高等數(shù)學(xué)下冊（第2版）課件：平面及其方程_第1頁
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文檔簡介

二、平面的一般式方程三、平面的截距式方程四、兩平面的夾角平面及其方程

一、平面的點法式方程

①一、平面的點法式方程設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面

的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故

例1.求過三點即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點法式得平面

的方程

此平面的方程也可寫成一般情況:過三點的平面方程為說明:二、平面的一般式方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為式方程.

特殊情形?

當(dāng)

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當(dāng)

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.

例2.求通過z軸和點(–3,1,–2)的平面方程.解:因平面通過

z軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程

此式稱為平面的截距式方程.三、平面的截距式方程設(shè)一個平面與x、y、z軸的三個交點依次是

、其中

求該平面的方程。設(shè)平面的方程為：

三點P、Q、R的坐標(biāo)都滿足上述方程，有

化簡得：a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.

四、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角),稱為兩平面的夾角.

特別有下列結(jié)論：

因此有例3.一平面通過點且垂直于平面∏:解:

設(shè)所求平面的法向量為

得即和則所求平面故方程為,

求其方程.，的法向量n1

例4.求過點且垂直于二平面和的平面方程.解:已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡得

外一點,求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點到平面的距離公式)

內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點法式截距式

2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角

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