高中數(shù)學(xué) 第一章 相似三角形的判定及有關(guān)性 1.3.1 相似三角形的判定（1）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版選修4-1

高中數(shù)學(xué)第一章相似三角形的判定及有關(guān)性1.3.1相似三角形的判定（1）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修4-1學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教材分析高中數(shù)學(xué)第一章相似三角形的判定及有關(guān)性1.3.1相似三角形的判定（1）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修4-1。本節(jié)課圍繞相似三角形的判定條件展開，通過幾何圖形的直觀演示和邏輯推理，引導(dǎo)學(xué)生掌握相似三角形的判定方法。課程內(nèi)容緊密聯(lián)系課本，以實(shí)際應(yīng)用為背景，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的幾何知識(shí)，包括三角形的基本性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等。這些知識(shí)為本節(jié)課的相似三角形判定奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中學(xué)生對(duì)幾何學(xué)通常有較高的興趣，尤其是與圖形直觀和空間想象相關(guān)的部分。他們的學(xué)習(xí)能力各異，部分學(xué)生可能具有較強(qiáng)的邏輯推理能力，而另一些學(xué)生可能更擅長通過圖形直觀理解概念。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過動(dòng)手操作和觀察來學(xué)習(xí)，有的則更傾向于通過抽象思維和邏輯推導(dǎo)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)相似三角形的判定時(shí)，可能會(huì)遇到以下困難：一是對(duì)幾何圖形的直觀理解不足，難以從圖形中抽象出相似的條件；二是邏輯推理能力不足，難以從已知條件推導(dǎo)出相似三角形的判定方法；三是空間想象能力有限，難以在空間中構(gòu)造出滿足相似條件的三角形。針對(duì)這些困難，教師需要通過多種教學(xué)策略幫助學(xué)生克服。教學(xué)方法與策略1.采用講授法結(jié)合實(shí)例分析，幫助學(xué)生理解相似三角形判定的理論依據(jù)。

2.設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過合作探究，共同解決問題，提高邏輯思維能力。

3.利用多媒體展示幾何圖形，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)相似三角形直觀理解，并通過動(dòng)畫演示相似三角形判定過程。

4.結(jié)合實(shí)際生活中的案例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，提升應(yīng)用能力。教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)知識(shí)，特別是全等三角形的判定，今天我們要繼續(xù)探討三角形的世界，進(jìn)入一個(gè)新的主題——相似三角形。請大家打開課本，翻到第一章，我們一起看看相似三角形有哪些特別的性質(zhì)。

（二）新課講授

1.相似三角形的定義

同學(xué)們，我們先來回顧一下相似三角形的定義。當(dāng)兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，這兩個(gè)三角形就是相似三角形?，F(xiàn)在，請大家拿出一張紙，畫出兩個(gè)相似的三角形，并標(biāo)出它們的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。

2.相似三角形的判定方法

-角角相似定理：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

-邊邊邊相似定理：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊長成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。

-邊角邊相似定理：如果兩個(gè)三角形的兩角和一邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

請大家跟隨課本上的例題，嘗試用這些判定方法來判斷三角形的相似性。

3.實(shí)例分析

現(xiàn)在，我們來看幾個(gè)具體的例子，通過分析這些例子，加深對(duì)相似三角形判定方法的理解。

-例題1：已知三角形ABC和三角形DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，求證：三角形ABC∽三角形DEF。

-例題2：已知三角形ABC，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm；三角形DEF，DE=4cm，EF=6cm，DF=8cm。求證：三角形ABC∽三角形DEF。

請大家獨(dú)立完成這兩個(gè)例題，并在完成后與同桌討論。

4.小組討論與展示

現(xiàn)在，我們將分組進(jìn)行討論，每組選取一個(gè)例題進(jìn)行證明，并在全班展示。在展示過程中，我會(huì)請其他同學(xué)提問和點(diǎn)評(píng)。

5.拓展與應(yīng)用

同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的判定方法，接下來讓我們來探討一下相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

-例題3：一個(gè)長方形的長是寬的2倍，長方形的對(duì)角線長度是多少？

-例題4：一個(gè)等腰三角形的底邊長為10cm，腰長為12cm，求該三角形的面積。

請大家嘗試解決這兩個(gè)問題，并在小組內(nèi)討論。

（三）鞏固練習(xí)

為了檢驗(yàn)大家對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，我們將進(jìn)行一些鞏固練習(xí)。

1.判斷題：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)三角形一定相似。（）

2.單選題：下列哪組對(duì)應(yīng)邊滿足邊角邊相似定理？（）

A.2,4,6

B.3,5,7

C.4,6,8

D.5,7,9

請大家完成這兩個(gè)練習(xí)，并相互檢查。

（四）總結(jié)與反思

今天我們學(xué)習(xí)了相似三角形的判定方法，并通過實(shí)例和練習(xí)加深了對(duì)這些方法的理解。希望大家能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中，提高解決實(shí)際問題的能力。

（五）布置作業(yè)

