高等數(shù)學下冊（第2版）課件：二階常系數(shù)非齊次線性方程

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二階常系數(shù)非齊次線性方程

二、三、第六章

一、線性非齊次方程解的結構二階常系數(shù)線性非齊次方程的一般形式:稱①

一、二階常系數(shù)線性非齊次方程解的結構②為相應于非齊次方程的齊次方程。定理：設是非齊次方程①的一個解，而是所相應的齊次方程②的解，則仍然是非齊次方程①的解。第一步：根據(jù)f(x)的形式,第二步：代入原方程以確定函數(shù)表達式中的待定系數(shù).—

待定系數(shù)法

如果是所相應的齊次方程②的通解則由上述定理得非齊次方程①通解的結構。定理：是非齊次方程①的一個特解，而是所相應的齊次方程②的通解，則成為非齊次方程①的通解。設求特解的方法的函數(shù)形式；確定二、

為實數(shù),設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為已知的m

次多項式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式

(2)若是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為即即

小結對方程不是特征根可設特解

其中為已知的m次多項式。是特征單根是特征重根其中為待定的m次多項式。例1.的一個特解.解:本題特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數(shù),得所求特解為

寫全一個二次多項式例2.的通解.

解:本題特征方程為特征根對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為

三、

對非齊次方程可設特解其中不是特征根是特征單根例3.的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解

例4.的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為

（其中為實數(shù)).例5.求微分方程的通解解:特征方程特征根:對應齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為

內容小結

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設特解為

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