2024年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第6章第7節(jié)立體幾何中的向量方法-求空間角與距離

第七節(jié)立體幾何中的向量方法——求空

間角與距離

考試要求：1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互

平行的平面的距離問題和簡單夾角問題.

2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.

--------X必備知識?回顧教材重“四基——

一、教材概念-結(jié)論-性質(zhì)重現(xiàn)

1.兩條異面直線所成角的求法

設(shè)力分別是兩異面直線小/2的方向向量，則

/|與/2所成的角0a與力的夾角夕

范圍（0,兀）

_\ab\ab

求法COS0n一?一c°s夕o一同向

微提醒■■■

求兩異面直線/i,，2的夾角仇須求出它們的方向向量明力的夾角〈。，b〉,由

于夾角范圍不同，有cos6=|cos〈。，b)|.

2.直線與平面所成角的求法

設(shè)直線/的方向向量為。，平面a的法向量為〃，直線/與平面。所成的角為

。與〃的夾角為夕，則sin9=|cosM=^.

|U||/t|

微提醒■■■■

求直線/與平面a所成的角仇可先求出平面a的法向量〃與直線/的方向向量

。的夾角，則sin8=|cos〈〃，a)\.

3.二面角的平面角求法

(1)如圖(1),AB,CO分別是二面角a-//的兩個半平面內(nèi)與棱/垂直的直線，則

二面角的大小0=<A§,CD).

(2)如圖(2)(3),小，〃2分別是二面角a-//的兩個半平直a,4的法向量，則二面

角<9的大小滿足|C0S<9|=|C0S<?1,112)|,二面角的平面角的大小是向量見與〃2

的夾甫(或其補角).

微提醒■■■“

利用平面的法向量求二面角的大小時，求出兩平面a,夕的法向量〃1,〃2后，要

根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量/II,小的夾角

是相等，還是互補.一進一出相等，同進同出互補.

4.利用空間向量求距離

(1)點到直線的距離

如圖所示，

己知直線/的單位方向向量為〃，A是直線/上的定點，P是直線/外一點，則點

P到直線I的距離PO=^\AP^-(AP-u)2.

(2)點到平面的距離

如圖所示，

已知A8為平面a的一條斜線段，〃為平面。的法向量，則點8到平面。的距離

為40=騫.

微提醒■■■?

求點到平面的距離，若用向量知識，則離不開以該點為端點的平面的斜線段.有

時利用等積法求解可能更方便.

二、基本技能-思想-活動經(jīng)驗

1.判斷下列說法的止誤，對的畫“J”，錯的回“X”.

⑴兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.

⑵直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(X)

(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.

(4)兩異面直線夾角的范圍是(0,外，直線與平面所成角的范圍是［。，,，二面角

的范圍是［0,71］.

2.已知兩平面的法向量分別為加=(0,1,0),〃=(0,1,1),則兩平面所成的二

面角為()

A.45°B.135°

C.45?；?35°D.90°

C解析：cos〈"?，〃〉=廣冷=」^=￥，即〈"?，〃〉=45°.

|m||n|1XV22

所以兩平面所成二面角為45?；?80°-45°=135°.

3.如圖，在正方體AbCQA&GD中，已知M,N分別是8。和人。的中點,

則BiM與AN所成角的余弦值為()

AB

V30同

1015

國

30

A解析：以。為原點，DA,DC,所在直線分別為工軸、)，軸、z軸建立如

圖所示空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2,則Ml,0,0),Di(0,0,2),M(l,I,0),Bi(2,2,2),

所以瓦麗=(一1,-I,-2),

石R=(l,0,-2),

所以&M'?。1"=-1+4=3,

|BiM|=V6,|Di/V|=V5,

所以cos〈瓦百，甲）=卷=騫，

所以與OiN所成角的余弦值為暮.故選A.

4.如圖所示，在四棱錐尸-A8CD中，側(cè)面以。J_底面ABCO,側(cè)棱以=PO=

V2,PA1.PD,底面ABCO為直角梯形，其中8C〃A。，AB1AD,AB=BC=\,

。為4力的中點.

（1）直線PB與平面POC所成角的余弦值為;

⑵點B到平面PCD的距離為.

Y解析：（1）在△南。中，PA=PD,。為AO中點，所以PO_LAO.

又側(cè)面力。_L底面ABCD,平面山?？谄矫鍭BCD=ADfPOu平面PAD,

所以PO_L平面A8CQ.

