貴州省安順市2025屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)安順市2025屆高三年級(jí)第二次監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)2024年11月本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時(shí)間為120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用鋼筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．請(qǐng)保持答題卡平整，不能折疊．考試結(jié)束后，監(jiān)考老師將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出結(jié)果，找到的虛部即可.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?故選：A.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合，再根據(jù)交集的運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，又因?yàn)?，所?故選：C3.已知，則（）A3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系化為，即可求解.【詳解】由，得，分式分子分母同除以，得：，又因?yàn)?，所以，，所?故選：D4.已知樣本數(shù)據(jù)：，，a，，的方差為0，則的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方差的意義可得，利用不等式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)：，，a，，的方差為0，由方差的意義可知：，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.5.函數(shù)的部分圖像如圖（粗實(shí)曲線），則（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)圖像知道定義域，從而求出參數(shù)的值，再代入點(diǎn)即可求出的值.【詳解】由函數(shù)圖像可知，函數(shù)定義域，即的解集為，也就是即的解為,∴，∴，∴，∵函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴.故選：B.6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)前項(xiàng)和公式得到通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求得最終結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即，因?yàn)?，所以，根?jù)裂項(xiàng)相消法，則，故選：A.7.近年來(lái)，在國(guó)家一系列政策舉措的支持下，新能源車的發(fā)展迅猛，同時(shí)給新型動(dòng)力電池的發(fā)展帶來(lái)了巨大機(jī)遇.有關(guān)資料顯示，某品牌蓄電池的容量C（單位：），放電時(shí)間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間存在關(guān)系，其中k為常數(shù).在電池容量不變的條件下，當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，.則電池的容量C為（）A.6600 B.6800 C.7000 D.7200【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程組可求得結(jié)果.詳解】根據(jù)題意可得，即，化簡(jiǎn)得，所以，則，故選：D.8.已知A，F(xiàn)分別為雙曲線C：（，）的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).以F為圓心且與C的漸近線相切的圓F經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn).記C的兩條漸近線的夾角為.則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切和過(guò)OA的中點(diǎn)得，又，求出，根據(jù)倍角公式可得，然后求出結(jié)合直線夾角定義即可得出答案【詳解】不妨設(shè)漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線距離為，又圓F與漸近線相切，所以圓F半徑r等于焦點(diǎn)到漸近線距離，即,又圓F經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，所以，又，所以，設(shè)圓F與兩切線的切點(diǎn)分別為M、N，所以，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得，所以，又，所以是銳角，且，所以，故，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先利用點(diǎn)到直線的距離和直線與圓相切找出a、b、c的關(guān)系，然后放在三角形中求出即可.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，正方形的是邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量逐項(xiàng)判斷【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，則,所以，故A錯(cuò)，，故B對(duì)；，故C對(duì)；，故D對(duì)；故選：BCD10.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.的圖像的一條對(duì)稱軸C.線段（）與的圖像圍成的圖形面積為D.在區(qū)間上的零點(diǎn)之和為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性A；根據(jù)對(duì)稱軸定義判斷B；數(shù)形結(jié)合和對(duì)稱性判斷C；求出零點(diǎn)判斷D；【詳解】因?yàn)?，此時(shí)取得最小值，又，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故A錯(cuò)；故B對(duì)；如圖根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知，線段（）與的圖像圍成的圖形面積即為長(zhǎng)方形的面積，即，故C錯(cuò)；令，令，所以，所以在區(qū)間上的零點(diǎn)為，所以在區(qū)間上的零點(diǎn)之和為，故D對(duì)；故選：BD.11.如圖，圓柱的上下底面圓周與正方體上下底面的正方形相切，平面與圓柱側(cè)面的交線為橢圓E，與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，則（）A.圓柱體積與正方形體積之比為 B.圓柱的母線與所成的角為C.橢圓E的離心率 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用體積公式求解即可判斷A；利用直線所成的角，在直角三角形中求解即可判斷B；根據(jù)離心率的定義求解判斷C；根據(jù)圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式求解判斷D；【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的體積為由題意得，圓柱的上下底面半徑為，高，所以圓柱的體積，所以，故A對(duì)；因?yàn)閳A柱上下底面圓周與正方體上下底面的正方形相切，所以圓柱的母線平行于正方體的棱，所以即是圓柱的母線與所成的角，平面，又平面，所以,在中，，所以，故B錯(cuò)；由題意得，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，所以焦距，所以橢圓E的離心率，故C對(duì)；如圖，建立直角坐標(biāo)系，所以橢圓的方程式為，所以，即直線MN的方程式為，由或，即，所以，而.所以，故D對(duì)；故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若的展開式中的系數(shù)為160，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)的展開式中含是第項(xiàng)，則，由，由.故答案為：213.已知圓O：與圓C關(guān)于直線l：對(duì)稱，則圓O與圓C的一條公切線方程為______（寫出其中一條公切線方程即可）.