數(shù)學(xué)知識巧解學(xué)案：簡單的三角恒等變換

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學(xué)一、半角的三角函數(shù)1。在倍角公式cos2α=1—2sin2α=2cos2α—1中，以α代替2α，以代替α,將得出sin=±,，，我們稱之為半角公式,它們是用單角的余弦函數(shù)表示半角的弦函數(shù)與切函數(shù)的。其正負(fù)號的選取由所在的象限確定.2。對于半角的切函數(shù)，還可寫成，我們可從同角的三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系出發(fā)，逆用二倍角公式去證明,即.同理，可把的分子、分母同乘以2sin，即可化成.也可從半角的切函數(shù)出發(fā)，把被開方數(shù)轉(zhuǎn)化成一個完全平方的形式，通過開方求值。由于，∴|tan|=。∵sinα=2sincos=2tan·cos2，∴sinα與同號.又∵1+cosα〉0,∴。同理，若把的分子、分母同乘以1—cosα，可轉(zhuǎn)化成.我們也把，稱之為半角公式，它是用單角的正、余弦函數(shù)表示半角的切函數(shù)的。3.對于半角公式,也必須明確“半角”是相對而言，不能認(rèn)為才是半角。如2α是4α的半角、是3α的半角；反之,、2α分別是、α的倍角。正是根據(jù)這個思想，才由二倍角公式得出了半角公式.學(xué)法一得關(guān)于半角正切的三個公式：公式不帶有根號,而且分母為單項式，運用起來特別方便，但要注意它與以下兩個公式：和的使用范圍不完全相同，后兩個公式只要α≠（2k+1)π（k∈Z)，而第一個公式除α≠（2k+1)π(k∈Z）之外,還必須有α≠2kπ（k∈Z）。當(dāng)然，這三個公式可以互化，在使用時要根據(jù)題目中式子的特征靈活選用。誤區(qū)警示當(dāng)所在的象限無法確定時，應(yīng)保留根號前面的正、負(fù)兩個符號；當(dāng)α或的大小確定時,應(yīng)根據(jù)所在的象限,確定根號前的正負(fù)號。二、積化和差公式1.公式：sinαcosβ=[sin(α+β）+sin（α—β）］；cosαsinβ=[sin(α+β）—sin(α-β)］；cosαcosβ=［cos(α+β）+cos(α-β）］;sinαsinβ=［cos（α+β）-cos（α—β）］.2.公式推導(dǎo)：積化和差公式是由正弦或余弦的和角公式與差角公式通過加減運算推導(dǎo)而得。如第一個公式，可以由S（α+β）+S（α—β)產(chǎn)生,因為sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ—cosαsinβ，所以sin（α+β）+sin(α-β）=2sinαcosβ，兩邊同除以2即得，其他公式同理可以由兩角和與差的正余弦公式獲得。3。公式特點；同名函數(shù)之積化為兩角和與差余弦的和（差）的一半,異名函數(shù)之積化為兩角和與差正弦的和(差）的一半，等式左邊為單角α、β，等式右邊為它們的和差角。記憶要訣積化和差公式可按如下方法記憶：(1)“+”兩角的正弦、余弦的積都可化為［f（α—β）±f(α+β）］的形式.（2)如果兩角的函數(shù)同為正弦或余弦,則“f”表示余弦;如果一個為正弦一個為余弦,則“f"表示正弦.（3)當(dāng)左邊含有余弦函數(shù)時，右邊中間取“+”，否則取“-"。三、和差化積公式1.公式：sinx+siny=;sinx-siny=;cosx+cosy=;cosx-cosy=。2.公式推導(dǎo)：在積化和差公式中，令α+β=x,α—β=y，從而α=，β=,將上述值代入公式，即有，所以sinx+siny=，這就是和差化積公式中的第一個，其他公式同理可得。3。三角函數(shù)的和差化積公式與積化和差公式實質(zhì)上是一類公式的正用或逆用，即積化和差公式的逆用就是和差化積公式.辨析比較①積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了“換元”思想。②只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運用公式化成積的形式。如果是一個正弦與一個余弦的和或差,則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運用公式化積.③另外對三角函數(shù)的和差化積可以理解為代數(shù)中的因式分解.因此,因式分解在代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用.四、輔助角公式一般地，通過三角變換，可把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=sin（x+θ)，其中sinθ=，cosθ=的形式.證明：如圖3—2—1,設(shè)點P（a，b)是角θ終邊上一點,則cosθ=，sinθ=。圖3—2-1于是=(cosθsinx+sinθcosx）=sin（x+θ）。其中sinθ=,cosθ=.特別地，當(dāng)=±1，±，±時，θ是一特殊角,θ所在的象限由點P（a，b)所在的象限唯一確定，可先由tanφ=｜｜找到一個符合條件的銳角，再由誘導(dǎo)公式導(dǎo)出一個符合條件的角.學(xué)法一得利用上述公式可把形如asinx+bcosx的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成一個角的一個函數(shù)的形式，對我們研究函數(shù)的最值、周期、單調(diào)區(qū)間、對稱中心、對稱軸等都是大有裨益的。典題?熱題知識點一半角公式的應(yīng)用例1已知sin2010°=—,求sin1005°，cos1005°，tan1005°的值。解:∵2010°=5×360°+210°是第三象限的角，∴cos2010°=.又∵1005°=2×360°+285°是第四象限的角，∴，，.例2求的值.解:由于，∴.由于,∴.例3已知sin2α=,π＜2α＜，求tanα。解：∵π＜2α＜,∴＜α＜。由，得或；或.方法歸納①已知角α所在的象限，則所在的象限是角α的平分線及其反向延長線所在的象限.