又在直甭梯形48C。中，易得。C_L4O.

以0為原點，0C為x軸，。。為），軸，0P為z軸建立空間直甭坐標(biāo)系.

則P(0,0,i),A(0,-I,0),8(1,-1,0),C(l,0,0),D(0,1,0),

所以而=(1,-1,-1).

fOALPO,

因為10AlC。，得OAJ■平面POC,

IPOACO=0,

所以瓦?=(0,-1,0)是平面POC的一個法向量，

所以8s〈兩期母專

所以J1-C0S2〈而，0A)=乎，

所以直線P8與平面POC所成角的余弦值為手.

(2)麗=(1,-1,-1),設(shè)平面POC的法向量為〃=(x,y,z),

則n-CP=(%,y,z)-(-1,0,1)=-x+z=0,

(n-PD=(x,y,z)?(0,1,-1)=y-z=0,

取z=l得〃=(1,1,1)為平面PC。的一個法向量，

點、8到平面PCD的距離/=但型=蟲.

|n|3

5.過正方形A8CO的頂點A作線段以L平面A8CO,若A8=%,則平面A8P

與平面CDP的夾角為.

45°解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A8=B4=1,則A(0,0,0),D(0,

1,0),P(O,0,1).

由題意，知AO_L平面布5,設(shè)E為PO的中點，連接AE,則AEJ_尸。.又CO

J_平面布。，所以CO_LAE,從而AE_L平面PCD所以而=((),1,0),AE=

(0,3分別是平面辦B,平面PC。的法向量，且〈而，AE>=45°.故平面

PAB與平面PCD的夾角為45°.

、關(guān)鍵能力-研析考點強“四翼”/

考點1異面直線所成的角——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

I.在正方體A8CQ-A山iGOi中，點E,尸分別是88,68的中點，則即與

AiO所成角的大小為()

A.60°B.90°

C.45°D.75°

B解析：如圖所示，以。為坐標(biāo)原點，以。4所在直線為x軸，OC所在直線

為)，軸，所在直線為？軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體ABCD-481C1。的棱長為2,易得E(2,2,1),F(l,1,2),。(0,0,

0),4(2,0,2),所以前=(-1,-1,1),西=(2,0,2),所以麗?西=一

2+2=0,所以前_1_西.故選B.

2.如圖，在四棱錐A-8C0E中，DE//CB,8E_L平面ABC,BE=3,AB=CB=

AC=2DE=2,則異面直線DC與AE所成角的余弦值為()

C.等D，票

A解析：如圖所示，取8c的中點￡連接AF,DF,可得。/〃因為8E_L

平面A8C,所以。凡1_平而ABC.又由A8=C8=AC且尸為BC的中點，所以

AFA.BC,故以尸為坐標(biāo)原點，以雨，F(xiàn)B,所在直線分別為x,y,z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則0,0),E(0,1,3),C(0,-1,0),0(0,0,3),故而=(0,1,3),AE

=(-V3,1,3),則cos<CD,荏〉=黑備=三%=等.所以異面宜線OC

|CD||/ic|vlOXvl313

與AE所成角的余弦值為巫.故選A.

3.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCTXA由CIQI中，E是棱CG的中點，F(xiàn)

是棱A。上一點，而=24.若異面直線和A尸所成角的余弦值為哈，則2

的值為，

解題通法

利用向量法求異面直線所成角的問題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系寫出相關(guān)點的

坐標(biāo)，并進一步求出相關(guān)的向量，利用向量的夾角公式求解.在求解過程中易出

現(xiàn)因忽視異面直線所成角的范圍而致錯的情況.

考點2直線與平面所成的角——徐合性

「典例引領(lǐng)」

例。二(2022?全國甲卷)在四棱錐P-ABC。中，尸。，底面ABC。，CD//AB,AD

=DC=CB=\,AB=2,DP=V3.

(1)證明：BDLPA.

