高等數(shù)學(xué) 課件 第六章 微分方程

第六章

微分方程目

錄O1第一節(jié)

微分方程的基本概念O2第二節(jié)

一階微分方程的初等解法O3第三節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程第一節(jié)

微分方程的基本概念PARTONE學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解微分方程的階及其解、通解、初始條件和特解等相關(guān)概念.2.了解線性微分方程和非線性微分方程.解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:引例1一、微分方程的基本概念一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的切線斜率為2x,求該曲線的方程.

由①得由②得C=1,因此所求曲線方程為(C為任意常數(shù))①②引例2列車在平直路上以20m/s的速度行駛,制動時獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.

已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得說明:

利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少路程.

因此所求運動規(guī)律為-0.4m/s2，一、微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程叫作微分方程.一元函數(shù)——常微分方程多元函數(shù)——偏微分方程未知函數(shù)

注：微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是不可缺少的微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)一般地,n

階常微分方程的形式是例如：一階微分方程四階微分方程三階微分方程二階微分方程n階方程的初始條件(或初值條件)：定解條件—

確定通解中任意常數(shù)的條件.微分方程的解

—

使方程成為恒等式的函數(shù).通解—

解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同特解—

不含任意常數(shù)的解,其圖形稱為積分曲線.引例1通解特解引例2例1

驗證

為方程

的解.解：

由于

代入方程

的左端，得函數(shù)式

滿足微分方程方程

故

為方程

的解.練習(xí)1.下列各微分方程的階數(shù)：二階一階一階2.指出下列各題中的函數(shù)是不是所給微分方程的解.是不是謝謝聆聽第六章

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微分方程的基本概念O2第二節(jié)

一階微分方程的初等解法O3第三節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程第二節(jié)

一階微分方程的初等解法PARTTWO學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握可變量分離方程，學(xué)會用變量分離法求微分方程的通解.2.掌握一階線性微分方程的求解方法.一、變量分離法（一）變量分離方程形如

的方程，稱為變量分離方程.

變量分離方程解法：

①分離變量

②兩邊積分例1

求微分方程

的解.解：分離變量，得兩邊積分，得因此，通解為例2

求微分方程

滿足初值條件

的特解.解：分離變量，得兩邊積分，得兩邊積分，得所以微分方程滿足初值條件

的特解為（二）齊次微分方程

作變換

，即

，于是

代入原方程得

，整理后，

得到

，變成了變量分離方程.例3

求解方程

解：將方程改寫為

，這是齊次微分方程.

代入原方程變?yōu)樽髯儞Q

，即

，兩邊微分

分離變量得兩邊積分，得到通解即當(dāng)

時，即得原方程通解二、一階線性微分方程（一）齊次線性方程方程

稱為一階線性微分方程.

如果

，那么該方程稱為齊次的；如果

，那么該方程稱為非齊次的.用變量分離法求其通解得：（二）非齊次線性方程用常數(shù)變易法求其通解——把齊次線性方程通解中的C換成未知數(shù)

的函數(shù)即作變換兩邊對

求導(dǎo)，得代入原方程得

，即故原方程通解為將上式改寫成兩項之和上式右端第一項是對應(yīng)齊次線性方程的通解，第二項是非齊次線性方程的一個特解.由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和.例4求下列微分方程的通解.解：

(1)整理得

該方程為一階齊次線性方程，知因此所求通解為謝謝聆聽第六章

微分方程目

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微分方程的基本概念O2第二節(jié)

一階微分方程的初等解法O3第三節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程第三節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程PARTTHREE學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握用降階法求解高階微分方程.2.了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).3.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.一、二階常系數(shù)線性微分方程的概念（一）一般方程（非齊次）（二）齊次方程（三）解的結(jié)構(gòu)定理（四）解的性質(zhì)二、齊次方程

的通解求齊次方程的通解的步驟如下：1.寫出方程的特征方程2.求特征方程的兩個根3.根據(jù)

的不同情形，按表1寫出方程的通解.例1求方程

的通解.解：所給方程為齊次方程，其根

是兩個不相等的實根，其特征方程為故方程的通解為例2求方程

的通解.解：所給方程為齊次方程，其特征方程為其根

是兩個相等的實根，故方程的通解為例3求方程

的通解.解：所給方程為齊次方程，其特征方程為其根

是一對共軛復(fù)根，故方程的通解為練習(xí)求下列方程的通解.三、非齊次方程

的通解解的結(jié)構(gòu)定理注意：可用語言描述為“非齊次通解=齊次通解+非齊次特解”，便于記憶.四、非齊次線性方程的特解形式對于方程例1求方程

的特解形式.解：例2求方程

的特解形式.解：例3求方程