1.復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，完成課本上的課后練習(xí)題。

2.思考：相似三角形在生活中有哪些應(yīng)用？

同學(xué)們，今天的課程就到這里，希望大家能夠認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí)。下課！教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-相似三角形的實(shí)際應(yīng)用：介紹相似三角形在工程、建筑設(shè)計(jì)、攝影、天文等領(lǐng)域中的應(yīng)用實(shí)例。例如，在建筑設(shè)計(jì)中，相似三角形的原理被用來設(shè)計(jì)建筑的比例，以確保視覺上的和諧與美觀。

-相似三角形與比例：探討相似三角形與比例之間的關(guān)系，包括相似三角形如何幫助我們計(jì)算比例，以及比例在幾何學(xué)中的應(yīng)用。

-相似三角形的證明方法：深入研究不同的相似三角形證明方法，如平行線定理、內(nèi)角和定理、三角形中位線定理等，以及這些方法在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以通過閱讀相關(guān)的科普書籍或雜志，了解相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，例如《數(shù)學(xué)與建筑》或《數(shù)學(xué)與攝影》等。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或挑戰(zhàn)題目的解決，如“美國數(shù)學(xué)競賽”或“國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽”，這些競賽經(jīng)常包含相似三角形的題目。

-建議學(xué)生嘗試使用幾何軟件，如Geogebra或GeoGebra，來直觀地探索相似三角形的性質(zhì)，通過軟件的動(dòng)態(tài)演示來加深理解。

-學(xué)生可以嘗試制作一個(gè)幾何模型，比如使用紙板和剪刀來剪出不同大小的相似三角形，通過實(shí)際操作來感受相似三角形的比例關(guān)系。

-在家中，學(xué)生可以觀察家庭物品中的相似三角形，比如電視屏幕與遙控器、家具的尺寸比例等，嘗試使用相似三角形的原理來解釋這些比例。

-學(xué)生可以參與小組項(xiàng)目，例如設(shè)計(jì)一個(gè)具有特定比例的模型，如一個(gè)長方體或正方體，并在小組內(nèi)討論如何使用相似三角形的原理來確保模型的比例正確。

-鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，例如使用不同長度的線段來構(gòu)建相似三角形，觀察當(dāng)一條邊固定時(shí)，其他邊如何變化，以及這些變化如何影響三角形的相似性。

-學(xué)生可以探索相似三角形在藝術(shù)作品中的應(yīng)用，如繪畫、雕塑或建筑中，分析藝術(shù)家如何利用相似三角形的原理來創(chuàng)造視覺效果。課堂1.課堂評(píng)價(jià)

在課堂教學(xué)中，我將采取多種評(píng)價(jià)方式來監(jiān)測學(xué)生的學(xué)習(xí)情況：

-提問：通過隨機(jī)提問和個(gè)別提問，檢查學(xué)生對(duì)相似三角形判定原理的理解程度。我會(huì)問學(xué)生：“你能說出兩個(gè)三角形相似必須滿足哪些條件嗎？”來評(píng)估他們對(duì)定義的掌握。

-觀察：在小組討論和合作學(xué)習(xí)活動(dòng)中，我會(huì)注意觀察學(xué)生的參與程度、交流互動(dòng)和解決問題的能力。例如，我會(huì)在學(xué)生展示解題過程時(shí)，觀察他們是否能夠正確應(yīng)用判定方法。

-小組活動(dòng)：通過小組討論的成果展示，我能夠評(píng)估學(xué)生之間的溝通和團(tuán)隊(duì)合作能力。我會(huì)關(guān)注小組是否能夠共同解決復(fù)雜的問題，如證明兩個(gè)三角形相似。

-測試：在課程的結(jié)尾，我會(huì)進(jìn)行簡短的課堂測試，包括選擇題和填空題，以評(píng)估學(xué)生對(duì)相似三角形判定方法和相關(guān)定理的記憶和理解。

-反饋：對(duì)于學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，我會(huì)提供即時(shí)的正面反饋和改進(jìn)建議，幫助他們識(shí)別自己的強(qiáng)項(xiàng)和需要提升的領(lǐng)域。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

作業(yè)是評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段，以下是我對(duì)作業(yè)評(píng)價(jià)的具體做法：

-批改標(biāo)準(zhǔn)：我會(huì)根據(jù)作業(yè)中的錯(cuò)誤類型和頻率來設(shè)定批改標(biāo)準(zhǔn)，確保評(píng)價(jià)的公平性和一致性。

-詳細(xì)點(diǎn)評(píng)：對(duì)于每份作業(yè)，我都會(huì)給出詳細(xì)的批改意見，包括正確的步驟、錯(cuò)誤的原因以及如何改進(jìn)的建議。

-及時(shí)反饋：我會(huì)盡量在學(xué)生提交作業(yè)后的24小時(shí)內(nèi)給出反饋，以便學(xué)生能夠及時(shí)了解自己的學(xué)習(xí)成果，并在必要時(shí)進(jìn)行調(diào)整。

-個(gè)別輔導(dǎo)：對(duì)于作業(yè)中表現(xiàn)不佳的學(xué)生，我會(huì)提供個(gè)別輔導(dǎo)，幫助他們理解概念和解決問題的方法。

