第1課時(shí)最值問(wèn)題

22.3實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)第1課時(shí)最值問(wèn)題

有些實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值問(wèn)題可以用二次函數(shù)模型來(lái)刻畫．解決此類問(wèn)題常用的方法：1．將y＝ax2＋bx＋c通過(guò)配方化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式．(1)若a>0，則當(dāng)x＝

時(shí)，y有最

值，為

；

(2)若a<0，則當(dāng)x＝

時(shí)，y有最

值，為

．

2．一般地，當(dāng)a>0(a<0)時(shí)，拋物線

y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)是最低(高)點(diǎn)，也就是說(shuō)，當(dāng)x＝

時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值

．

h

小

k

h

大

k

【問(wèn)題】如何運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題?幾何圖形面積最大(小)值問(wèn)題【探究1】已知直角三角形兩條直角邊的和等于16，兩條直角邊分別為多少時(shí)，這個(gè)直角三角形的面積最大?最大值是多少?【例1】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以2mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向點(diǎn)C以4mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合)．如果P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為

s時(shí)，四邊形APQC的面積最小．

1．如圖，用長(zhǎng)24m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻且中間隔有兩道籬笆的矩形花圃，設(shè)花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)若墻的最大可用長(zhǎng)度為8m，求圍成花圃的最大面積．(1)S＝－4x2＋24x(0＜x＜6)

(2)圍成花圃的最大面積是32m2.商品利潤(rùn)最大問(wèn)題【探究2】某超市經(jīng)銷一種商品，成本價(jià)為50元/kg，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品每天的銷售量y(單位：kg)與銷售價(jià)格x(單位：元/kg)滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝－2x＋180，當(dāng)銷售價(jià)格為多少時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【例2】某商店經(jīng)營(yíng)一種產(chǎn)品，進(jìn)價(jià)為40元/kg，按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出500kg．若銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg，則銷售單價(jià)為

元時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大．

解析：設(shè)銷售單價(jià)為x元/kg，獲得的利潤(rùn)為y元，則y＝(x－40)[500－(x－50)×10]＝(x－40)(1

000－10x)＝－10(x－70)2＋9

000．故當(dāng)x＝70時(shí)，

y有最大值9

000．答案：702．某商店將進(jìn)價(jià)為每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，現(xiàn)在采取提高售價(jià)減少銷售量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品每件的售價(jià)每漲價(jià)1元，其銷售量就減少20件．(1)應(yīng)將該商品每件漲價(jià)多少元，才能使每天的利潤(rùn)為640元?(2)該商品每件漲價(jià)多少元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?解:設(shè)該商品每件漲價(jià)x元,每天獲得的利潤(rùn)為W元.(1)根據(jù)題意可知,(10＋x－8)(200－20x)＝640,解得x1＝2,x2＝6.∴應(yīng)將該商品每件漲價(jià)6元或2元,才能使每天的利潤(rùn)為640元.

(2)根據(jù)題意得W＝(10＋x－8)(200－20x)＝－20x2＋160x＋400＝－20(x－4)2＋720,∴該商品每件漲價(jià)4元時(shí),可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是720元.1．

若小敏用一根長(zhǎng)為8cm的細(xì)鐵絲圍成矩形，則矩形的最大面積是(

)．A．4cm2

B．8cm2

C．16cm2

D．32cm2A2．在△ABC中，BC的長(zhǎng)與BC邊上的高之和為20．設(shè)△ABC的面積為y，BC的長(zhǎng)為x．(1)當(dāng)△ABC的面積為48時(shí)，求BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)BC長(zhǎng)為多少時(shí)，△ABC的面積最大?最大面積是多少?

3．(深圳)某科技公司銷售高科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為每件8萬(wàn)元，已知銷售量y(單位：件)是銷售單價(jià)x(單位：萬(wàn)元)的一次函數(shù)，且它們的部分?jǐn)?shù)量關(guān)系如下表所示．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，有最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)為多少?x/萬(wàn)元10121416y/件40302010(1)y＝－5x＋90

(2)當(dāng)銷售單價(jià)為13萬(wàn)元時(shí),有最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為125萬(wàn)元.4．(傳統(tǒng)文化，廣東省)端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某市場(chǎng)上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購(gòu)進(jìn)的肉粽和用6000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)肉粽每盒售價(jià)為50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售出2盒．(1)求肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；

(2)設(shè)肉粽每盒售價(jià)x元(50≤x≤65)，y表示該商家每天銷售肉粽的利潤(rùn)(單位：元)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及最大利潤(rùn)．(2)由題意,得當(dāng)x＝50時(shí),每天可售出100盒.當(dāng)肉粽每盒售價(jià)x元(50≤x≤65)時(shí),每天可售出[100－2(x－50)]盒,∴y＝(x－40)[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8000.配方,得y＝－2(x－70)2＋1800.∵當(dāng)x＜70時(shí),y隨x的增大而增大