《熱學（第二版）》楊體強編-李椿 第4章 氣體內的輸運過程學習資料

第四章

氣體內的輸運過程1前兩章所討論的都是氣體在平衡態(tài)下的性質，實際上許多問題都牽涉到氣體在非平衡態(tài)下的變化過程。黏性過程（現(xiàn)象）熱傳導過程（現(xiàn)象）擴散過程（現(xiàn)象）輸運過程（現(xiàn)象）例如，當氣體各處密度不均勻時發(fā)生的擴散過程，溫度不均勻時發(fā)生的熱傳導過程，以及各層流速不同時發(fā)生的黏性現(xiàn)象就是典型的由非平衡態(tài)趨向平衡態(tài)的變化過程。這三種過程統(tǒng)稱為輸運過程。2一．分子的平均自由程和碰撞頻率§4.1氣體分子的平均自由程在室溫下，氣體分子平均以幾百米每秒的速率運動著。實際情況并不如此，氣體的混合(擴散過程)進行得相當慢，氣體的溫度趨于均勻(熱傳導過程)也需要一定的時間。為什么會出現(xiàn)這種矛盾呢？這是由于分子在由一處移至另一處的過程中，將不斷地與其他分子碰撞，結果只能沿著迂迥的折線前進。分子碰撞3初步理論，視分子為鋼球，兩個分子之間最小距離的平均值視為分子的直徑，叫做分子的有效直徑。一個分子在兩次連續(xù)碰撞間自由運動的平均路程——平均自由程。單位時間內一個分子與其他分子碰撞的平均次數——平均碰撞頻率。平均碰撞頻率和平均自由程的計算4如果用表示分子的平均速率，則在任意一段時間內，分子所通過的路程為，而分子的碰撞次數也就是整個路程被折成的段數為，因此根據定義，平均自由程為平均自由程和碰撞頻率的大小是由氣體的性質和狀態(tài)決定的平均自由程平均碰撞頻率對于化學純氣體，分子A與其他分子發(fā)生碰撞時,可假定其他分子不動，而分子A以平均相對速率運動。

假定分子的有效直徑為d，當兩分子的中心距離小于或等于d時將發(fā)生碰撞。

5為了確定在一段時間內有多少個分子與A相碰，可設想以A的中心運動軌跡為軸線，以分子的有效直徑d為半徑作一個曲折的圓柱體。這樣，凡是中心在此圓柱體內的分子都會與A相碰。稱為分子碰撞截面。

圓柱體的截面積在時間內，A所經過的路程為

，相應的圓柱體的體積，如果以n表示氣體單位體積內的分子數,則在此圓柱體內的總分子數，亦即A與其他分子的碰撞次數為，因比碰撞頻率為碰撞實驗6平均相對速率和平均速率的關系為代入上式，平均碰撞頻率為說明平均自由程與分子有效直徑d的平方及單位體積內的分子數n

成反比，而與平均速率無關。平均自由程證明這說明，當溫度恒定時，平均自由程與壓強成反比。7[例題]

計算空氣分子在標準狀態(tài)下的平均自由程和碰撞頻率，取分子的有效直徑d=3.5×10–10m。已知空氣的平均相對分子質量為29。[解]

已知T=273K，p=1.0atm

1.01×105N/m2，d=3.5×10–10m，k=1.38×10–23J/K，代入即得在標準狀態(tài)下，空氣分子的平均自由程約為其有效直徑d的200倍。8空氣分子的碰撞頻率為平均地講，每個分子每秒與其他分子碰撞65億次。已知空氣的平均摩爾質量為29×10-3kg/mol，代入

可求出空氣分子在標準狀態(tài)下的平均速率為9二、分子按自由程的分布xyz0xx+dx0tt+dtN0

NN+dN分子在任意兩次連續(xù)碰撞之間所通過的自由程有長有短。有的比平均自由程長，有的比平均自由程短。設想在某一時刻，考慮一組分子，共N0個。它們在以后的運動中將與組外的其他分子相碰，每發(fā)生一次碰撞，這組的分子就減少一個。在全部分子中，自由程介于任一給定長度區(qū)間內的分子有多少？研究分于按自由程的分布。設這組分子通過路程x時，還剩N個分子。在下段路程dx上又減少了dN個。10因此，分子數的減少量為分子在單位長度的路程上，每個分子平均碰撞次；在長度為dx的路程上，每個分子平均碰撞次；N個分子在dx長的路徑上平均應碰撞次；或積分上式得xyz0xx+dx0tt+dtN0

NN+dN11C為積分常數。或分子按自由程分布規(guī)律氣體分子行進到x處未被碰撞的分子數占總分子數的比率——概率12[例題]

