導學案數(shù)學第六章62622向量的減法運算

6.2.2向量的減法運算【學習目標】1.理解相反向量的概念,能用相反向量定義向量的減法.2.掌握向量減法的運算法則與幾何應用.3.能熟練運用向量的加、減運算進行化簡與求值.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象直觀想象、邏輯推理數(shù)學運算一、相反向量1.定義:與向量a長度相等,方向相反的向量.零向量的相反向量仍是零向量.2.性質(zhì):(1)(a)=a;(2)對于相反向量有a+(a)=0;(3)若a,b互為相反向量,則a=b,a+b=0.二、向量的減法1.定義:ab=a+(b),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.2.作法:已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,則=ab,如圖所示.3.幾何意義:ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.4.向量a,b的模與ab的模之間滿足不等式:||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|.當且僅當a與b同向時左邊取等號,反向時右邊取等號.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)向量與是相反向量.(√)提示:與長度相等,方向相反,是相反向量.(2)兩個同向向量的差一定小于這兩個向量的和.(×)提示:兩個向量的差仍是向量,而向量不能比較大小,故錯誤.(3)在平行四邊形ABCD中,等于.(√)提示:由平面向量減法的三角形法則,可得=.(4)++=0.(×)提示:++=++++=≠0,故錯誤.類型一作差向量(直觀想象)【典例1】(教材提升·例3)如圖,已知向量a,b,求作ab.【解析】(1)作=a,=b,則ab==,即為所求作的向量.(2)作=a,=b,則ab==,即為所求作的向量.(3)作=a,=b,則ab==,即為所求作的向量.(4)作=a,=b,則ab==,即為所求作的向量.【總結升華】作差向量的方法(1)利用向量減法的三角形法則:簡記為“共起點,連終點,指向被減”;(2)轉化為向量的加法:ab=a+(b).【即學即練】如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量abc.【解析】如圖,作=a,=b,則即為ab,再作=c,則向量即為abc.類型二向量的表示(直觀想象)【典例2】(教材改編·例4)如圖,已知=a,=b,=c,=d,試用a,b,c,d表示以下向量:(1);(2);(3).【解析】(1)==ca;(2)==da;(3)==db.【總結升華】向量的表示(1)觀察圖形的幾何特征,確定已知向量與要表示的向量之間的關系;(2)共起點的向量,若能構成平行四邊形,可以利用向量的加法表示對角線所在的向量,若能構成三角形,可以利用向量的減法表示第三邊所在的向量;(3)首尾相連的向量,能構成三角形,可以利用向量的加法表示第三邊所在的向量.【即學即練】如圖所示,=a,=b,=c.(1)用a,b表示;(2)用b,c表示.【解析】(1)===ab;(2)==(+)=bc.類型三向量減法的應用(邏輯推理、數(shù)學運算)角度1向量的化簡【典例3】(2024·烏魯木齊高一檢測)化簡:(1)+;(2)()();(3)(++)().【解析】(1)+=+==.(2)()()=+=++=+==0.(3)(++)()=+()==0.【總結升華】向量的化簡(1)首尾相連相加的向量,用向量加法的三角形法則化簡;(2)共起點相減的向量,用向量減法的三角形法則化簡;(3)必要時可以利用相等向量或相反向量等價轉化.角度2向量減法的幾何應用【典例4】(易錯·對對碰)(1)已知O是四邊形ABCD內(nèi)的一點,若=,則四邊形ABCD的形狀是__________.

(2)在四邊形ABCD中,=,若||=||,則四邊形ABCD的形狀是______;

(3)在四邊形ABCD中,=,若|+|=||,則四邊形ABCD的形狀是________.

【解析】(1)因為=,即=,故四邊形ABCD一定為平行四邊形.答案:平行四邊形(2)因為=,所以四邊形ABCD為平行四邊形,又因為||=||,所以||=||,所以四邊形ABCD為菱形.答案:菱形(3)因為=,所以四邊形ABCD為平行四邊形.又因為|+|=||,所以||=||,所以四邊形ABCD為矩形.答案:矩形【總結升華】向量減法的幾何應用(1)利用相等向量證明線段平行且相等,從而證明四邊形為平行四邊形.(2)以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB,AD分別表示向量=a,=b,則兩條對角線表示的向量分別為=a+b,=ba,則=ab.(3)對于菱形、矩形、正方形可以根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等或對角線相等來判斷.角度3差向量模的性質(zhì)【典例5】若||=12,||=5,則||的取值范圍是()A.[7,17] B.(7,17) C.[7,12] D.(7,12)【解析】選A.由向量模長的三角不等式可得||≥||||||=7,當且僅當,的方向相同時,等號成立;||≤||+||=17,當且僅當,的方向相反時,等號成立,因此,||的取值范圍是[7,17].【補償訓練】已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,則|ab|的值為__________.

【解析】當a與b方向相同時,|ab|=||a||b||=72=5;當a與b方向相反時,|ab|=|a|+|b|=7+2=9.答案:5或9【總結升華】差向量模的性質(zhì)(1)當非零向量a,b不共線時,ab的方向與向量a,b的方向都不相同,模的關系是||a||b||<|ab|<|a|+|b|,其幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(2)當向量a,b同向或至少一個是零向量時,a+b的方向與向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的關系是|a+b|=|a|+|b|.(3)當向量a,b反向或至少一個是零向量時,a+b的方向與向量a,b中模較大的方向相同,模的關系是|a+b|=||a|