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

(1)證明：因為底面48C。，BOu平面AACQ,

所以PDLBD,

取A8中點E,連接。旦

因為4O=DC=C8=1,A8=2,

所以ND48=60°,

又因為AE=-AB=AD=1,

2

所以O(shè)E=1,所以。七=/乩

所以△八為直角三角形，且48為斜邊,

所以BDLAD,

又PDC\AD=Dt尸Ou平面PAD,AOu平面PAD,

所以8￡)_L平面PAD,

又外u平面PAD,

所以

兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直痢坐標(biāo)

(2)解:由(1)知，PD,ADtBO

系，

BD=y/AB2-AD2=y/3,

則￡)(0,0,0),A(l,0,0),6(0,V3,0),P(0,0,同

所以而=((),0,-V3),M=(l,0,-V3),A5=(-l,V3,0),

/i*PA-x=Q

設(shè)平面BAB的一個法向量為〃=(x,y,z),則|'則可取

,n-AB=—x+V3y=0,

w=(V3,1,1),

設(shè)PO與平面RW所成的,龜為〃，則sinO=|cos(而，?1)|=|贏：/=,

所以P。與平面布8所成的角的正弦值為

解題通法

利用向量求線面角的2種方法

(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向

量的夾角(或其補角).

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，

取其余角就是斜線與平面所成的角.

「多維訓(xùn)練」

1.在長方體4BCD-A山CDi中,AB=2,BC=A4i=l,則*G與平面4BG所

成角的正弦值為.

[解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dryz,

由于AB=2,BC=A4i=l,所以Ai(l,0,1),8(1,2,0),Ci(0,2,1),Di(0,

0,1),所以砧*=(一1,2,0),函=(一1,0,1),麗=(0,2,0).設(shè)平面

48G的法向量為〃=(x,y,z),則有「J即令x=2,

(8C「TI=0,(—%+z=0,

得y=l,z=2,則w=(2,1,2)為平面A山。的一個法向量.設(shè)QiG與平面48G

所成角為〃，則sin0=|cos〈的，〃〉1=黑島=a=3即OQ與平面A\BC\

所成甬的正弦值為士

3

2.(2022?北京卷)如圖，在三棱柱ABC-AiBG中，側(cè)面為正方形，平

面8CG8」平面A8B4,48=BC=2,M,N分別為Ai8i,AC的中點.

(1)求證：MN〃平面BCCB].

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN

所成角的正弦值.

條件①：ABLMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第?個解答計分.

(1)證明：取AB中點K,連接NK,MK,

因為M為481的中點.所以B\M〃BK,旦BIM〃BK,

所以四邊形BKMBi是平行四邊形，故MK//BB\,

MKQ平而BCGBi,BBu平面8CG81,

所以MK〃平面BCCB,

因為K是A8的中點，N是AC的中點，

所以NK〃BC,

因為NKQ平面BCC1B1,BCu平面ACC用，

所以NK〃平面BCGBi,又NKCMK=K,

所以平面NMK〃平面BCGBi,

又MNu平面NMK,

所以MN〃平面BCC\B\.

(2)解：因為側(cè)面8CG亂為正方形，平面8CG8i_L平面A88i4i,平面BCCiBiD

平面A881Al=881,

所以CB_L平面ABBAi,

所以CB_LA8,又NK//BC,

所以AB1NK,

若選①：因為A8_LMV,大MNCNK=N,

所以48J_平面MNK,

又MKu平面MNK,

所以又MK〃BB\,

所以A8_L8Bi,

所以BC,BA,兩兩垂直.

若選②：因為C8J_平面A3814,NK//BC,所以NKJ_平面A8814,KMu平面

ABB\A\y

所以MKJ_NK,"BM=MN,NK=gBC,BK=；AB,

所讀4BKM@ANKM,所以N8KM=NNKM=90°,

所以48_LMK,叉MK〃BB\,所以AB_L88i,

所以8C,BA,88兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點，BC,BA,為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(0,0,0),Ml,1,0),M(0,1,2),4(0,2,0),

所以麗=(0,1,2),麗=(1,1,0),

設(shè)平面6MN的一個法向量為〃=(x,y,z),

,(n-BM=y4-2z=0,.,

則｛一?令z=l,則＞=-2,x=2,

.n-BN=x4-y=0,

所以平面8MN的一個法向量為〃=(2,-2,1),

又瓦5=(0,2,0),

設(shè)直線48與平面BMN所成角為0,

所以小〃=lc。。（%

所以直線A8與平面8MN所成角的正弦值為|.

考點3求二面角——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

考向1由向量法求二面角的三角函數(shù)值

例?，（2022?新高考II卷）如圖，PO是二棱錐P-ABC的島，PA=PB,AB±AC,

E為PB的中點.

