圓錐曲線綜合大題歸類 -2025年高考數(shù)學一輪復習知識清單（解析版）

專題24圓錐曲線綜合大題歸類

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目錄

題型一：大題基礎：五個方程.....................................................................1

題型二：直線橫截式.............................................................................4

題型三：直線“雙變量”型過定點....................................................................7

題型四：面積最值范圍型.........................................................................11

題型五：面積比值范圍型.........................................................................15

題型六：定值型.................................................................................20

題型七：斜率“和”型.............................................................................24

題型八：斜率“積”型.............................................................................27

題型九：斜率“比值”型...........................................................................31

題型十：斜率復合型.............................................................................35

題型十一：切線型...............................................................................38

題型十二：三角函數(shù)型轉(zhuǎn)化難題...................................................................42

題型十三：韋達定理不能直接用：定比分點.........................................................46

題型十四：非對稱型............................................................................50

題型十五：點代入型............................................................................54

英突圍?檐:住蝗分

題型一：大題基礎：五個方程

基本模板實戰(zhàn)模板

l^設點，A(xp%),3(%2,%)

2、方程1：設直線：y-y0=k(x-x0)--此處還有千言萬語，在后邊分類細說。

3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他(很少出現(xiàn))，注意一個計算技巧，方程要事先去分

母

4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關于x(或者y)的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立

后方程

的二次項能否為零--這就是實戰(zhàn)經(jīng)驗。

5、(1)>0；(2)二次項系數(shù)是否為0；一—這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須

考慮。

6、方程4、5：韋達定理

7、尋找第六個方程，第六個方程其實就是題目中最后一句話

1.(24-25高二上?廣西梧州?階段練習)已知動點尸在拋物線C:y2=2px(p>0)上，Q(-2,3),點p到C的

準線的距離為d,且d+|P0的最小值為5.

⑴求C的方程；

⑵若過點(1,0)的直線/與C交于兩點，且直線QA的斜率與直線的斜率之積為求/的斜率.

4

【答案】⑴/=8x⑵4或公

【分析】(1)利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化一個距離，則可用兩點間距離線段最短得解；

(2)利用方程組思想結合韋達定理，轉(zhuǎn)化到坐標法來研究，即可得解.

1,oj,由拋物線的定義可得怛產(chǎn)|=心則』+歸。=|母j+「Q白忸a，

【詳解】（I）設拋物線C的焦點為尸

2

當。，尸，尸三點共線且點尸在線段。尸上時，|尸耳+|尸。取得最小值5,則但@=1+2+32=5,整理得

2

卷+2）=16,解得p=4或。=一12,因為。＞。，所以p=4,故C的方程為V=8x.

（2）設過點（1,0）的直線/:%=〃7+1,4（占,%）,3（%2，%）.

丫2_o

%+%=8加=%-3%-3（%-3）（力一3）1

聯(lián)立,消元得V-8切-8=0,則

QAQB9

x=my+1yxy2=-8'玉+2x2+2+3）（my2+3）2

得（/+2）必%+（3加—6）（%+%）+27=—8（加之+2）+8加（3機—6）+27=0,

代入韋達定理得：（加2+2）（—8）+（3祇—6）（8加）+27=—8（m2+2）+8m（3m—6）+27=0,

化簡得16/一48m+11=0=＞（4"一1）（4小—11）=0,得機=；或?.故/的斜率為4或4.

3

2.（2022?陜西榆林?模擬預測）已知橢圓C與雙曲線2x2-2y2=i有相同的焦點，且橢圓C過點尸1,

（1）求橢圓C的標準方程;

3

（2）已知橢圓。的左焦點為尸，過尸作直線,與橢圓。交于A、5兩點，若弦AS中點在直線y=m上，求直線

O

/的方程.

22

【答案】⑴土+匕=1⑵％-2y+l=0或3%-2y+3=0.

43

【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點及橢圓上的點列出方程求解即可；

（2）由題意直線斜率不為0,設直線方程》=陽-1,聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)的關系求出中點縱坐標,

代入y=?求出機即可得直線方程.