-家長溝通：如果學(xué)生的作業(yè)表現(xiàn)不佳，我會(huì)與家長溝通，共同探討學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，并尋求家長的支持和配合。

3.總結(jié)性評(píng)價(jià)

課程結(jié)束后，我會(huì)進(jìn)行總結(jié)性評(píng)價(jià)，包括以下內(nèi)容：

-課堂表現(xiàn)：根據(jù)課堂提問、小組討論和課堂測試的結(jié)果，評(píng)估學(xué)生的整體表現(xiàn)。

-作業(yè)完成情況：總結(jié)學(xué)生在作業(yè)中的進(jìn)步和存在的問題，提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)建議。

-自我評(píng)估：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)估，讓他們反思自己在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)，設(shè)定新的學(xué)習(xí)目標(biāo)。典型例題講解例題1：已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10cm，求AC和BC的長度。

解答：

由三角形內(nèi)角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。

在△ABC中，由正弦定理，得

AC/sin75°=AB/sin45°，

因此，AC=AB*sin75°/sin45°≈10*1.0355/0.7071≈14.8cm。

同理，BC=AB*sin60°/sin45°≈10*0.8660/0.7071≈12.3cm。

例題2：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，且AD=6cm，求BC的長度。

解答：

由于AD是高，它將底邊BC平分，因此BD=DC。

在直角三角形ABD中，AB=AC，AD=6cm，我們可以使用勾股定理來求AB的長度：

AB2=AD2+BD2，

AB2=62+BD2，

AB=√(36+BD2)。

在直角三角形ADC中，AC=AB，AD=6cm，同樣使用勾股定理：

AC2=AD2+DC2，

AC2=62+DC2，

AC=√(36+DC2)。

由于AB=AC，我們有：

√(36+BD2)=√(36+DC2)，

36+BD2=36+DC2，

BD2=DC2。

由于BD=DC，我們知道BD和DC的長度相等，因此BD=DC=6cm。

所以，BC=BD+DC=6cm+6cm=12cm。

例題3：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10cm，求BC和AC的長度。

解答：

由三角形內(nèi)角和定理，∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°。

在直角三角形ABD中，AD是高，且∠A=30°，我們可以得出AD是AB的一半，即AD=AB/2=10cm/2=5cm。

在直角三角形ACD中，∠C=105°，AD=5cm，我們可以使用余弦定理來求AC的長度：

AC2=AD2+CD2-2*AD*CD*cos(∠C)，

AC2=52+CD2-2*5*CD*cos(105°)，

AC2=25+CD2+10*CD*(-0.259)，

AC2=25+CD2-2.59*CD。

在直角三角形BCE中，∠B=45°，CD是BC的一半，因此CD=BC/√2。

將CD的表達(dá)式代入AC2的方程中，得：

AC2=25+(BC/√2)2-2.59*(BC/√2)，

AC2=25+BC2/2-2.59*BC/√2。

由于∠A=30°，∠B=45°，∠C=105°，我們可以得出BC是AC的√3倍，即BC=√3*AC。

將BC的表達(dá)式代入AC2的方程中，得：

AC2=25+(√3*AC)2/2-2.59*(√3*AC)/√2，

AC2=25+3*AC2/2-2.59*√3*AC/√2。

現(xiàn)在我們有一個(gè)關(guān)于AC的方程，我們可以解這個(gè)方程來找到AC的長度：

AC2-3*AC2/2+2.59*√3*AC/√2=25，

AC2/2-2.59*√3*AC/√2=25，

AC2-5.18*√3*AC=50。

這是一個(gè)二次方程，我們可以使用配方法或者求根公式來解它。這里我們使用求根公式：

AC=[5.18*√3±√((5.18*√3)2+4*50)]/2，

AC=[5.18*√3±√(26.9049*3+200)]/2，

AC=[5.18*√3±√(80.5147+200)]/2，

AC=[5.18*√3±√280.5147]/2，

AC=[5.18*√3±16.75]/2。

我們只取正數(shù)解，因?yàn)殚L度不能為負(fù)：

AC=(5.18*√3+16.75)/2≈12.9cm。

由于BC=√3*AC，我們可以得出BC的長度：

BC≈√3*12.9≈22.5cm。

例題4：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=8cm，AC=6cm，求BC的長度。

解答：

在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠A=30°，根據(jù)30°-60°-90°三角形的性質(zhì)，我們知道AB是斜邊，AC是較短的直角邊，BC是另一條直角邊，且BC是AC的兩倍。

因此，BC=2*AC=2*6cm=12cm。

例題5：在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，AB=10cm，求BC和AC的長度。

解答：

由于∠A=∠B=45°，三角形ABC是一個(gè)等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，斜邊是兩個(gè)直角邊的√2倍。

因此，AC=BC=AB/√2=10cm/√2≈7.07cm。內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-相似三角形的定義：兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊成比例。

-相似三角形的判定方法：角角相似定理、邊邊邊相似定理、邊角邊相似定理。