導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)第九章92923總體集中趨勢的估計(jì)

9.2.3總體集中趨勢的估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).2.理解用樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義1.眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).2.中位數(shù):把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列,處在中間位置的數(shù)(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.平均數(shù):如果有n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,那么x=1n(x1+x2+…+xn)叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)【版本交融】(人BP66嘗試與發(fā)現(xiàn))中位數(shù)是否能比較全面地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)?如果不能,有什么補(bǔ)救的辦法?提示:當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較多時(shí)中位數(shù)是不足以體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特征,此時(shí)可以借助多個(gè)百分位數(shù)了解數(shù)據(jù)的分布特征.【教材挖掘】(P205)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)嗎?提示:不一定.一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù),處于中間位置的數(shù)是中位數(shù);如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù),則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù).【教材深化】眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息,對樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分,對極端值不敏感二、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系1.平均數(shù):在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.2.中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.3.眾數(shù):眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù).【思考】頻率分布直方圖中計(jì)算出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)是精確值嗎?提示:不是.三、總體集中趨勢的估計(jì)1.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢,它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).2.單峰頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)形狀關(guān)系對稱平均數(shù)與中位數(shù)差不多右邊“拖尾”平均數(shù)大于中位數(shù)左邊“拖尾”平均數(shù)小于中位數(shù)平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊3.對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述,可以用平均數(shù)、中位數(shù);對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述,可以用眾數(shù).【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),受極端值的影響.(√)提示:根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可知正確.(2)若直方圖單峰且形狀對稱,則平均數(shù)與中位數(shù)基本一致.(√)提示:根據(jù)直方圖的對稱性可知,平均數(shù)與中位數(shù)可能一致.(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)只有一個(gè).(×)提示:一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè),也可能有多個(gè),中位數(shù)只有一個(gè).類型一根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(2024·洛陽高一檢測)一組數(shù)據(jù)a,5,6,7,7,8,11,12的平均數(shù)為8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A.6.5 B.7 C.7.5 D.8【解析】選C.由題意得a+5+6+7+7+8+11+128=8,解得a=8.將題中數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為5,6,7,7,8,8,11,12,則中位數(shù)為7+82=7(2)(2024·淄博高一檢測)已知一組數(shù)據(jù)為5,2,x,5,8,9,且5<x<8.若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(A.6 B.6.5 C.7 D.7.5【解析】選A.因?yàn)?<x<8,所以這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2,5,5,x,8,9,則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5.又該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56,所以中位數(shù)是6,即5+x2=6,解得x=7,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為【備選例題】1.(多選)PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo).如圖是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(單位:μg/m3)的折線圖,則下列說法正確的是()A.這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33B.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是32C.這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)大于平均數(shù)D.這10天中PM2.5日均值前4天的平均數(shù)大于后4天的平均數(shù)【解析】選AB.由題中折線圖得,這10天中PM2.5日均值的眾數(shù)為33,中位數(shù)為31+332=32,平均數(shù)為110×(36+26+17+23+33+128+42+31+30+33)=39.9,中位數(shù)小于平均數(shù),故A,B正確,C錯(cuò)誤;前4天的平均數(shù)為36+26+17+234=25.5,后4天的平均數(shù)為2.(多選)小華所在的年級一班共有50名學(xué)生,一次體檢測量了全班學(xué)生的身高,由此求得該班學(xué)生的平均身高是1.65米,而小華的身高是1.66米,則下列說法正確的是()A.1.65米是該班學(xué)生身高的平均水平B.班上比小華高的學(xué)生人數(shù)不會超過25C.這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米D.這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米【解析】選ACD.由平均數(shù)所反映的意義知A選項(xiàng)正確;由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定C選項(xiàng)正確;由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定D選項(xiàng)正確;由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.【總結(jié)升華】平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法(1)平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的;(2)計(jì)算中位數(shù)時(shí),可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列,再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定;(3)眾數(shù)是看出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).類型二用頻率分布表或直方圖求數(shù)字特征(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),數(shù)據(jù)如下:質(zhì)量指標(biāo)分組[10,30)[30,50)[50,70)頻率0.10.60.3則可估計(jì)這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A.60,1303 B.C.40,1303 D.【解析】選C.根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知,頻率最大對應(yīng)的分組為[30,50),所以眾數(shù)約為40.設(shè)中位數(shù)為x,可知x在[30,50)內(nèi),則0.1+x-3050-30×0.6=0.5,解得x(2)(多選)(2024·南通高一檢測)《教育部辦公廳關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中指出:“各地要加強(qiáng)對學(xué)生體質(zhì)健康重要性的宣傳,中小學(xué)校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競賽、班團(tuán)隊(duì)活動、家校協(xié)同等多種形式加強(qiáng)教育引導(dǎo).”某學(xué)校共有2000名男生,為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況,學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.估計(jì)這100名男生體重的眾數(shù)為67.5B.估計(jì)這100名男生體重的80%分位數(shù)為72.5C.估計(jì)這100名男生體重的平均數(shù)為66D.該校男生中體重低于60kg的學(xué)生大約有300人【解析】選ABD.由頻率分布直方圖可得,估計(jì)這100名男生體重的眾數(shù)為65+702=67.5,A正確由于(0.03+0.05+0.06)×5=0.7<0.8,0.7+0.04×5=0.9>0.8,故80%分位數(shù)在[70,75)內(nèi),設(shè)為x,則0.7+(x70)×0.04=0.8,解得x=72.5,B正確.估計(jì)這100名男生體重的平均數(shù)為(57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02)×5=66.75,C錯(cuò)誤.該校男生中體重低于60kg的學(xué)生大約有2000×0.03×5=300人,D正確.【總結(jié)升華】利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征的方法(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),所以它的頻率最大,在最高的小矩形中.中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù)).平均數(shù)約為每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和.(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù).類型三總體集中趨勢的估計(jì)(數(shù)據(jù)分析)【典例3】(教材P206例5改編)據(jù)了解,某公司的33名職工月工資(單位:元)如下:職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資110001000090008000650055004000(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);(2)假設(shè)副董事長的工資從10000元提升到20000元,董事長的工資從11000元提升到30000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少?(精確到1元)(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平?結(jié)合此問題談一談你的看法.【解析】(1)平均數(shù)是x=4000+133×(7000+6000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20)≈4000+1333=5333(元)中位數(shù)是4000元,眾數(shù)是4000元.(2)新的平均數(shù)是x'=4000+133×(26000+16000+5000×2+4000+2500×5+1500×3+0×20)≈4000+2212=6212(元),中位數(shù)是4000元,眾數(shù)是4000元(3)在這個(gè)問題中,中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平,因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司員工的工資水平.【總結(jié)升華】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”,其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算、不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息,但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響,越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其眾數(shù)往往更能反映問題,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí),可用中位數(shù)描述其集中趨勢.【即學(xué)即練】某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練,兩群市民的年齡(單位:歲)如下:甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征?(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征?【解析】(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710中位數(shù)為15歲,眾數(shù)為15歲,平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710中位數(shù)為5.5歲,眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,