O

【詳解】（1）由題意，橢圓C與雙曲線2--2y2=1有相同的焦點為（±1,0）,

2

3

設橢圓的方程為：烏+t=1（"6＞0）,又?.?橢圓C過點尸（1,31

；=1,,解得々2=4,Z?2=3.

abyab

a2=/?2+12,

22

橢圓C的標準方程為土+匕=1.

43

（2）當直線/與x軸重合時不滿足題意；當直線/與x軸不重合時，設直線/的方程為1=畋-1,

消去x化簡得（3m2+4）y2-6my-9=0.

3

.?弦A3中點在直線y=7上，

O

6m32

E解得加=2或m=.?.直線/的方程為一尹「。或""+3=0.

3.（2。24四川南充?一模）已知動點P”與定點內(nèi),。）的距離和尸至愧直線/42的距離的比是常數(shù)小

記點尸的軌跡為曲線c.

（1）求曲線c的標準方程；

⑵設點尸’（-1,0）,若曲線C上兩點N均在X軸上方，且人"〃尸|&0|+但刻=：夜，求直線的

斜率.

2_

【答案】⑴、+/=1⑵±6

【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；

（2）設kFM=kFN=k,可得直線尸N的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.

2

【詳解】（1）由題意，H+、2整理化簡得，—+y=l,所以曲線C的標準方程為H+y2=L

H222

（2）由題意，直線砂,尸N的斜率都存在，設kpM=kF，N=k,則直線F/V的方程為＞=%（》+1）,

y=左（1+1）

分別延長NF',交曲線C于點設N&,yJ,N'（N，%），聯(lián)立丁,即

----Fy=1

12

（1+2用三+4h+2左2—2=0,則玉+々=一谷?,X々=!！，，根據(jù)對稱性，可得|即個但用,

4.（24-25高三上廣東惠州?期中）已知雙曲線Uf-y'l及直線/:＞=履-1.

（1）若/與C有兩個不同的交點，求實數(shù)%的取值范圍；_

⑵若/與C交于A,B兩點，。是坐標原點，且△OAB的面積為&,求實數(shù)上的值.

【答案】（1乂一&，-1）3-1，1）=（1，五）（2）左=0或左=±￥

【分析】（1）將雙曲線C:/-y2=l及直線/:＞=丘-1聯(lián)立，消去y,得到關于x的一元二次方程，根據(jù)題

意即可求解；

（2）方法一：根據(jù)面積5。項=/4到3=節(jié)有=點，其中d為。到直線/的距離，然后用含k的式子表

示出解方程即可求出左的值；

方法二：根據(jù)得5皿=）、-引=0,然后用含k的式子表示出歸-司，解方程即可求出京的值.

[x2_2_,

【詳解】（1）直線/與雙曲線C有兩個不同的交點，則方程組'二有兩組不同的實數(shù)根，

[y=0-1

，、fl-k2^0_

整理得（1-公卜+2丘-2=0.\=止_4（1-用（-2）＞0'解得一行＜3且左W±1，雙曲線C與直線/有

兩個不同的交點時，上的取值范圍是卜也-1）5-1,1）口（1,夜）.

（2）解法一：設交點4&,%）,8（%?2），由（1）知雙曲線C與直線/聯(lián)立的方程為（1-4x+2履-2=0.

由韋達定理得：%1+x2=-—=——,貝='］+32昆_石|=A/］+.2.J（%2+%1）2—4石/

1—K1—K

=71弄?（一二］一4（一六］="1記.手年又0到直線/的距離1=-/'，

火l-k2）（1-k-J卜一燈J1+E

所以△OAB的面積S0AB=^-|AB|-d=『誦=0,解得左=0或6=±f,

又因為-0＜左＜0且七工±1,所以4=0或女=±￥.所以當4=0或％=±￥時，△OAB的面積為血.