（1）證明：OE〃平面B4C；

⑵若/A8O=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AEd的正弦值.

(1)證明：連接OA,OB,濃題意,OP_L平面A3C,

又OAu平面ABC,OBu平面43C,則。P_LO4,0PJL08,

所以/POA=ZPOB=90°,

又％=PB,OP=OP,則△POAg△POA,

所以O(shè)A=OB,

延長80交AC于點F,又48_LAC,則在尸中，。為85中點，連接PF,

在△P8F中，。，E分別為8F,3P的中點，0'10E//PF,

因為0EQ平面PAC,巴上平面PACt

所以0E〃平面PAC.

(2)解：過點4作4M〃0P,以AB,AC,4M分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

由于P0=3,B4=5,由(1)知。4=。8=4,

又N/WO=/C8O=30°,則AB=4V5,

所以P(2g,2,3),B(4瓜0,()),A(0,0,0),E(3遮，1,^),

設(shè)4C=z,則C(0,r,0),

設(shè)平面AEB的一個法向量為n=(x,yfz),又彳§=(48，0,0),荏=(38，1,

1)?_

n-AB=4y/3x=0,

則一L3則可取〃=(0,3,-2),

n-AE=3嗎+y+]=0,

設(shè)平面人石。的一個法向量為用一(a,b,c),義衣一(0,r,0),AE-(3V3,1,

J_

m?^4C=tb=0,「

則一L3則可取布=(一遮，0,6),

m-AE=3yf3a+b+-c=0,

2

設(shè)銳二面角C-AE-8的平面角為0,則cos0=|cos〈山，〃〉1=|禺4=竺，

I|m||n|I13

所以sin—COS26=￡,即二面角C-AE-B正弦值為葛

解題通法

利用空間向量計算二面角大小的常用方法

(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平

面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大

小.若要求的為兩個平面的夾角，只需寫出在(0,1范圍的一個角即可.

(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂

足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

考向2由二面角求幾何值或參數(shù)值

例目，(2021?新高考I卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面A8QJL平面BCD,

AB=AD,。為8。的中點.

(1)證明：OA1CD；

(2)若△OC。是邊長為1的等邊三角形，點E在棱A。上，DE=2EA,且二面角

E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

(1)證明：因為A8=A。，。為8。的中點，所以。4_L6。.

因為平面平面BCD,平面ABOn平面BCD=BD,OAu平面ABD,所以

OAJ_平面BCD.

因為COu平面BCD,所以O(shè)A_LCZ).

(2)解：以。為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為)，軸、z軸，過點O且垂直

于8。的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)QA=1,則0(0,0,0),8(0,-1,0),

C(y,0),4(0,0,7),D(0,I,0),

所以荏=(0,-1,一力BC=(y,|,0),而=(0,1,-/),荏三通=(0,

I--；)?布=前_布-=(0.J.y).

易知平面BCO的一個法向量為〃=(0,0,1).

---'(b3_0

1nX

設(shè)平面BCE的一個法向量為m=(xty,z),則"-0,即］22^

jn-BE=0,I-y+—z=0.

133

不妨取則y=—1,z=:,即機=(遍，-1,：).

m〉尸黯=普亭解得

因為二面角E-8GO的大小為45。，所以|cos

7=1(負(fù)值已舍去).

由OB=OC=OO=1,得BC_LCO,所以BC=g,

所以三棱錐A-BCD的體積為二X工X1XVJX1=—.

326

解題通法

在已知二面角的條件下求幾何量或參數(shù)的值時，注意用好二面角的定義，求出相

關(guān)的量，或由此寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，為用向量法求解問題做好必要的條件準(zhǔn)備.

「多維訓(xùn)練」

如圖，A8為圓0的直徑，點、E,尸在圓。上，AI3//EF,矩形A8C。和圓。所

在的平面互相垂直，已知A8=2,EF=\.

(I)求證：平面DAfJ_平面C5尸;

(2)當(dāng)AD的長為何值時，，二面角D-FC-B的平面角的大小為60°?

(I)證明：因為平面A6C7?_L平面ABEF,CBA.AB,平面46￡7Tl平面ABCD=AB,

C8u平面ABCO,所以C3_L平面ABEF因為AR=平面A8E￡所以C8_LAE

又因為AB為圓的直徑，所以/8_LAF.又C8DB尸=8,所以AE_L平面C8F.