【答案】或或或（寫出其中一個(gè)即可）【解析】【分析】若任意兩個(gè)圓關(guān)于某直線對(duì)稱，那么這兩個(gè)圓的其中一條公切線與兩個(gè)圓心連線平行且距離為半徑，再代入本題條件，求出圓心連線的直線方程，求出其中一條公切線方程.因?yàn)閳A與對(duì)稱相離，所以兩對(duì)稱圓一定相離，由對(duì)稱性得到切線與對(duì)稱性相較于同一點(diǎn)，通過(guò)線段長(zhǎng)求出切線的傾斜角，從而寫出切線方程.【詳解】如圖：任意圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，為圓與圓的一條公切線，∵圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∵為圓與圓的公切線，∴，∴，由圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，∴圓與圓的半徑相等，即，∴，且到的距離為，∵，∴，，∴，設(shè)其中一條公切線，則，即，故圓與圓的公切線.∵圓心到直線的距離，∴圓與圓相離，∴圓與圓有4條公切線，由對(duì)稱性可知公切線與交于一點(diǎn)，設(shè)與圓相切與點(diǎn)，則，∵，，∴，∵，∴軸，軸，∴故圓與圓的公切線或.故答案為：或或或（寫出其中一個(gè)即可）.14.給定素?cái)?shù)（僅有1與本身是約數(shù)的數(shù)）p，若（即，且.其意為整除n，且不能整除n），記為，稱是給定素?cái)?shù)p的一個(gè)數(shù)論函數(shù).則___________.當(dāng)a，，且，則形如所有結(jié)果形成的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】把寫成，根據(jù)題意即可求解；根據(jù)題意確定的取值，由此即可確定的所有取值，將數(shù)據(jù)從小到大排序，計(jì)算，找到數(shù)據(jù)中的第個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以整除，且不能整除，所以根?jù)題意整除，且不能整除，因?yàn)?，所以的可能取值為：、、，所以，所以根?jù)已知條件有：、、、、、六種可能，從小到大排序?yàn)?、、、、、，因?yàn)椋詷颖緮?shù)據(jù)的80%分位數(shù)是第個(gè)數(shù).故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)新定義的題型要注意一下幾點(diǎn)：（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點(diǎn)（2）利用好定義所給的表達(dá)式以及相關(guān)的條件（3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.四、解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.的內(nèi)角A、B、C滿足，且.（1）求A的大??；（2）若，，求的長(zhǎng)度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到，再由求解；（2）在中，利用正弦定理求得AB，再由，得到，然后在中，利用余弦定理求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閮?nèi)角A、B、C滿足，，所以，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】在中，由正弦定理得：，則，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，解?16.已知函數(shù)圖像的一條切線方程是.（1）求a的值；（2）當(dāng)，時(shí)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合切線方程得到方程組，解方程組即可求解；（2）根據(jù)已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，由此確定的最小值，由此即可求證不等式.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榍芯€方程為，設(shè)切點(diǎn)為，由，有，所以，解得，，所以a的值為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以不等式，等價(jià)于，令，則，令，則，由此可知：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，因此，，即，所以.17.如圖1，在平行四邊形中，，，將它沿折起后，到的位置，連接（圖2），使得平面平面.在圖2中完成下列問(wèn)題：（1）證明：.（2）若是中點(diǎn)，過(guò)的平面與平行求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)面面垂直的性質(zhì)得出平面，再根據(jù)線面垂直得到，結(jié)合，即可得到平面，最后利用線面垂直得到線線垂直；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)確定平面，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求解.【小問(wèn)1詳解】過(guò)作，垂足為；因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以，又，所以，又因?yàn)椋?、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?【小問(wèn)2詳解】設(shè)，連接，因?yàn)?，平面，平面平面，所以，由于是中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，由（1）知，根據(jù)題意，，且、平面，所以平面，設(shè)，在中，有，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取、、，則平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則：，所以與平面所成角的正弦值為.18.同學(xué)參加學(xué)校舉行的勵(lì)志訓(xùn)練營(yíng)活動(dòng)，勵(lì)志訓(xùn)練營(yíng)設(shè)置了難度系數(shù)為的項(xiàng)目和難度系數(shù)為的項(xiàng)目供學(xué)生挑戰(zhàn)（），將難度系數(shù)視為挑戰(zhàn)成功的概率，其挑戰(zhàn)規(guī)則如下：①挑戰(zhàn)者從裝有個(gè)標(biāo)記號(hào)和個(gè)標(biāo)記號(hào)且相同規(guī)格小球的袋中任取一球；②挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)的項(xiàng)目與其取出球的記號(hào)相同；③每位挑戰(zhàn)者均有次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)；④挑戰(zhàn)項(xiàng)目與項(xiàng)目成功分別記分與分，失敗均記為分.（1）求同學(xué)挑戰(zhàn)次得分的概率；（2）記同學(xué)得分為：①求的分布列與數(shù)學(xué)期望；②求證：.【答案】（1）；（2）①分布列見解析；；②證明見解析【解析】【分析】（1）同學(xué)挑戰(zhàn)次得分包括挑戰(zhàn)項(xiàng)目得分和挑戰(zhàn)項(xiàng)目得分兩種情況，由互斥事件的概率加法公式即得；（2）①分析得出的可能取值有，利用互斥事件的概率加法公式和獨(dú)立事件的概率乘法公式分別計(jì)算概率寫出分布列，求得數(shù)學(xué)期望；②將的解析式分離常數(shù)，利用不等式的性質(zhì)即可證得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】依題意，同學(xué)挑戰(zhàn)次得分的概率為：；【小問(wèn)2詳解】①因同學(xué)參加了次挑戰(zhàn)，根據(jù)題意知，的可能取值有.則，，，，，則X的分布列為：故數(shù)學(xué)期望為：；②由①已得，，因，則，即.得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于弄清題意，準(zhǔn)確把握隨機(jī)變量在取每個(gè)值時(shí)包括的所有情況，正確求得每個(gè)概率，為后續(xù)寫出分布列，求得期望和證明奠定基礎(chǔ).19.如圖，直線分別與拋物線交于和，與x軸分別交于和，直線與的交點(diǎn)為．（1）當(dāng)為C的焦點(diǎn)F，且直線與x軸垂直時(shí)，．求拋物線C的方程；（2）是否成等比數(shù)列？請(qǐng)給予說(shuō)明；（3）在問(wèn)題（1）的條件下，若，求面積S的最小值.【答案】（1）．（2）成等比數(shù)列．證明見解答．（3）8．【解析】【分析】（1）由題，求出弦長(zhǎng)，即可求出的值；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表