解法二：設交點4包,%）,3（孫％），直線/與丁軸交于點。（。,-1）,

由（1）知雙曲線C與直線/聯(lián)立的方程為（1-廿卜+2履-2=0.由韋達定理得：西+馬二-二^天心一2

1-Kl-k2

當A,8在雙曲線的一支上且閭＞|引時,

=#-引.

—

=；憂_司=應，故(為_電)~=8,BP(%,+%2)"4X,%2=8

由已知得S.0AB

所以（一告Ji4［一金）=8,解得，=?；?=±乎’又因為一夜＜左＜0且七±1,所以上=?；?/p>

左=±*.所以當…或/=±乎時，△OAB的面積為啦.

題型二：直線橫截式

指I點I迷I津

（1）直線AB方程為a=ty+m,聯(lián)立曲線方程，

結合韋達定理化簡整理得到只關于t、機的方程，即可求出t、機的關系，即可進一步討論直線過定點

的情況；

（2）設直線時注意考慮AB斜率不存在的情況，聯(lián)立方程也要注意討論判別式.

22

1.（24-25高三上?河北邯鄲?階段練習）已知雙曲線C：3-2=l（a＞0,b＞0）的左、右頂點分別為

ab

A(-2,0),5(2,0),離心率為立.過點(4,0)的直線/與。的右支交于M、N兩點，設直線AM,3M,比V的斜率

2

分別為％1，%2，左3.(D若%l=g，求：43；

(2)證明：％2(匕+內(nèi))為定值.

【答案】(1)-；⑵證明見解析

【分析】(1)依題意，求得雙曲線，設出直線MN的方程，聯(lián)立方程組，由韋達定理可解；

(2)利用兩點斜率公式，結合雙曲線方程求得％他，再結合(1)中結論即可得證.

【詳解】(1)設雙曲線的焦距為2c,由題意得，。=2,￡=①，所以c=V7.

a2

因為02=/+62,所以6=石，所以c的標準方程為1一：=1.

R匚1

143i

直線AM：y=5(x+2),由43消去y化簡并整理得V-2x-8=0,

—y=-(x+2),

解得％=4或%=—2(舍)，所以M(4,3).

-3-03

又直線MN過點(4,0),所以直線腦V的方程為％=4,所以N(4,-3)￡=丁下=-

X

(2)設則尤=，%2=

玉+2%-2?

/I）3

因為3-q=L所以勺?勺=%%■V；

玉+2須一2%；_4x；—44

,2

_2L=i

設直線MTV:X=型y+4,由＜43一，消去X化簡并整理得(3/-4"2+24沖+36=0.

x=my+4,

3m2-4w0

A=144（/+4）＞0

%%

設N(%2，y2)，貝卜-24m,故%2，%3=

玉一2X2-2（機％+2）（加％+2）/+2根（％+%）+4

36

%%=茄二

36

3m2-4933

4.所以％2（左+%3）=桃2+k2k3=—+2為定值.

22

2.(2024高二上.江蘇.專題練習)已知橢圓C：\+方=1伍＞6＞0),若橢圓的焦距為4且經(jīng)過點卜2,加)

過點7卜布,。)的直線交橢圓于P,。兩點.

(1)求橢圓方程；

（2）若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點S（s,O）使得NPST=NQST恒成立？若存在，求出s的值;

若不存在，說明理由.

【答案】（1）（~+?=1⑵存在，

【分析】（1）由焦距是4求出C,將卜2,夜）代入橢圓方程求出a,6,得到答案；

（2）根據(jù)題意有樂$+%$=。，轉(zhuǎn)化為2年跖-（?+5）（%+%）=0,由韋達定理代入運算得解.

a2—b1=4

【詳解】（1）由題意，c=2,將點卜2,0）代入橢圓方程得42_，解得/=8,b2=4,

22

所以橢圓。的方程為土+匕=1.

