導學案數(shù)學第六章63631平面向量基本定理

6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理【學習目標】1.通過具體情境操作向量的分解,發(fā)現(xiàn)并證明平面向量基本定理.2.理解基底的含義,并能用基底表示平面向量.3.理解平面向量基本定理的含義,并能解決有關(guān)綜合問題.【素養(yǎng)達成】直觀想象數(shù)學抽象、數(shù)學運算邏輯推理、數(shù)學運算平面向量基本定理1.定義:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.2.基底:若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.【教材挖掘】(P26)觀察=(1t)+t,你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:,的系數(shù)和為1.一般地,A,B,P三點共線的充要條件是:存在唯一實數(shù)λ,μ滿足=λ+μ,且λ+μ=1.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一個基底.(√)(2)零向量可以作基底中的向量.(×)提示:零向量與任意向量共線,故不能作基底中的向量.(3)表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的.(×)提示:基底的選擇是不唯一的.(4)已知a,b是一組不共線的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,則x1=x2,y1=y2.(√)提示:平面向量的基本定理可知x1=x2,y1=y2.類型一關(guān)于基底概念的理解(數(shù)學抽象)【典例1】已知e1,e2是不共線的非零向量,則下列四組向量可以作為一個基底的是()A.a=0,b=e1+e2B.a=3e1+3e2,b=e1+e2C.a=e12e2,b=e1+e2D.a=e12e2,b=2e14e2【解析】選C.對于A:零向量與任意向量均共線,所以這兩個向量不可以作為基底;對于B:因為a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以這兩個向量不可以作為基底;對于C:設(shè)a=λb,即e12e2=λ(e1+e2),則1=λ對于D:設(shè)a=e12e2,b=2e14e2,所以a=12b,所以這兩個向量不可以作為基底【總結(jié)升華】關(guān)于基底概念的理解(1)關(guān)鍵:判斷兩個向量能否構(gòu)成基底,主要看兩個向量是否滿足不共線,利用向量共線定理可以確定;(2)注意:平面內(nèi)的一個基底一旦確定,那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一表示.【即學即練】(多選)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點,則下列向量可作為這個平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的一個基底的是()A.與 B.與C.與 D.與【解析】選AC.與不共線;=,則與共線;與不共線;=,則與共線.【補償訓練】若向量a與b是平面上的兩個不平行向量,下列向量不能作為一個基底的是()A.a與a+bB.a+b與2a+bC.2a5b與4a+10bD.2a+b與a+2b【解析】選C.對于A,假設(shè)存在實數(shù)λ,使a+b=λ(a),則1=-λ1=0,方程組無解,即不存在實數(shù)λ,使a+b=λ(a),即a與a對于B,假設(shè)存在實數(shù)λ,使a+b=λ(2a+b),則1=2λ1=λ,方程組無解,即不存在實數(shù)λ,使a+b=λ(2a+b),即a+b與2a對于C,假設(shè)存在實數(shù)λ,使2a5b=λ(4a+10b),則2=-4λ-5=10λ,解得λ=12,即2a5對于D,假設(shè)存在實數(shù)λ,使2a+b=λ(a+2b),則2=λ1=2λ,方程組無解,即不存在實數(shù)λ,使2a+b=λ(a+2b),即2a+b與a+2類型二用基底表示向量(直觀想象)【典例2】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點M,E在BC上,且BE∶EC=1∶2,直線DE與AB的延長線交于點F,記=a,=b.(1)試用a,b表示,;(2)試用a,b表示.【解析】(1)平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點M,=12=12(+)=12()=12a12b,=12=12()=12a12b.(2)點E在BC上,且BE∶EC=1∶2,BE∥AD,則△BEF∽△ADF,于是BFAF=BEAD=BEBC=13,即BF=32=32a,所以==32ab.【總結(jié)升華】用基底表示向量的方法(1)利用向量運算的三角形法則、平行四邊形法則,對要表示的向量分解,直到轉(zhuǎn)化為基底表示;(2)對于較為復雜的關(guān)系,如含有未知的位置關(guān)系的點,可以利用共線設(shè)出向量的線性比例關(guān)系,用基底表示后求系數(shù).【即學即練】(2024·保定高一檢測)如圖,在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點,AE和BD相交于點F.記=a,=b,則()A.=23a13b B.=23a+1C.=13a23b D.=13a+2【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AE和BD相交于點F,所以△ABF∽△EDF,又點E是CD的中點,所以DFBF=DEAB=所以=13=13(),所以=+=+13()=2313=23a13【補償訓練】如圖,平面內(nèi)有三個向量,,,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=23.若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值為______.

【解析】以O(shè)C為對角線,作平行四邊形OECF(圖略),且OA,OB分別在這個平行四邊形的兩鄰邊OE,OF上.因為∠COF=∠EOF∠EOC=120°30°=90°,所以在Rt△COF中,||=23,∠OCF=30°.所以CF=OCcos∠OCF=23cos30又||=||=1,所以=4,=2.所以=+=4+2,由平面向量基本定理,可得λ=4,μ=2.所以λ+μ=6.答案:6類型三平面向量基本定理的應用(邏輯推理)【典例3】(2024·西安高一檢測)已知在△ABC中,點M是BC邊上靠近點B的四等分點,點N為AB中點,設(shè)AM與CN相交于點P.(1)請用,表示向量;(2)設(shè)和的夾角為θ,若cosθ=14,且||=2||,求證:⊥.【解析】(1)=+=+14=+14()=34+14.(2)==12,·=12·=12·=12||·||cosθ=12||·2||·14=1212=0,所以⊥.【總結(jié)升華】關(guān)于向量法證明幾何問題(1)選擇基底的原則一是不共線;二是已知模和夾角,以方便表示出相關(guān)向量后運算、證明;(2)利用向量共線可以證明線段平行,向量數(shù)量積為0可以證明線段垂直,利用模的運算可以證明線段相等等問題.【即學即練】如圖,正方形ABCD的邊長為a,E是AB的中點,F是BC的中點,求證:DE⊥AF.【證明】因為·=(+12)·(+12)=1212+14·+·,而AD⊥AB,AD=AB,所以·=0,所以⊥,即DE⊥AF.【補償訓練】(2024·大理高一檢測)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F,G是AD,BC的三等分點(AF=23AD,BG=23BC).設(shè)=a,=b.(1)用a,b表示,;(2)如果|a|=43|b|,用向量的方法證明:EF⊥