因為A/u平面D4F,所以平面DAF1平面CBF.

(2)解：設(shè)即，CO的中點分別為G,H,以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系

（如圖）,設(shè)AQ=/,

則。(1,0,/),c(-l,0,/),4(1,0,0),B(—l,0,0),FQ,弓，0),所以

CD=(2,0,0),而=&,-y,t).

設(shè)平面DCF的法向量為為=(x,y,z),則?而=0,?FD=0,即

2x=0,

i近取z=V5,則%=(0,2r,V3).

-x-—y+tz=0,

由⑴可知"_L平面C8E取平面C區(qū)的一個法向量九2=而=(-]T-0)，

所以cos6()o=獸!=，解得/=在，所以線,段A。的長為在時，二面憊D-FC-B的

v4t2+344

平面角的大小為60°.

考點4求空間距離問題一綜合性

「典例引領(lǐng)」

例0,(1)已知直三棱柱A5CA1B1G中,AAi=\,AB=4,BC=3,NABC=90°,

則點B到直線AiCi的距點為.

-解析：以8為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

S

則4(4,0,1),Ci(0,3,1),所以直線AG的方向向量為彳忑=(-4,3,0),

而西=(0,3,1),所以點8到直線4G的距離

(2)如圖，已知正方形A8CD的邊長為1,PO_L平面A8CO,且PZ)=1,E,/分

別為A8,BC的中點.

①求點。到平面PE/的距離；

②求直線AC到平面PEF的距離.

解：①以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,OP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則￡)(0,0,0),P((),(),1),A(l,0,0),C(0,1,0),E(l,0),FQ,1,0),

則而=(1,I，-1),丙=(，1,-1).

設(shè)平面PE/7的法向量為〃=(x,y,z),

則P而二°，

In-PF=0,

+1-z=°'即

r+y-z=0,、X=y.

令y=2,則〃=(2,2,3).又而=(0,0,1),

所以點。到平面PEF的距離

/_|和旬_R

一|n|V1717?

②由于E,〃分別是/W,BC的中點，所以

因為ACQ平面PEF,所以AC〃平面PEF,所以點A到平面PEF的距離即為直

線4c到平面PEF的距離.

由于荏=(0,0),又由①知平面PEF的法向量為〃=(2,2,3),

所以點A到平面PEF的距離1=崢4=±=巫，即直線,AC到平面PEF的距離

|n|V1717

為石

解題通法

1.空間距離包括空間內(nèi)任意兩點之間的距離、點到平面的距離、直線與平面的

距離以及兩平行平面之間的距離，其中兩點間的距離可以用向量的模長處理，其

他三種距離的求解都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.

2.用向量法求點面距的步驟：

(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

(2)求點坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點的坐標(biāo).

(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(而，Q內(nèi)兩不共線向量，平面Q的法向量〃).

(4)求距離4=喀1

Ml

「多維訓(xùn)練」

1.在空間直角坐標(biāo)系Ox)，z中，四面體ABC。的頂點坐標(biāo)分別是A(0,0,2),

8(2,2,0),C(l,2,1),D(2,2,2),則點8到平面AC。的距離是()

A.也B.漁

33

C.2D.立

33

A解析：由題意知而=(2,2,0),CD=(I,0,I),而=(0,0,2),設(shè)平面AC。

n

的法向量為〃=(x,yfz),則竺2%+2y0,取戶上則〃=(],—],

.n-CD=x4-z=0,

-I),所以忸;喀=早1=空，即點6到平面ACO的距離是2.故選A.

|n|V333

2.若正方體ABCD-MB\C\D\的棱長為a,則平面AB\D\與平面BDC\的距離為

()

A.\[2aB.y/3a

C.—aD.—a

33

D解析：建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

則A3,0,0),0(0,0,0),C1(O,a,a),Di(0,0,〃)，Bi(afa,?),

設(shè)〃=(x,yfz)為平面ABDi的法向量,

則［n?0=a(y+z)=。,得卜一取三,則…，f1)為平面

AB\D\的一個法向量.

又因為ADi〃BCi,AB\//DC\tAD}C\ABi=Af

DC\QBC\=C\,所以平面ABOi〃平面BOG.

所以平面ABO］與平而BDC\的距離可轉(zhuǎn)化為點G到平面AB。1的距離d.