84

（2）在x軸上存在點S|-己一,0使得ZPST=NQST,理由如下：設。（&%）,。（々,%）,直線

__22,

PQ:x=my-A/6,聯(lián)立產(chǎn)。：X=的一而與橢圓工+匕=1可得（機？+2）,2_2娓my-2=0,

?“84

貝+因為NPST=NQST,所以即S+%S=0,即+++=0,

m+2m+2xxsx2s

整理得K（工2-s）+y2a—s）=0,即y（沖2_n_§）+%（祖乂―#一S）二0,即2即%一（指+$）（%+%）=0，

貝ij2mxi（指+5）-=o,又加。0,解得$=一生但，所以在無軸上存在點S[-使得

m2+2V>m2+23[3）

22

3.（24-25高三上?河北石家莊?階段練習）已知焦距為的橢圓C:0+2=l（a>6>O）的右焦點為產(chǎn),

ab

右頂點為A,過F作直線/與橢圓C交于8、。兩點（異于點A）,當BDLx軸時，\BD\=\.

⑴求橢圓C的方程；

（2）證明：154。是鈍角.

2

【答案】⑴土r+必=1⑵證明見解析

4

【分析】（1）根據(jù)條件，求a,b,c,可得橢圓C的方程.

（2）設直線即方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，再證AB.ADvO即可.

2

i2h2NX2

【詳解】（1）由題意：——=1=>”2,所以橢圓C的方程為：—+/=!.

a4

設直線/：》=）+括，由了+>'=1=>?2+4}2+2A一1=0.設3（4%）,。（孫％）,貝|%+/=_4^，

x=ty+6'廣+4

乂%=.所以四?仞=（占-2,%>優(yōu)-2,%）=&-2）（々一2）+%%=?+6一2）他+石一2）+%%

-項5+%）+隙-2）、_?一+2一2片1^<0，

所以44。為鈍角或平角（舍去）.故4AD為鈍角.

22

4.（24-25圖二上,福建福州?階段練習）已知橢圓C：=+」■=l（a>。>0）的右焦點F在直線x+2y-1=0上，

ab~

A，8分別為C的左、右頂點，且|A月=3忸耳.

（1）求C的標準方程；

（2）是否存在過點G（-LO）的直線/交C于M,N兩點，使得直線3N的斜率之和等于-1?若存在，求

出/的方程；若不存在，請說明理由.

22

【答案】⑴二+乙=1⑵存在，x-y+l=0.

43

【分析】（1）先求出點尸的坐標，得出橢圓中的c=l,結合橢圓的幾何性質(zhì)可出答案.

（2）設直線/的方程為：x=my-l,MO1,月）,可（外,火），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達定理,

由題意心M+%PN=T,將韋達定理代入可出答案.

【詳解】（1）設右焦點F（c,O）,直線x+2y-l=0與x軸的交點為（1,0）,

所以橢圓C右焦點廠的坐標為（1,0）,故在橢圓C中c=l,由題意|AF|=a+c=3忸同=3（a-c）,結合c=l,

（2）當直線/的斜率為0時，顯然不滿足條件⑥”+%吶=-1,當直線/的傾斜角不為0。時，

設直線/的方程為：x=my-l,M（xi，yj,可3,％），+4/-12；可得自療+4）V-6陽-9=0,

由題意△=36〃/-4義（37儲+4）x（—9）=144，/+144>0,貝lj%+%=-6m-,%%=——?—，

'/3m+43m+4

由+-=+—=2畋

x1-2x2-2myx-3my2-3n^yxy2-3m^yx+72）+9

6m

2mx——------3x

3機2+43療+4

二

—m,由kpM+kPN=-1,即m=1,

2-9。6m

mx——--------3mx——-------1-9

3m2+43m2+4

故存在滿足條件的直線，直線/的方程為：y+l=0.