在N0個分子中，自由程大于和小于平均自由程的分子各有多少？[解]N表示在N0個分子中，自由程大于平均自由程的分子，所以在N0個分子中，自由程小于平均自由程的分子為13一、黏性現(xiàn)象的宏觀規(guī)律§4.2輸運過程的宏觀規(guī)律當氣體各層的流速不同時，則通過任一平行于流速的截面，相鄰兩部分氣體將平行于截面互施作用力；力的作用使流動慢的氣層加速，使流動快的氣層減速。A部將施于B部一平行于y軸負方向的力，B部施于A部一大小相同方向相反的力。14實驗結果表明，如以F表示A、B兩部分相互作用的黏性力的大小，以dS所取面積，表示截面所在處的速度梯度，則它與氣體的性質和狀態(tài)有關。式中的比例系數叫做氣體的黏度。速度單位空間變化量牛頓黏性定律15黏性力的作用使B部的流動動量減小，使A部的流動動量加大，負號表示動量是沿著流速減小的方向輸運的。0uu=0=uOu0zz0uu=0=uOu0z-F-F0uu=0uu=0=u0=uOu=u(z)如以dk表示在一段時間dt內通過截面積dS沿z軸正方向輸運的動量。根據動量定理dk=Fdt16當氣體內各處的溫度不均勻時，就會有熱量從溫度較高處傳遞到溫度較低處，這種現(xiàn)象稱為熱傳導現(xiàn)象。

二熱傳導現(xiàn)象的宏觀規(guī)律設溫度沿z軸正方向逐漸升高。表示截面dS所在處的溫度梯度在z＝z0處垂直于z軸取一截面dS將氣體分成A、B兩部分，熱量將通過dS由B部傳遞到A部。溫度單位空間變化量dSOTdQT=T2T=T10zOTzT=T2T=T10z0z17式中的比例系數叫氣體的導熱系數。傅里葉定律導熱系數的大小表征了導熱過程的快慢。導熱系數與流體性質及狀態(tài)有關。負號“－”表示熱量轉移沿溫度小的方向進行。則熱傳導的基本規(guī)律為dQ表示在dt時間內，通過dS面沿z軸正方向傳遞的熱量，dSOTdQT=T2T=T10zOTzT=T2T=T10z0z18討論純擴散。

混合氣體中，某種氣體的密度不均勻時，氣體從密度高的地方遷移到數密度低的地方的現(xiàn)象稱為擴散。兩種分子組成的混合氣體，在保持溫度和總壓強處處均勻的情況下，發(fā)生單純的擴散過程。設氣體密度沿z軸正方向逐漸加大。在z＝z0處垂直于z軸取一截面dS將氣體分成A、B兩部分。截面dS所在處的質量密度梯度單位空間分子質量變化量Oz0zOdm0z0zdSAB三、擴散現(xiàn)象的宏觀規(guī)律擴散實驗19氣體通過dS由B部擴散到A部。在dt時間內，穿過dS的氣體質量為D為擴散系數單位是m2?s-1擴散系數的大小表征了擴散過程的快慢。擴散系數與流體性質及狀態(tài)有關。負號“－”表示質量遷移沿密度小的方向進行。斐克定律Oz0zOdm0z0zdSAB20§4.3輸運過程的微觀解釋對氣體中的輸運現(xiàn)象作微觀解釋的兩個出發(fā)點（1）氣體必須足夠稀薄，即滿足條件是氣體分子的平均自由程，而d是分子的有效直徑。氣體中主要發(fā)生的是兩個分子間的碰撞，發(fā)生三個分子間碰撞的機會小得可以忽略?；趦审w碰撞得到的計算分子平均自由程的公式有效。另一方面，氣體又不能太稀薄，要求在處于非平衡態(tài)氣體中的任意一個小體積元滿足宏觀小，微觀大的條件，即從宏觀看它很小，它滿足L是被討論的氣體的容器的特征線度21從微觀看它卻很大,它滿足，使得在中仍包含有大量的氣體分子，統(tǒng)計規(guī)律性仍起作用。所以，要求氣體滿足條件：(2)所討論的輸運過程都是較簡單的近平衡非平衡過程，即局域平衡的假設。但對于滿足條件的氣體，在宏觀小微觀大的體積元中，仍然包含大量的氣體分子，這些氣體分子之間發(fā)生頻繁的碰撞，故在確定的時間尺度上，雖然整個氣體還未達到平衡態(tài)，但可認為中的氣體已接近平衡態(tài)，故仍可用確定的狀態(tài)參量溫度T，分子數密度n和宏觀運動速度來描述它中的氣體的狀態(tài)；22在局域平衡假設基礎上得到的結果表明，只要宏觀量溫度、速度、分子數密度在空間變化率（梯度）不太大，此假設即能成立，并導致符合實驗的結論。

宏觀量溫度、速度、分子數密度在空間變化率不太大的標準是（包科達，中國科學，1979（4）：422-426）對于整個處于非平衡態(tài)的氣體可用在空間和時間里都變化的狀態(tài)參量和來描述和確定它的狀態(tài)。23

黏性現(xiàn)象——速度分布不均勻引起的動量傳遞，形成動量，即作用力。決定輸運過程兩個基本因數是：分子熱運動與分子的碰撞！

熱傳導現(xiàn)象——溫度分布不均勻引起的熱量傳遞，形成熱流。擴散現(xiàn)象——密度分布不均勻引起的質量傳遞，形成質量流。輸運現(xiàn)象就是因某個宏觀參量分布不均勻引起相應物理量遷移．形成某種“流”。24一、黏性現(xiàn)象的微觀解釋從分子動理論的觀點看，當氣體流動時，每個分子除了具有熱運動動量外，還附加有定向運動動量。用m表示分子的質量，u表示氣體的流速，則每個分子的定向運動動量為mu。設氣體的流速u沿z