因為瓦瓦=3,(),()),平面ABiOi的法向量為〃=(1,-1,1),

叵%［=則=更

所以d=|n|V530

、一題N解?深化綜合提“素養(yǎng)”/

「試逛呈現(xiàn)」

如圖，在四棱錐S-A8C。中，AB//CD,BC1CD,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB

=BC=2,CD=SD=\.

(1)證明：SO_L平面SAB：

(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值的大小.

［四字程序］

讀想算思

AB//CD,

多方法、多角度

BC工CD,

定義法，借助點勾股定理、余弦對立體幾何知識

叢SAB為等邊三

到平面的距離，定理,法向量求的掌握及空間向

角形，

法向量解量在解決立體幾

AB=BC=2,CD

何中的應(yīng)用

=SD=\

「一題多解」

法

思路參考：利用定義尋找圾面角的位置直接求解.

(1)證明：取A8的中點為點￡,連接。E,則四邊形8CDE為矩形，DE=BC=2.

連接SE,則SEJLAB,SE=V3.

又SD=1,故DE2=SP+SD2,所以NOSE為直角.由ABIDE,AB1SE,DECSE

=E,

得A8_L平面SDE,

所以A8J_SD,S力與兩條相交直線A伉SE都垂直，所以SOJ■平面SAB.

(2)解：因為CD〃AB,所以CD與平面SBC所成的角印為A8與平面SBC所成

的角.如圖，取SC的中點M,連接8M,DM.

因為QS=QC,BS=BC,所以SOW,SC上BM.因為DMCBM=M,所以SC

J_平面BDM,

所以平面平面SBC.

作力N_LBM,垂足為點M則。N_L平面SBC.因為。MC8M=M,連接CM

CN為CO在平面S8C上的射影，NOCN即為C。與平面SBC所成的角.

因為SO_LA8,CD//AB,

所以SO_LCO,所以|SC]=A/SZ)2+CD?=&.,

[8M]=、8c2_CM?=J22_停y=亨

BD2+BM2-DM2

NDBM=------------

cos2BDBM

尸，倒蜴[8

2x帚孚歷'

?CBM畸，DNfx焉*

坦

sinZDC^=-

所以AB與平面SBC所成角的正弦值為手.

思路參考：借助點到平面的距離間接求解.

⑴證明：同解法1.

(2)ft?：VA-SBC=Vs-ABC,

過點S作SF1.DE,則SFL平面ABCD.

⑼一~而一T-

Vs-ABC=^S^\BC,\SF]

=5X^AB\?\BC\?\SF]

=2XLX2X2X3=它.

3223

設(shè)4到平面SBC的距離為〃，取SC中點M,連接8M.

因為SOJ_A8,CD//AB,SD±CD,|SQ=>JSD2+CD2=V2,

\BM\=y/BC2-CM2=J22-(y)2=?,

VA-SBC=^SASBC,h

=jx,SC]?\BM\?h

="2x&x坦X仁馬.

3226

因為屯h=所以〃=正乂==2

633v77

即A到平面SBC6勺距離為學(xué).

又因為A8=2,設(shè)A8與平面S8C所成的角為a,

所以48與平面SBC所成藥的正弦值為子.

法」3?

思路參考：建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解.

⑴證明：同解法1.

(2)解：如圖，以C為坐標(biāo)原點，CD,CB所在直線分別為x軸、)，軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

則。(1,0,0),A(2,2,0),3(0,2,0).

因為平面SOE_L平面ABCD,

8=1,DF=1,SF=*所以S(I,I，I).

設(shè)平面SBC的法向量為n=(x,y,z),

麗=(1，T)?而=(。，2,0),

(x=V+旦=0「

故2，2'取2=2,得X=一百，)，=0,所以平面S8c的一個法向量

2y=0.

為〃=(一75,0,2).

又麗=(-2,0,0),所以|cos〈而，〃〉

故AB與平面SBC所成角的正弦值為亨.

法

思路參考：變換建系的方法，空間直角坐標(biāo)系中各點坐標(biāo)會發(fā)生變化，但求角的

方法是不變的.

(1)證明：同解法1.

(2)解：如圖，以。為坐標(biāo)原點，射線DE為x軸正半結(jié)，射線。C為y軸正半

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則￡)(0,0,0),A(2,-1,0),BQ,1,0),C(0,1,0).