題型三：直線“雙變量”型過定點

指I點I迷I津

當題中的直線既無斜率，又不過定點線，就要設成“雙變量”型：y=^+m,依舊得討論k是否存在

情況

當直線既不過定點，也不知斜率時，設直線，就需要引入兩個變量了。

(1)設成y=kx+mo此時直線不包含斜率不存在，注意適當?shù)膶Υ搜a充討論。

(2)設成x=ty+m,此時直線不包含水平，也要適當?shù)难a充討論。

(3)設“雙變量”時，第一種設法較多。因為一般情況下，沒有了定點在x軸上，那么第二種設法實

際上也沒有特別大的計算優(yōu)勢。如第1題。

(4)重要！雙變量設法，在授課時，一定要講清楚以下這個規(guī)律：

一般情況下，試題中一定存在某個條件，能推導出倆變量之間的函數(shù)關系。這也是證明直線過定

點的理論根據(jù)之一。

1.(24-25高二上?黑龍江?期中)己知動點P(x,y)到定點F(2,0)的距離與動點P到定直線％=-2的距離相等，

若動點P的軌跡記為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵不過點下的直線與C交于橫坐標不相等的A,8兩點，且|Ab|+怛同=6,若AB的垂直平分線交x軸于點

N,證明：N為定點.

【答案】⑴產(chǎn)=8x⑵證明見解析

【分析】(1)由題意，根據(jù)拋物線的定義進行求解即可；

(2)設出直線AB的方程，將直線方程與曲線C的方程聯(lián)立，利用韋達定理及IA尸I+18尸1=6得到

yly2=-8m,再+尤?=2,求出48的中點坐標和直線ACV的方程，進而即可得證.

【詳解】(I)因為動點尸(x，y)到定點/(2,0)的距離與動點尸到定直線彳=一2的距離相等，

所以動點尸的軌跡為焦點在X軸，開口朝右的拋物線，此時P=4,則曲線C的方程為y2=8x；

(2)證明：設直線的方程為x=)+A(無］,%),8(尤2,%)，

,消去V并整理得-8/y-8ffl=0,止匕時A=64/2+32m>0,

x=ty+m

TN

解得2產(chǎn)+加>0,由韋達定理得%%%=-8根，因為IA廠|+|5廠|=%+%2+4=6,

所以西+入2=2,因為％+超+%)+2根=2,所以8/+2機=2,解得4/+根=1,

設點M為A3的中點，此時M(L旬，所以直線"N的方程為1),

令尸0,解得赤=5.故點N為定點，坐標為(5,0).

丫2

2.(24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習)已知橢圓C:土+9=1,點A為橢圓上頂點，直線/:>=區(qū)+根

3

與橢圓。相交于",N兩點，

⑴若左=1,0為"N的中點，。為坐標原點，|0。=回，求實數(shù)，"的值;

114

（2）若直線AM,4V的斜率為配網(wǎng)，且《+右=2,證明：直線過定點，并求定點坐標.

【答案】（1）5=±1（2）證明見解析；定點坐標（-1,-1）

【分析】（1）直曲聯(lián)立表示出韋達定理，再由中點坐標公式求出。（/,%）,最后結合兩點間距離公式求出

即可；

（2）當直線7VW的斜率不存在時，設直線方程為x=r,則Af&s）,N（r,-s）,由斜率關系求出r=-l；當直

線肱V的斜率存在時，直曲聯(lián)立表示出韋達定理，再由斜率的定義結合勺+左2=2化簡得到左和加的關系,

然后再求出直線所過定點即可；

（X2.

_____[_y2/_]

【詳解】（1）當人=1時，/：丫=尤+加，設M（占,％）,^%，%），^5,%）,<3,,消去，可得

y=x+m

4x2+6mx+3m2-3=0,△=36m2—16（3加？-3）=-12m2+48>0=>—2<m<2,

%+工2=—|機，由中點坐標公式可得無0=*；*=-1~

，解得機=±1,符合題意;

（2）當直線MN的斜率不存在時，設直線方程為x=r,則

因為點A為橢圓上頂點，所以4（1,0）,所以匕=9-=9,貝|]勺+&=9+寧=弓=2,

所以r=-l,當直線"N的斜率存在時，直線方程為>=履+機，

V2

聯(lián)立橢圓方程了十）'一，消去y可得（3人?+1卜2+6協(xié)優(yōu)+3血2-3=0,

y=kx+m

222m

=（6to）-4（3^+l）（3m-3）>0,可+4=-^xtx2='晨J：,

JKI13K十1

mil,yj-1y,-l乂%+占%一（占+々）2kxlx2+（m-l）（xl+x2）

貝（J5+/=------------1------------------=---------------------------------------------------=----------------------------------------------------------=Z,

