轉(zhuǎn)前C8與水平方向的夾角為30。，即NZ)CH=30。,

設(shè)直線C8的解析式為y=fcc+6,與y軸交于點G,如圖：

由題意知：點C(4乖1,7),

VZDCH=30°,CK=,

.,.KG—4A/3tan30°=4,

：.FG=3,

即點G(0,3),

.、7=4乖＞k+b

??13=0+6'

[,@

解得：3，

b=3

...直線CH的解析式為：y=1x+3,

3

[二_逑

尸「3解得歸,或二亍

由＜

12,