因為平面SDE1.平面A8CD,點S在xOz平面內(nèi)，DF=1,Sr=g,所以S&0,

T)-

設(shè)平面SBC的法向量為〃=(x,z),

尿=(一|,-1,y),而=(2,0,0),

故―/_'+三2=0,￡又7=2,得尸0,y=V3.

-2x=0.

所以平面S8C的一個法向量為〃=(0,V3,2).

又刀=(0,2,0),

|45n|2>/3

所以|cos{AB,〃〉|=

|AB||n|2X夕7

故48與平面S8C所成角的正弦值為十.

「思維升華」

1.本題考查線面角的運算，解法靈活，基本解題策略一種是利用定義尋找線面

角，然后通過解三角形計算，另一種是建立空間直角坐標(biāo)系，通過法向量與方向

向量夾角處理.

2.基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題需要熟練掌握線面角的尋衣以及空間向量求線面角

的方法，具有良好的運算求解能力、空間想象能力.本題的解答過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

探索的魅力.

3.基于高考數(shù)學(xué)評價體系，解答本題的過程中，通過不同的思路引導(dǎo)，將求線

面角轉(zhuǎn)化為最基本的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性；解題過程中知識的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了

綜合性.

「類題試練」

如圖1,四邊形A8CO為菱形，且NA=60。，48=2,石為邊48的中點.現(xiàn)將四

邊形EBCD沿DE折起至EBHD,如圖2.若二面角A-DE-H的大小為60°,求平

面ABH與平面ADE夾角的余弦值.

解：(方法一)分別取AE,A。的中點。，K,連接OK,OB.由。E_L平面ABE,

可知NAEB為二面旃A-OE-H的平面角，即有NAEB=6()。.

因為。為AE的中點，所以BO_LAE.因為BO_LZ)E,所以8O_L平面AOE,則以

點O為坐標(biāo)原點，分別以直線KO,OE,08為x軸、)，軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系.

由條件,易得40,J0),8(0,0.y),D(-V3.i,0),E(0,0).

再設(shè)H(x。,yo,zo),而EO=(-0,0),

y()~~。).

DH=(^X0+V5,,z

由EDLDH,得前?麗=0,得M)=一次.

」(7/8=2,

由

[HD=2f

可得H十%+3一筑;4，

22

[(/+V3)+(y0-j)+^=4.

將xo=一百代入，可得和=-g,zo=V5,即”(一百，百)，則麗=(一百,

—

~,AU=（—收,0,V3）.

設(shè)平面A8”法向量為〃1=（》，y\,Z1）,

（—V3x1+V3z1-0,

貝“■-岳］yi+苧zi=0,

即［乃=Yxi，

lz1=xv

令Xl=l,得），1=—x/5,Z=I,即〃1=（1,—8,1）.

而平面AOE的一個法向量為〃2=（0,0,I）.

于是平面ABH與平面ADE的夾角6的余弦值為cos|

（方法二）延長H8,DE交干點、L,連接AL,取AE的中點0,過點。作OM_LAL

于點M,連接M8,如圖.

由OEJ_平面A8E,可知NAE8為二面角A-OE-"的一個平面角，即有NAE8=

60°.

因為。為AE的中點,所以BO_LAE.

因為所以30_L平面AOE,即BO_LAL且BO_LMO.

又因為OM_LAL,所以4_L平面8OM,即為平面AQE與平面AB”的

夾角的一個平面角.

而B0=*4。三.易得￡E=V5,而AE=1,ZAEL=90°,所以NE4L=60。，

則MO=—.

4

由勾股定理，得MB=J（剪+㈢2=乎,

則cosZBMO=—=—

MB5t

即平面ADE與平面A8”的夾角的余弦值為

(方法三)延長”&DE交于點、L,連接4L,過點。作。。〃4石且與L4的延長線

交于點。，連接Q".分別取QQ,AE中點M,0,連接AM,80.再取MO中點

。'，連接。。'.

因為QO〃AE,HD//BEJLQD,“。為平面”。。內(nèi)兩條相交直線，AEfBE為

平面ABE內(nèi)兩條相交直線，所以平面HQQ〃平面4AE.

因為DE_L平面a所以。七_1_平面，。Q,

即NHDQ為二面角A-OE-H的一個平面角，即有N"O0=6O0.

由HD=2,得HM=?MD=1,則

因為M為QO中點，所以

因為“M_LOE,所以M〃_L平面AQE

以點0為坐標(biāo)原點，分別以直線。'0,OE,OB為x,八z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖.