%x2菁%2玉%2

將韋達定理代入上式并化簡可得：；：=2,=機=1舍，所以左=m+1,

3m—3

所以直線y=H+m=G〃+l）x+〃?=（x+l）m+x,此時直線過定點（T,一1）,

綜合以上可知直線過定點

3.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）已知橢圓C：,+/=1（。>6>0）的離心率為方，點4（0,1）在C上.

⑴求C的方程；

（2）設C的右頂點為8,點P,。是橢圓上的兩點（異于頂點），若直線"，AQ與x軸交于點石，產(chǎn)，若5E=3R,

求證：直線PQ恒過定點.

【答案】⑴丁+V=1（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)離心率、A點坐標列方程求得b,c,由此求得橢圓方程.

11/2

（2）設BE=BF=Q不妨設E在尸左側，可得1+1=-4,將橢圓平移至二+仃+以=1,設PQ方

kAPkAQ4V'

程為nu+〃y=l,聯(lián)立方程組可得（4+8”）/+&加+1=0,進而可得優(yōu)的值，可求定點.

cV3

e=-=—

a2

a=2y2

【詳解】（1）由題意知b=ln6=1,C的方程為小丁“

a2=b2+c2

（2）設BE=BF=不妨設E在尸左側，，E（2—2,0）,尸（2+4,0）,A（0,l）,

11,

1卜__1------1------二—4

Jkk'

4-2,2+2入AP^AQ

即/+4/+8丁=0,此時A平移至A（0,0）,p,。分別平移至P（%,y）,

2

設P。'方程為「+力=1,.,.%2+4）？+8,（如+用=0,=^（4+8zz）（—I+8m--+1=0，

'x

?.kAP，髓是關于/的方程（4+8〃）?+8制+1=0的兩不等實根,

1

由k^p+kQ+4kAp,^AQ=°=>4+即+4,=0=>m=—,

A4+8〃2

，直線尸。'的方程為白+4=1,PQ'恒過定點（2,0）,.?.尸。恒過定點（2,1）.

4.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知川-3,0）,點。在圓瑪：（x-正產(chǎn)+丁=16上運動，線段的的垂

直平分線交線段。用于點P,設動點P的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵設c與x軸交于A,B兩點（A在B點左側），直線/交C于M,N兩點（M,N均不在x軸上），設直線

k

的斜率分別為匕若廣=2,證明：直線/過定點.

*Vn

22

【答案】⑴上+匕=1（2）證明見解析

42

【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)及橢圓的定義計算即可；

（2）設/方程及”,N坐標，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理及兩點斜率公式化簡計算即可.

【詳解】（1）易知圓g:（x-0）2+y2=16的圓心為此（血,0）,半徑為4,由題得

怛司+|「閶=|。局=4＞閨閭=20,所以動點尸的軌跡是以耳耳為焦點的橢圓，

22

不妨設橢圓的長軸、短軸、焦距為2〃,2b,2c,其中。=2,c=0,〃=/C2=2,所以。的方程為土+乙=1.

