新高考2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第三部分講重點(diǎn)解答題專練第5講概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)案理

PAGEPAGE1第5講概率與統(tǒng)計(jì)■真題調(diào)研——————————————【例1】[2024·全國(guó)卷Ⅱ]11分制乒乓球競(jìng)賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局競(jìng)賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打競(jìng)賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束．(1)求P(X＝2)；(2)求事務(wù)“X＝4且甲獲勝”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打2個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分狀況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.【例2】[2024·全國(guó)卷Ⅲ]為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．依據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖記C為事務(wù)：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，依據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.【例3】[2024·北京卷]改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的運(yùn)用狀況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)覺(jué)樣本中A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人，樣本中僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生的支付金額分布狀況如下：支付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅運(yùn)用A18人9人3人僅運(yùn)用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的概率；(2)從樣本僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有改變．現(xiàn)從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)覺(jué)他們本月的支付金額都大于2000元．依據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變？說(shuō)明理由．解：(1)由題意知，樣本中僅運(yùn)用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30人，僅運(yùn)用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25人，A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都運(yùn)用的學(xué)生有100－30－25－5＝40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的概率估計(jì)值為eq\f(40,100)＝0.4.(2)X的全部可能值為0,1,2.記事務(wù)C為“從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事務(wù)D為“從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”．由題設(shè)知，事務(wù)C，D相互獨(dú)立，且P(C)＝eq\f(9＋3,30)＝0.4，P(D)＝eq\f(14＋1,25)＝0.6.所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(Ceq\x\to(D)∪eq\x\to(C)D)＝P(C)P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(C))P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P(eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)記事務(wù)E為“從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設(shè)樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有改變，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得，P(E)＝eq\f(1,C\o\al(3,30))＝eq\f(1,4060).答案示例1：可以認(rèn)為有改變．理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事務(wù)一般不簡(jiǎn)單發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了改變．所以可以認(rèn)為有改變．答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有改變．理由如下：事務(wù)E是隨機(jī)事務(wù)，P(E)比較小，一般不簡(jiǎn)單發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有改變．【例4】[2024·全國(guó)卷Ⅰ]為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再支配下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了便利描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)起先時(shí)都給予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；(ⅱ)求p4，并依據(jù)p4的值說(shuō)明這種試驗(yàn)方案的合理性．解：(1)X的全部可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為(2)(ⅰ)由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2，…，7)，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因?yàn)閜1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列．(ⅱ)由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率特別小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理．■模擬演練——————————————1．[2024·南昌二模]某品牌餐飲公司打算在10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開(kāi)設(shè)加盟店，為合理支配各地區(qū)加盟店的個(gè)數(shù)，先在其中5個(gè)地區(qū)試點(diǎn)，得到試點(diǎn)地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)分別為1,2,3,4,5時(shí)，單店日平均營(yíng)業(yè)額y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下：加盟店個(gè)數(shù)x12345單店日平均營(yíng)業(yè)額y/萬(wàn)元10.910.297.87.1(1)求單店日平均營(yíng)業(yè)額y(單位：萬(wàn)元)與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)x的線性回來(lái)方程；(2)該公司依據(jù)(1)中所求的回來(lái)方程，確定在其他5個(gè)地區(qū)中，開(kāi)設(shè)加盟店個(gè)數(shù)為5,6,7的地區(qū)數(shù)分別為2,1,2.小趙與小王都打算加入該公司的加盟店，但依據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從這5個(gè)地區(qū)的30個(gè)加盟店中隨機(jī)抽取一個(gè)加入．記事務(wù)A：小趙與小王抽取到的加盟店在同一個(gè)地區(qū)，事務(wù)B：小趙與小王抽取到的加盟店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額之和不低于12萬(wàn)元，求在事務(wù)A發(fā)生的前提下事務(wù)B發(fā)生的概率．(參考數(shù)據(jù)及公式：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝125，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，線性回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))解：(1)由題可得，eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9，設(shè)所求線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(125－135,55－45)＝－1，將eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9代入eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，得eq\o(a,\s\up6(^))＝9－(－3)＝12，故所求線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋12.(2)依據(jù)(1)中所得回來(lái)方程，加盟店個(gè)數(shù)為5的地區(qū)單店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額為7萬(wàn)元，加盟店個(gè)數(shù)為6的地區(qū)單店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額為6萬(wàn)元，加盟店個(gè)數(shù)為7的地區(qū)單店預(yù)料日平均營(yíng)業(yè)額為5萬(wàn)元．P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)×2,C\o\al(2,30))＝eq\f(77,435)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6),C\o\al(2,30))＝eq\f(35,435)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,11).2．[2024·武漢4月調(diào)研]中共十九大以來(lái)，某貧困地區(qū)扶貧辦主動(dòng)實(shí)行國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的要求，帶領(lǐng)廣闊農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過(guò)不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)夫年收入也逐年增加．