軸的正方向增大截面dS以下A部分子的定向動量小，截面以上B部分子的定向動量大。

6n6ndSB

A

25由于熱運動，A、B兩部分的分子不斷地交換，A部分子帶著較小的定向動量轉移到B部，B部分子帶著較大的定向動量轉移到A部。結果A部總的流動動量增加，B部的減小。其效果在宏觀上就相當于A、B兩部分互施黏性力，因此黏性現(xiàn)象是由于氣體內定向動量輸運的結果。由于氣體各部分具有相同的溫度和分子數密度,所以,在這段時間內有同樣多的分子由B部移到A部。即A、B兩部分交換的分子數相同。

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A

以dS為底、為高作一柱體，在dt時間內穿過dS的分子盡在此柱體內，其數目為26用dk表示交換一對分子沿z鈾正方向輸運的動量，則dk＝(A部分子的定向動量)-(B部分子的定向動量)在輸運過程的簡單理論中，解決分子帶多大定向動量的問題依靠一個基本的簡化假設：分子受一次碰撞就被完全“同化”。即當任一分子在運動過程中與某一氣層中的其他分子發(fā)生碰撞時，它就舍棄掉原來的定向動量，而獲得受碰處的定向動量。根據這個假沒，可以認為A、B兩部分所交換的分子都具有通過dS面前最后一次受碰處的定向動量。各個分子通過dS面前最后一次受碰的位置是不相同的，但就大量分子的平均效果來講，可認為分子最后一次受碰處與dS面的距離為平均自由程，因此27因為平均自由程很小所以時間dt內通過dS面沿z軸正方向輸運的總動量28將上式與牛頓黏性定律比較得黏度這是從分子動理論導出的結果，由此看出：29二、熱傳導現(xiàn)象的微觀解釋從分子動理論的觀點看，A部的溫度低，分子的平均熱運動能量??；B部的溫度高，分子的平均熱運動能量大。由于分子熱運動，A、B兩部分不斷交換分子，結果使一部分熱運動能量從B部輸運到A部，形成宏觀上熱量的傳遞。在溫度差不很大的情況下，可近似地認為時間dt內通過dS面，A、B兩部分交換的分子對數為

6n6ndSB

A

30根據能量均分定理，A部分子的平均熱運動能量B部分子的平均熱運動能量每交換一對分子，沿z軸正方向輸運的能量為時間dt內通過dS面沿z軸正方向輸運的總能量，即傳導的熱量為31用溫度梯度來表示溫度差，則有因此將上式與傅里葉定律比較得導熱系數因氣體定容熱容為比定容熱容為所以32三、擴散現(xiàn)象的微觀解釋從分子動理論的觀點看，A部的密度小，B部的密度大。由于分子熱運動，由A部轉移到B部的分子少，而由B部轉移到A部的分子多，形成宏觀上質量的輸運。時間dt內通過dS面，由A轉移到B部的分子數為時間dt內通過dS面，由B轉移到A部的分子數為

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A

33時間dt內通過dS面沿z軸正方向輸運的氣體質量為將上式與斐克定律比較得擴散系數34四、理論結果與實驗的比較選壓強P和溫度T為獨立變量，因代入35得擴散系數D與p或n成反比。結論最初由麥克斯韋從理論上推出。麥克斯韋、邁耶等曾在幾個mmHg到幾個atm的壓強范圍內做實驗，證實了這個推論，對氣體分子動理論的建立起了重要作用。從以上三式可以看出，在一定的溫度下，黏度和導熱系數與壓強p或單位體積內的分子數n無關；36和與壓強無關的結論可以這樣理解：當p

降低時，n減少。通過dS面兩邊交換的分子對數減少，但同時，分子的平均自由程加大，兩邊的分子能夠從相距更遠的氣層無碰撞地通過dS面。這兩種相反的作用，結果和都與p無關。在一定的溫度下，D

與p成反比的推論也同樣可由分子熱運動和分子間碰撞所起的作用予以解釋。得37在一定的壓強下，和都隨溫度升高而增加。實驗結果得38三個系數之間的關系

實驗結果是

理論與實驗差異原因：

理論中把分子看成剛球，認為它們的碰撞截面不隨T改變。這是與實際不盡相符的。未考慮分子按速率的分布，認為所有的分子都以平均速率運動，具有相同的自由程，認為分子受到一次碰撞就被完全“同化”等，所有這些都是與實際情況有出入的。39[例題]

試估算在150C時氮氣的黏性系數，氮分子的有效直徑d=3.8×10-10m，已知氮的相對分子量為28。[解]根據所以氮的質量為將代入上式，得實驗測得在150C

時氮氣的黏性系數為理論值與實驗值的數量級相同。對于導熱系數和擴