易得A(O,—1,o),B(O,o,巧，”(一V5,—1,V5),

則有荏=(0,y),而=(一直y).

設(shè)平面A8”的一個法向量為〃i=(xi,yi,zi),

7y1+Tzi=°，

(-V3%i--%+

即仍=~Zi，

Zi=

令xi=l,得yi=—>/5,z=l,

即〃i=(l,-V3,I).

而平面AOE的一個法向量為〃2=(0,0,1).

于是平面ABH與平面ADE的夾甬。的余弦值為cos0=…|=|二_|=”

InJInzlIllxVsl5"

課時質(zhì)量評價（三十八）

A組全考點鞏固練

1.在三棱錐A-8C。中，平面A8。與平面BCD的法向量分別為〃1，〃2.若〈川,

〃2〉=；,則二面角A-3O-C的大小為（）

A.工B.巴

33

C.三或gD.%或;

C解析：因為二面角的范圍是［0,7T］,且〈〃|,W2>=p所以二面角A-8O-C的

大小為g或1?故選c.

2.如圖，點A,B,C分別在空間直角坐標(biāo)系Qxyz的三條坐標(biāo)軸上，0?=（0,

0,2）,平面A8C的法向量為〃=（2,1,2）,設(shè)二面角C48-0的大小為優(yōu)則

cos0等于（）

「2c2

C.-D.--

33

C解析：由題意可知，平面A8O的一個法向量為近=（0,0,2）,由圖可知，二

面角C-A8-0為銳角，由空間向量的結(jié)論可知，cos0=［紇。=里=』

|0C||n|2x33

3.如圖，在長方體中,AD=AAi=\f38=3,3為線段48上

一點，且AE=/&則。CI與平面DEC所成角的正弦值為（）

AEB

7D.4

A解析：如圖，以。為坐標(biāo)原點，D4,DC,所在直線分別為x軸、y軸、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則G(0,3,I),Di(O,0,1),E(l,1,0),C(0,3,0),所以西=(O,3,1),

D^E=(\,1,-1),D^C=(O,3,-1).設(shè)平面DiKC的法向量為〃=(JV,*z),

則『?竺=0,即『+y—z=0,取產(chǎn)］，得〃=(2,i,3).所以cos〈國,

(n?C=0,(3y—z=0,

〃〉=離臺=察，所以DG與平面。歸。所成的角的正弦值為號.

|DCi||n|3535

4.在正方體ABCD-AIBICIDI中,點E為的中點,貝！平面4ED與平面A3CD

所成的銳二面角的余弦值為（）

A.-B.-

23

C.叵D.也

32

B解析：以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)ryz,

設(shè)棱長為1,則4(0,0,1),E(l,0,|),D(0,1,0),所以初=(0,I,-1),

ArE=（1,0,一習(xí)，設(shè)平面A\ED的一個法向量為HI=（1,y,z）,則

zii?AD=0,y—z=0,(y=2,..<

1_11_即i所以1所以〃i=(l,2,2).又平面ABCD

rii-AXE=0,(1--z=0,(z=2,

的一個法向量為〃2=(0,0,I),所以COS<Wl,〃2〉==一=2.即平面AIEO與平

3x13

面ABCD所成的說二面角妁余弦值為之

3

5.在直三棱柱48C-A山iG中，A4i=2,二面角(8-44i?G)的大小為60。，點8

到平面ACCxAx的距離為遙，點C到平面ABB^A^的距離為273,則直線BG與

直線AB所成角的正切值為（）

A.V7B.V6

C.V5D.2

A解析：由題意可知，N8AC=60°,點〃到平面ACG4的距離為百，點C到

平面488IAI的距離為26,所以在三角形48c中，A8=2,AC=4,BC=2同

ZABC=90°,則彳瓦?西=（西一瓦5）?（西+西）=4,

|福|=2a,|跖|=4,cos〈南，西〉=普粵=理，故urn〈砧，西〉

|481||8句4

5

6.（多選題）設(shè)三棱錐V-4BC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，產(chǎn)是棱南上的

點（不含端點）.記直線P8與直線AC所成的角為a,直線P8與平面A8C所成的

角為仇二面角P-AC8的平面角為則呢夕，y大小關(guān)系正確的是（）

A.a>pB.a=p

C.y>