為了更好地制定2024年關(guān)于加快提升農(nóng)夫年收入，力爭(zhēng)早日脫貧的工作支配，該地區(qū)扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2024年50位農(nóng)夫的年收入(單位：千元)并制成如下頻率分布直方圖：(1)依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)夫的年平均收入eq\x\to(x)(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)．(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)夫年收入X聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s2＝6.92.利用該正態(tài)分布，解決下列問(wèn)題：①在2024年脫貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)夫人數(shù)的84.14%的農(nóng)夫的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的落實(shí)狀況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)夫．若每個(gè)農(nóng)夫的年收入相互獨(dú)立，問(wèn)：這1000位農(nóng)夫中年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？附：參考數(shù)據(jù)與公式eq\r(6.92)≈2.63，若X～N(μ，σ2)，則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由題意，X～N(17.40,6.92)．①P(X>u～σ)≈eq\f(1,2)＋eq\f(0.6827,2)≈0.8414，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大約為14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋eq\f(0.9545,2)≈0.9773，得每個(gè)農(nóng)夫的年收入不少于12.14千元的事務(wù)的概率為0.9773，記這1000位農(nóng)夫中年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ，則ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k位農(nóng)夫的年收入不少于12.14千元的事務(wù)的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，從而由eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)＝eq\f(1001－k×p,k×1－p)>1，得k<1001p，而1001p＝978.2773，所以，當(dāng)0≤k≤978時(shí)，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，當(dāng)979≤k≤1000時(shí)，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)．由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)夫中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978.3．[2024·鄭州質(zhì)量預(yù)料二]目前，浙江和上海已經(jīng)成為新高考綜合試點(diǎn)的“排頭兵”，有關(guān)其他省份新高考改革的實(shí)施支配，教化部部長(zhǎng)在十九大上做出明確表態(tài)：到2024年，我國(guó)將全面建立起新的高考制度．新高考規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定．例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案．某校為了解高一年級(jí)840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表：選考方案探討狀況物理化學(xué)生物歷史地理政治男生確定的有16人16168422待確定的有12人860200女生確定的有20人610201626待確定的有12人2810002(1)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？(2)將2×2列聯(lián)表填寫完整，并通過(guò)計(jì)算推斷能否有99.9%的把握認(rèn)為選歷史與性別有關(guān)？選歷史不選歷史總計(jì)選考方案確定的男生選考方案確定的女生總計(jì)(3)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出2名，設(shè)隨機(jī)變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，2名男生選考方案不同,1，2名男生選考方案相同，))求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)由題意可知，選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生有8人，選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有20人，則該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生約有eq\f(28,36)×eq\f(36,60)×840＝392(人)．(2)2×2列聯(lián)表填寫完整為選歷史不選歷史總計(jì)選考方案確定的男生41216選考方案確定的女生16420總計(jì)201636由2×2列聯(lián)表可得，K2的觀測(cè)值k＝eq\f(36×4×4－12×162,20×16×20×16)＝eq\f(36×162×112,20×16×20×16)＝eq\f(1089,100)＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為選歷史與性別有關(guān)．(3)由題表中數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有8人選擇物理、化學(xué)和生物；有4人選擇物理、化學(xué)和歷史；有2人選擇物理、化學(xué)和地理；有2人選擇物理、化學(xué)和政治．由已知得ξ的取值為0,1.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,8)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,16))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝eq\f(7,10)(或P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,8)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,16))＝eq\f(7,10))，所以ξ的分布列為ξ01Peq\f(7,10)eq\f(3,10)所以E(ξ)＝0×eq\f(7,10)＋1×eq\f(3,10)＝eq\f(3,10).4．[2024·濟(jì)南模擬]某客戶打算在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級(jí)過(guò)濾，運(yùn)用壽命為十年，如圖1所示．兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器采納并聯(lián)安裝，二級(jí)過(guò)濾器與三級(jí)過(guò)濾器為串聯(lián)安裝．其中每一級(jí)過(guò)濾都由核心部件濾芯來(lái)實(shí)現(xiàn)，在運(yùn)用過(guò)程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都須要不定期更換(每個(gè)濾芯是否須要更換相互獨(dú)立)，三級(jí)濾芯無(wú)需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)80元，二級(jí)濾芯每個(gè)160元．若客戶在運(yùn)用過(guò)程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)200元，二級(jí)濾芯每個(gè)400元，現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量，為此參考了依據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年運(yùn)用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖2是依據(jù)200個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的柱狀圖，表是依據(jù)100個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表：圖1圖2二級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表：二級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)56頻數(shù)6040以200個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以100個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過(guò)濾器更換濾芯發(fā)生的概率．(1)求一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30的概率；(2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的一級(jí)濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)記m，n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)．若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以該客戶的凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定m，n的值．解：(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個(gè)一級(jí)過(guò)濾器均需更換12個(gè)濾芯，二級(jí)過(guò)濾器須要更換6個(gè)濾芯．設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在運(yùn)用期內(nèi)須要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為30”為事務(wù)A.因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過(guò)濾器須要更換12個(gè)濾芯的概率為0.4，二級(jí)過(guò)濾器須要更換6個(gè)濾芯的概率為0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.(2)由柱狀圖可知，一個(gè)一級(jí)過(guò)濾器須要更換的濾芯個(gè)數(shù)為10,11,12的概率分別為0.2,0.4,0.4.由題意，X可能的取值為20,2