當(dāng)α位于一、二象限時，位于一、三象限；當(dāng)α位于三、四象限時，位于二、四象限。②已知單角的弦函數(shù)，求半角的切函數(shù)時，使用公式或可避開符號的討論。③若角α的倍角2α是特殊角，則可用半角公式求α的函數(shù)值，以α為橋梁，可把2α與的角的函數(shù)值連在一起.知識點二積化和差公式的應(yīng)用例4求下列各式的值:(1）;(2)2cos50°cos70°—cos20°。解：（1）。巧解提示：。（2)原式=cos（50°+70°)+cos（50°-70°)-cos20°=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=—cos60°=.例5求證：（1）sin80°cos40°=；(2)sin37。5°sin22。5°=+cos15°。證明：(1)左邊=［sin（80°+40°）+sin(80°-40°)］=（sin120°+sin40°）=sin40°=右邊,所以原式成立。（2）左邊=-［cos(37.5°+22。5°）-cos（37.5°—22.5°）］=(cos60°—cos15°)=cos15°=右邊，所以等式成立.方法歸納①只有同名或異名弦函數(shù)積的形式,才能積化和差，它也實現(xiàn)了角的重組，出現(xiàn)了（α±β)這樣的角。②在積化和差的過程中，構(gòu)成積的兩個因式的順序不同時，使用的公式也不同,但最終結(jié)果是相同的。③三角函數(shù)式的化簡、恒等變形和證明三角恒等式都是化歸思想中的等價化歸在實際問題中的應(yīng)用。知識點三和差化積公式的應(yīng)用例6求下列各式的值：cos75°—cos15°；(2).解:(1）cos75°—cos15°=-2sin45°sin30°=.巧解提示:cos75°-cos15°=cos（45°+30°)-cos(45°—30°）=—2sin45°sin30°=.(2)原式=。例7求證：(1）cos40°-cos80°=sin20°；（2）.證明：(1）左邊==-2sin60°sin（—20°）=sin20°=右邊.所以原式成立。（2）右邊=左邊。所以原式成立。方法歸納①只有系數(shù)絕對值相等的同名弦函數(shù)的和、差的形式才能化積,化積后實現(xiàn)了角的重組,出現(xiàn)了這樣的角。②在運用積化和差或和差化積公式化簡三角函數(shù)式時，若解析式中存在三個或三個以上因式,當(dāng)進行積化和差時,應(yīng)選擇兩角的和或差是特殊角的形式相結(jié)合;當(dāng)進行和差化積時,應(yīng)選擇兩角和或差的一半是特殊角或與其他角一致的因式相組合。③積化和差與和差化積公式與同角的三角函數(shù)的基本公式、誘導(dǎo)公式、兩角和差與二倍角公式、半角公式一樣，也是進行三角恒等變換的工具。例8求函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x的最小正周期與最小值，并寫出該函數(shù)在［0,π]上的單調(diào)增區(qū)間。思路分析:本題考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識.根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)特征,先用a2-b2=（a+b）(a-b），再用asinθ+bcosθ=sin(θ+φ)求解.解:y=sin4x-cos4x+sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x—cos2x）+sin2x=3sin2x—cos2x=2（sin2x—cos2x）=2sin(2x—）。該函數(shù)的最小正周期是π,最小值是-2.令2kπ-≤2x—≤2kπ+，得kπ—≤x≤kπ+，k∈Z.取k=0，得—≤x≤；取k=1，得.由于0≤x≤π,所以該函數(shù)在［0，π］上的增區(qū)間是［0，］或［，π].例9設(shè)函數(shù)f(x）=a·b，其中向量a=(2cosx,1)，b=(cosx，sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1-且x∈[，］,求x；(2）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)(|m｜＜)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值.思路分析：本小題主要考查平面向量的概念和計算、三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運算能力。解：(1）依題設(shè)，f(x）=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2(cos2x+sin2x）=1+2sin(2x+).由1+2sin（2x+）=1-，得sin(2x+）=.∵-≤x≤,∴—?！?x+=，即x=-.（2)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x—m)+n的圖象，即函數(shù)y=f（x）的圖象。由（1)得f（x)=2sin2(x+）+1?！遼m|＜，∴m=，n=1。方法歸納①為使輔助角公式形式最簡，可通過提取公因式或使輔助角θ是一銳角的形式。輔助角公式是化特殊為一般的化歸思想的具體運用，它把y=asinωx+bcosωx的函數(shù)式轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ)的形式,以進一步研究函數(shù)的性質(zhì)。②一般地，函數(shù)y=asinωx+bcosωx，x∈R的最大值是,最小值是;周期是；可把化簡后的解析式y(tǒng)=sin(ωx+φ）的“ωx+φ"，ω>0視為一個整體,結(jié)合初等三角函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間。問題?探究思想方法探究問題積化和差與和差化積公式在形式上非常相似，其實質(zhì)是一類公式的正用或逆