42

（2）易知直線/的斜率不為0,設/的方程為x=O+”，加（西,弘）小伍，％），

x=ty+m

2mtm2-4

聯(lián)立一丁9得（廣+2）y2+2m）+機2_4=0,則%+%=_,又可知點

——+—=1「+2'"%-r+2

142

A(-2,0),3(2,0),所以勺=三&=*又2=2,所以

%一2二2%

即(％—2)(42—2)=771%，又再=以+相，尤2=優(yōu)+根，代入得

2%%2—2

1+4)M%+，(m—2)(%+%)+(m—2)2=0,整理可得仁+4乂/—4)+%(機—2)(—2間+(帆—2)2(r+2)=0,

因為Af,N兩點不在x軸上，所以機—2w0,所以，之+4)(m+2)+，(一2加)+(加-2乂/+2)=。，化簡得

22

6機+4=0,所以加=-§,直線/的方程為工="-§,故直線/恒過定點

題型四：面積最值范圍型

指I點I迷I津

求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應用，主要是以下兩點要注意

1.注意變量的范圍。

2.式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復習

一些常見的思維：

1.可以借助均值不等式求最值。

2.分式型，多可以通過構造來求最值，如下幾種常見的。

分式型：以下幾種求最值的基本方法

反比例函數(shù)型:吧”，可以分離常數(shù)，利用“左加右減上加下減”畫圖

(1)PX+q

(2)mx+"與"x-+/zx+c型,可以設mx+n=t,換元，簡化一次項，然后構造均值或者對勾函數(shù)

ax+bx+cmx+n

求解。

ax2+bx+c

2

(3)〃吠+"x+e型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解

1.(24-25高三上?重慶?階段練習)己知0為坐標原點，雙曲線。：3-2=1(4>0,6>0)的焦距是實軸長

的百倍，過C上一點尸作C的兩條漸近線的平行線，分別交y軸于S,T兩點，且|。53。刀=4.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過雙曲線C的右焦點尸的直線4與雙曲線的左、右兩支分別交于48兩點，點。是線段AB的中點，過點

產(chǎn)且與4垂直的直線4交直線。。于點M,點N滿足=+,求四邊形MANS面積的最小值.

2

【答案】⑴/一二=1⑵

4

【分析】⑴設P(&,y。),求出過點尸作C的兩條漸近線的平行線方程，再利用|。5"。7=4和4+k.?

解出雙曲線方程即可；

(2)設直線4:x=my+6,(7"N0),Aa，%),*%,%),。^,為)，直曲聯(lián)立，利用韋達定理，三點共線，

M產(chǎn)，4斜率之積為_1,列出等式求出尸點坐標，結合向量關系得到四邊形M4A歸是平行四邊形，然后再由

弦長公式，點到直線的距離公式，以及換元法求導分析單調(diào)性，求最小值即可求解；

22

【詳解】（I）,,:.設POo，y°），則其/-當v=1,即￥=勺h宕-凡過點尸作C的兩條漸近線的平

",aba

行線方程分別為：y-%=2（尤-尤o）,y-%=-2（*-尤0），則不妨取sj。,%-

aa<a）\aJ

于是3卜|0刀=y0--x0-y0+-x0=巾一2年=從=4又，=耳,且是+/=〃,可得，=1,>=5,

aaa

2

所以雙曲線方程為f一匕=1,

4

］「、?--/-x=機y+小

⑵-7H田,設直線/：龍=緲+行,（利。0）,4（%,%）,5（%2，%），。（馬，％），聯(lián)立方程'y2

\I4

可得(4加2一1)+86⑵+16=0,0A=320m2—64^4m2-1)=64m2+64>0,4m2—1w0,

%依,x%=Y—，由于直線4與雙曲線的左右兩支相交，所以方程①有兩個同號的實根,

124m2-1124m2-1

故高>°=4/-1>°,由。Q,M三點共線得￡=￡=痂,②

V-01,

由心乩得力？尻=一1,③由②③解得“由MN=M4+癡可知，四邊形町4NB是平行

四邊形,所以^MANB=25Mli|AZ?|,_6非____

.Jl+4

2222

IF|I￡~r8Vl+m_8(l+m)_4r~:8(l+m)_32(1+m)

吐ki=k而丁產(chǎn)L…斤/E而可蔑?停了

令"4病-1,則療=T，，>。，

3(r+5)2-t2-2r(z+5)3_(r+5)2(z-10)

，令/'⑺=0=>r=10,所以在（0,10）上單調(diào)遞減，在

川)=：3

（10,+旬上單調(diào)遞增,故〃%n="10）=苧，所以S"=4X笆I=6不，當且僅當t=10，即加=±西

4，522

時取等號.

2.（24-25高二上?